第10讲——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转

1、第10讲 教学方案圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转基本内容圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形教学目的1、 掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。2、 掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。3、 了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。4、 了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。重点、难点本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。本节难点：对圆轴变形程度的理解。4-6 圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） 所以（rad） （4-17）式中称为圆

2、轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。越大，则扭转角越小。让，为单位长度相对扭角，则有（rad/m）扭转的刚度条件： （rad/m） （4-18）或 （/m） （4-19）例4-3 如图4-13的传动轴，r/min，马力，马力，马力，已知MPa，/m，GPa。求：确定AB和BC段直径。解： 1）计算外力偶矩（Nm）（Nm）（Nm）作扭矩图，如图4-13b所示。2）计算直径AB段：由强度条件，（mm）由刚度条件（mm）取 mmBC段：同理，由扭转强度条件得mm 由扭转刚度条件得 mm取mm例4-4 如图4-14所示等直圆杆，已知KNm，试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为，（1）由静力平衡方

3、程得 （a） 此题属于一次超静定。（2）由变形协调方程（可解除B端约束），用变形叠加法有 （b） （3）物理方程， （c）由式（c），（b）得即并考虑到（a），结果假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示。4-7 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1弹簧丝横截面上的应力如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面上剪力由引起的剪应力，而且认为均匀分布于横截面上（图4-15c）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由引起的最大剪应力（图4-15d） ，扭矩。，一般将这种

4、弹簧称为密圈螺旋弹簧。所以在簧丝横截面内侧A点有 （4-20）其中 （4-21）当，略去剪应力所引起的误差，可用近似式 （4-22）对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是 （4-23）式中：弹簧丝材料的许用剪应力2. 弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功。簧丝横截面上，距圆心为的任意点的扭转剪应力为 （a）如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是

5、（b）弹簧的变形能应为 （c）此处，其中，弹簧丝总长为，n为弹簧有效圈数。于是积分式（c）得 （d）由，则得到 （4-24）式中是弹簧圈的平均半径。若引入记号则式（4-24）可写成 （4-25）代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与成反比，越大则越小。例4-5 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径，簧丝直径，有效圈数。弹簧工作时受KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略去弹簧曲率的影响）解：由变形公式求最大压缩量 考虑剪切力时 不考虑剪力影响时% 。由于 ，还应考虑曲率影响，此处从略。4-7 非圆截面杆的扭转问题工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如

6、图4-17a。杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-17b）。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c）：1）边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。2）发生在矩形长边中点处，大小为： ， （4-26）次大剪应力发生在短边中点，大小为 四个角点处剪应力。3）杆件两端相对扭转角 ， （4-27）其中系数与有关，可查表（见有关参考书）。注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。当时，截面成为狭长矩形，此时，若以表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为 （4-28）其中，此时长边上应力趋于均匀，如图4-17d所示。在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。例4-