2018年考研数学三真题及解析

1、2018年考研数学三真题及答案选择题1.下列函数中，在x0处不可导的是()xsinxB.fxxsin|x|C.fxCosxD.fxcos、x解析：方法limx0limx0xsinxlimsinx0,可导x0xfxf0limx0xlxm0x|sin扉xflimsinJ|x|0,可导x0x,fxf0limx0xlimx0cos|x|11x2lim20,可导limx0cos、x1lim二x0xlimx0x2x“人丁丁旦不存在,不可导x应选D.方法因为f(x)COSx,ff 0典1 x2x不存在fxlimx0x0处不可导，选Dxsinx在x0处可导?xgyjxfxi2在x0处可导对C:f(x)cosx

2、在x0处可导.2.设函数fx在0,1上二阶可导，且1fx0dx0,则当f0时，fC当fx0时,f12当f0时，f答案D【解析】将函数.1一在一处展开可得2fl2dx2dxf21f021.xdx,2故当f(x)0时,dx1.从而有20.3.设M2x-dx,Nxx-dx,KeJcosxdx,贝UA.M?N.MN.C.KMN.D.答案：C解析：M2-dx空dxx21dx,2exdx,因为1所以K21cosxdx,12cosx111cosx所以由定积分的比较性质KMN,应选C4.设某产品的成本函数CQ可导，其中Q为产量,若产量为Qo时平均成本最小,则()ACQo0BCQoCQoC . C Qo QoC

3、 QoD. QoC Qo C Qo【解析】平均成本 C QCQdCQ C Q Q C Q Q dQQ由于C Q在Q Qo处取最小值,可知QoC Qo0.故选(D).1 15.下列矩阵中，与矩阵o 1o1相似的为1 11A. o 11o o 11 11C. o 1 oo o 1答案：a1 o1B.o11oo11 o 1D.o1ooo1解析：令P11o111QPAPo1oo1oo1oo选项为A6.设A,B为n阶矩阵，记rX为矩阵X的秩，XY表示分块矩阵，则ArA?ABrAB.rA?ArAC.rABmaxrA,rBD.rABATBT答案：A解析:易知选项C错对于选项B举反例:取A00则BA,A,BA

4、337.设随机变量X的概率密度满足dx0.6(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.6概率密度1对称，故22fxdx0所以2P0.4,即PX00.2,故选项A正确.8.设Xi，X2，K,Xn为取自于总体X:N的简单随机样本，令则下列选项正确的是S2n(Xi1X)2(A)(B)(C)(D)(Xi又)22(n1)S2相互独立,由t分布的定义，得故选项B正确.二、填空题9.曲线yx221nx在其拐点处的切线方程为答案y4x3224【解析】函数fx的定义域为0,y2x2,y2,y”二3xxx令y=0,解得x=1,而y10,故点(1,1)为曲线唯一的拐点曲线在该点处切线的斜率y14,故切线方程为y

5、4x310.exarcsin-71e27.答案exarcsin.1e2x.1e2xC【解析】令t=ex,则exarcsin-1e2x.1e2xC11.差分方程2yxyx5的通解【答案】x1Lyxc25【解析】由于2yx=yx=yx+1*yx+2yx+iyx+iVxyx+22yx+1分方程可化为yx+22yx+i=5，即yx+12yx5。Vx,故原差设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为yx+i2yx5,其通解为Vxc2x。设原差方程的特解yc1,代入原方程得g-2c1=5，即g=-5。所以原差分方程的通解为Vxc2x15,c为任意常数。12.函数x满足xxx2xxxxx0，且02,则1_.答

6、案12e.【解析】由x2xxxx，可知x可微，且x=2xxo这是一个可分离变量微分方程2,求得其通解为xcex;再由02可得x2故x2e,12a13.设A为3阶矩阵1,2,3为线性无关的向量组，若3,A201=B，从而有相同的特征值。1-1P叫P(C)2,则P(ACAB)解由条件概率以及事件相互独立性的定义，得P(AC A B)PACABP(AB)PACP(A)P(B)P(AB)PAPCP(A)12P(B)121122P(A)P(B)解答题15.已知实数a,b,满足lim x1ax b ex2,求a,b。答案a1,b 1【解析】.1令t=一，可得lima bt et12,其中limt 0a b

7、t et1limt 0aet 1tlimt obetlimt 0aet 1t可知limt oaet 1t2 b,而要使得lim ae一1存在，必须有at 0 t1。t此时，有lim ae-t 0 t综上,a 1,b 1。1=1=2b,故b1.16.设平面区域D由曲线yV 答案322.1x与直线yx&y轴围成。计算二重积2.xdy。分DS31解析I0dx9x2dyx2.312、,3xdx2-232xdx,02其中对于02x231x2dx,令xsint,可化为上34sin22td2t.384.3322而0Tx3dx14-x4；二，综上0163216322o3217.将长为2m的铁丝分成三段,依次围

8、成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在,求出最小值.【解析】设分成的三段分别为x，y，乙则有x丫z2及x,y,z0，圆的面积为S11正方形的面积为S2=Ly2,正三角形的面积为16则问题转化为在条件xyz2,x,y,z0下，求函数S3=史z2,总面积为S=x2+-y2+z2,3641636一x2+ly2+-z2的最小值。令41636L=x2+-y2+z241636Lxx-2l=y则有y8L3一=-z，解得唯一条件极值点为23.34.398,3zL=x18343918,在该点的函数值即34、39为最小值，最小值为3+12+93,34、3118.已知cos2x3anxn1

9、n0x1，求an.2n2答案a2n112n22n2,n0,1,2,L;a2nn2n122n!2n112nn2n1212n!2n,n0,1,2,L。【解析】一,1将cos2x与1+x展成曷级数可得2cos2x2n2x2n!.n2n12xx2nX02n!则a2n12n12n2n2,n0,1,2,L22na2n2n112nn22n2n2n!2n!,n0,1,2,L。19.设数列Xn满足：X10,XneX11eXn1.2,L.证明Xn收敛，并求limn证明：证明xn0,勿证再证Xn单减，由eXn1eXn1exXn1XnXn单减有下界，由此得设,imxnA,则AeA20.设实二次型fX1,X2,X3Xn

10、XnlimXn存在XX12X2X3求fXI,X2,X30的解;求fX1,x2,X3的规范形.a0拉格朗日中值定理e0X2X3X1ax30,Xn2，其中a是参数.解析：(1) f X,X2,X3由 111A01110a当a2时，ra当a2时，rA通解为 X1 x X2X3由(1)知，当ayX1X2 X3令 y2X2X3 ，则 fy12y2y3X32213 2y y 2 y1二 y2- y2,22则得规范形为f2Z1221.已知a是常数，且矩阵A 1 32 70可经初等变换化为矩阵Ba0而X1X2X30X2X30,X1aX301 02得01100a23,只有零解X1X2X302,方程有无穷多解，2

11、 为任意常数.k1,k12时A可逆，yX1X2X3令y2X2X3,即YAX,则规范形为fy2yfy2,y3X3当a2时，ra2,求a；求满足APB的可逆矩阵P.解析：(1)QA经过初等列变换化为B1 2 a0 1a0 33a12aQA13027a得a=2.(2)令PX1,X2,X3,BbbhARAX1,X2,X3AX1,AX2,AX36由23AXiAIB1 20 10 0AX1bii = 1 23122M121 30M012 72M112M1222 M 1110M0006b1的通解为X1=K 21106M3440 12 M 111000M0006AX2 b2的通解为*2=卜2 216AX3 b

12、3的通解为X3=k3 213 6k1312k11 , 1为任意常数0k146k2412k21,k2为任意常数0k246k3412k3 1 , k3为任意常数0k36 kl 3 6k22kl 1 , 2k24 6k3 41 , 2k3 1 (其中k1,k2,k3为任意常数)k1女2卜36 kl 3 6k2 46k3 42kl1,2k21,2k31=k3k2k1k2k3当k2卜3时P可逆，取可6k136k246k34P=2k11,2k21,kik22k31(k1为任意常数,k2k3),使得AP=B.k322.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为Y服从参数为的泊松分布P求(1)CovX,Z;(2)Z的(1)由题意,0,EX21212EX2E2于是,由协方差计算公式，得CovX,ZCovX,XYEX2YEEX2EYEE2XY(2)随机变量ZXY的取值为0,1,2,K同理,0!1,YIPY0一e0!Xk一ek!1,Y1I2k!1,YX1,YPY其中，k1,2,K.23.总体X的概率密度为fx,(x)2其中0,为未知参数,Xi，X2，K ,Xn为取自于总体 X的简单随机样本.记的最大似然估计量为求(1)(1)构造似然函数f Xi，nxil1-小e方程两边取自然对数，得lnn lnnxii 1求上述方程的驻点，得d lnxi0,