2018年高考全国卷1理科数学试题及答案解析

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-i1 .设z二2i，贝ij|z|1iC. 1B. x -1 < x < 2A.0B,122 .已知集合A=xx2-x-2>0,则

2、eRA=A.x-1<x<2C. x|x<-1 I jx|x>2D. x | x w -1 IJ x | x3 .某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:建设前经济收入构成比例种植收入建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4 .设Sn为等差数列%的前n项和，若3s3=5

3、+S4,a1=2,则a5=A.-12B.-10C.10D.125,设函数千(x)=X3+(a1)x2+ax,若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为a.y=-2xb.y-Xc.y=2xd.y-X6.在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eb二a.3AB-1ACb.1AB.3ACC.3ABJACD.IABdTC某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. 2而B. 25C.D. 28.设抛物线c： y、4x的焦点为F,

4、过点(Z 0)且斜率为一的直线与c交于M, N两点，则FM , FNA. 5B.C.D. 8已知函数ex, x 三 0f(x)=<g(x)=f (x)+x+a .若g(X)存在2个零点，则a的取值范围是I n x, x 0,0)B.0, + 川D. 1 , +8)10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB.AC,那BC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,II, III的概率分别记为Pl, P2, P3,则其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自LA . Pl=P2C. P2=P3

5、B.D.Pl 二P3Pi = P2+P311 .已知双曲线C:y2=1,0为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点3分别为M、N.若人OMN为直角三角形,则|MN|二A.3B.3C.273D.4212 .已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面”所成的角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为：3-3»A4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。x-2y-2<013 .若x,y满足约束条件？xy+1之0,则z=3x+2y的最大值为y<014 .记&为数列右0的前n项和，若Sn=2%+1,贝US6:15 .从2位女生，4位男生中选3人

6、参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)16 .已知函数f(x)=2sinx+sin2x，贝Uf(x)的最小值是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17 .(12分)在平面四边形ABCD中，/ADC=90,/A=45,AB=2,BD=5.(1)求cos/ADB；若DC二22,求BC.18 .(12分)如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF_LBF.(

7、1)证明：平面PEF_L平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19 .(12分)设椭圆C:£+y2=1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).(1)当|与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设0为坐标原点，证明：/0MA=/0MB.20.(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为P(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.

8、(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为千(p),求f(p)的最大值点p。.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的po作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21 .(12分)1已知函数千(x)二一一xalnx.x(1)讨论千(x)的单调性；(2)若千(x)存在两个极值点x,X2,证明：*""a-2.x

9、i-X2(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选彳44：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线G的方程为y二k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P2+2Pcos日-3=0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若G与C2有且仅有三个公共点，求C的方程.23.选彳45不等式选讲(10分)已知千(x)=|x1|TaxT|.(i)当a=1时，求不等式千(x)>1的解集；若xw(0,1)时不等式千(x)>x成立，求a的取值范围2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

10、参考答案：10111213.614. -63 15.163 316. 17. （12 分）解：（1）在zXABD中，由正弦定理得BDABsinZAsin/ADB,5王旦百工左n. akdsin45 sin. ADB5,所以 s i n Z ADB =一235由题设知，ZADB<90°，所以cos/ADB=JC-225（2）由题设及（1）知，cos/BDC=sin/ADB二一5在XBCD中，由余弦定理得BC2=BD2DC2-2BDDCcosBDC二258-252.2一5-25.所以BC=5.18. （12分）解：（1）由已知可得，BFXPF,BFXEF,所以BF,平面PEF.又B

11、F仁平面ABFD,所以平面PEF,平面ABFD.（2）作PH±EF,垂足为H.由（1）得，PHL平面ABFD.以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DELPE.又DP=2,DE=1，所以PE二&.又PF=1,EF=2,故PE,PF.33可得PH=,EH二22八一)为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为0，则s i n 0P(0,0,)D(7,一,0),DP=(1,2,21-)5HP=(0,0,所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为19. (12分)解：由已知得F(1,0),I的方程为x=1.

12、由已知可得，点A的坐标为(1,2)或(1,_§).所以AM的方程为y二一YZx+12或丫*一12.22当|与x轴重合时,/0MA=jOMB=0°.当I与x轴垂直时，0M为AB的垂直平分线，所以/0MA=N0MB.y0. B(x2, y2),当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y=k(x-1)(k00),A(xi,则xi<72,X2匕落直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=T+y八为一2X2由yi二kxi-k,y2二kx2-k得2kxiX2-3k('(X1-2)(X2X2)4k-2)2将y二k(x-1)代入一十y2=1-222-2-(2k1)x-4kx2

13、k-2=0.-4k2所以，Xi X2 二一7 , X1X2 2k2 1则 2kxiX2 -3k (xi x2) 4k2k2 -22k2 14k3 -4k -12k3 8k3 4k2k2 1从而kMA+媪=0，故MA,MB的倾斜角互补,所以20MA=/0MB.综上，.0MA=.0MB.20. （12分）解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为千（p）=C20P2（1p）i8.因此f'(p)=c2o2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2C20p(1-p)17(1-1Op).令f(p)=0,得p=0.1.当pw(0,0.1)04,f'(p)>0;当pw(0.1,1

14、)时，f'(p)<0.所以f(以的最大值点为Po=0.1.(2)由(1)知，p=0.1.令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1),X=20m2+25Y,即X=4025Y.所以EXUE(4025Y)=4025EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验21. (12分)1a解：(1)f(x)的定义域为(0,y),(x)二一一21+aX若a<2,则f'(x)<0，当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+无)单调递

15、减.(ii)若a2,令一°°二0得三二224或、二*1a-a-4aHJa-4当xW(0,)U(,g)时,f(x)<0；22、,a-la2-4afa2-4当、一()时，f'(x)>0.所以千(x)在(0,),(,代)单a-a2-4aa2-4调递减，在()单调递增.(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(X)的两个极值点X1,X2AI.由于X2满足x?ax+1=0，所以X1X2=1,不妨设X1<X2,则f(xi)-f%),Inxi-Inx2cInxi-Inx2c-1a=2a=2aX-X2X-X2f(xf(x所以J2；<

16、;a-2等价于-X2+21nx2<0.X1-x2x2-21nX2X2X21.设函数g(x)二x+2lnx,由(1)知，g(x)在(0,M)单调递减，又g(1)=0，从而当x二(1,y)x时,g(x)：-0.1千(X1)一千(x2)所以X2+2InX2<0，即一<a-2.22.选彳4-4：坐标系与参数方程(10分)【解析】由*二8$日，y=PsinH得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.（2）由（1）知C2是圆心为A（1,0）,半径为2的圆.由题设知，Ci是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为11.y轴左边的射线为12.由于B在圆C2的外面，故C

17、i与C2有且仅有三个公共点等价于Ii与C2只有一个公共点且12与C2有两个公共点，或12与C2只有一个公共点且li与C2有两个公共点.I-k21c4当Ii与C2只有一个公共点时，A到Ii所在直线的距离为2,所以=2,故卜二一一或k二。.,k134经检验，当k=0时，h与C2没有公共点；当k二-三时，h与C2只有一个公共点，I2与C2有两个公3共点.-|k2|4当12与C2只有一个公共点时，A到12所在直线的距离为2,所以C二2,故卜二0或卜二一.,k2i34.一经检验，当k=0时，li与C2没有公共点；当k:一时，I2与C2没有公共点.34 ._综上，所求Ci的万程为y二|x|+2.523.选彳4-5:不等式选讲（10分）-2,x<-1,【解析】（1）当a时，f（x）=|x+1|x一1|,即千（x）=<2x,1<x<1,2,x7.1故不等式千（x）Ai的解集为xIxA）.2当xW（0,1）时I