第四章 间接平差

1、 测 量 平 差 太原理工大学测绘科学与技术系第四章第四章 间接平差间接平差 第四章第四章 间接平差间接平差 4-1 4-1 间接平差原理间接平差原理 4-2 4-2 误差方程误差方程 4-3 4-3 精度评定精度评定 4-4 4-4 间接平差公式汇编间接平差公式汇编 4-5 4-5 附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差 4-6 4-6 间接平差估值的统计性质间接平差估值的统计性质 4-1 4-1 间接平差原理间接平差原理 间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的

2、方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。 间接平差一般原理间接平差一般原理设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵 ，必要观测数为t，选定t个独立参数 ，其近似值为 ，观测值L与改正数V之和，称为观测量的平差值 。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为 令1 PQXxXX0VLLitiiiiidXtXbXavL21TnnTttTnnTnnddddXXXXVVVVLLLL211,211,211,211,间接平差一般原理间接平差一般原理 则平差值方程的矩阵形式为 令式中为参数的充分近似值 ，于是可得误差方程式为 nnntntbatbatbaB222111,dXBVL)(00dBXLlx

3、XX0XlxBV间接平差一般原理间接平差一般原理 按最小二乘原理，上式的必须满足 的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得 转置后得 以上所得的方程中的待求量是t个和n个，而方程个数也是t+n个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。 x minPVVT02PBVxVPVxPVVTTT0PVBTnVtx tn 间接平差一般原理间接平差一般原理 解此基础方程，一般是先消去 ，得 令 上式可简写成 式中系数阵 为满秩矩阵，即 ，有唯一解 上式称为间接平差的法方程。解之，得 将求出的代入误差方程，即可求得改正数V，从而平差结果为 0PlBxPBBTTPlBWPBBNTtT

4、ttbb1 ,0WxNbbbbNtNRbb)(WNxbb1PlBPBBxTT1)(xXXVLL,0间接平差法求平差值的计算步骤间接平差法求平差值的计算步骤 1根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；2. 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程；3由误差方程系数B和自由项组成法方程，法方程个数等于参数的个数t ；4. 解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；5由误差方程计算V，求出观测量平差值；6.评定精度。4-2 4-2 误差方程误差方程 按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。为此，要确定平差问题中参数的个数、参数的选择以及误差方

5、程的建立等 确定待定参数的个数确定待定参数的个数 在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数，而且要求这个参数必须是独立的，这样才可能将每个观测量表达成这个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。一个平差问题中，必要观测的个数取决于该问题本身的性质，与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网介绍如下：（一）（一） 水准网（三角高程网）水准网（三角高程网） 水准网（三角高程网）平差的主要目的是确定网中未知点的最或然高程。如果网中有高程已知的水准点，则就等于待定点的个数；若无已知点，则等于全部点数减一，因为这一点的高程可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并不影响

6、网点高程之间的相对关系。 确定待定参数的个数确定待定参数的个数 （二）（二） 三角网三角网 三角网平差的目的是要确定三角点的坐标最或是值，当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去4。（三）（三） 测边网（包括测边、边角同测、导线网）测边网（包括测边、边角同测、导线网）当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去3。（四）（四） GPSGPS网网 当网中具有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于未知点个数的三倍再加

7、上WGS84坐标系向地方坐标转换选取转换参数的个数；当网中没有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于总点数的三倍减去3。 参数的选取参数的选取 在水准网中，常选取待定点高程作为参数，也可选取点间的高差作为参数，但要注意参数的独立性。当选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。 在平面控制网、GPS网中选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数，可以保证参数之间的独立性，也可以选取观测值的平差值作为未知数。 因此如上所述，采用间接平差，应该选定刚好t个而又函数独立的一组量作为参数。至于应选择其中哪些量作为参数，则应按实际需要和是否便于计算而定。 误差方程线性化误差方程线性化 取 的充分近似值

8、 ， 是微小量，在按台劳公式展开时可以略去二次和二次以上的项，于是可对非线性平差值方程式线性化，将 按台劳公式展开得 令X0Xx 12,iiiitLLVfXXX002010202101,tiittiiiiXXXfLxXfxXfxXfv01Xfaii02Xfbii0tiiXft000012,iiitiilLfXXXLL误差方程线性化误差方程线性化 式中为相应的函数的近似值，自由项为观测值减去其近似值。 需要指出，线性化的误差方程式是个近似式，因为它略去了的二次以上的各项。当很小时，略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为精确的参数的近似值，即都很大，这样，平差值之间仍然会存在

9、不符值。此时，就要把第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平差。 itiiiilxtxbxav214-3 4-3 精度评定精度评定 间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两法的平差结果总是相等的，这是因为在满 足条件下的是唯一确定的，故平差值 不因方法不同而异。 minPVVTVLL单位权中误差单位权中误差单位权方差的估值 ，计算式仍然是除以其自由度，即中误差为 计算 可以将误差方程代入后计算，即， 顾及 ，得 ，考虑到 得 20PVVTtnPVVrPVVTT20tnPVVT0PVlPVBxPVlxBPVVTTTTT)(0PVBTxPBlPlll

10、xBPlPVVTTTT)(TTTPlBPBl)(xWPllxPlBPllPVVTTTTTT)(协协 因因 数数 阵阵 在间接平差中，基本向量为 ， ， 和 。已知 ，根据前面的定义和有关说明知， ，故 ， 。下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互协因数阵。设 ，则 的协因数阵为 对角线上子矩阵是各基本向量的自协因数阵，非对角线上子矩阵为两两向量间的互协因数阵。)(lL) (xXVLQQLLxXX0 xxXXQQ LLllQQ TTTTTLVXLZZLLVLXLLLLVVVXVVLLXVXXXLXLLLVXLLLZZQQQQQQQQQQQQQQQQQ参数函数中的误差参数函数中的误差 假定

11、间接平差问题中有t个参数，设参数的函数为 将 代入上式后，按台劳公式展开，取至一次项，得， 式中 是参数函数的近似值，当近似值一经取定，它是一个已知的系数，令 ),(21tXXX), 2, 1(0tjxXXjjjtttxXxXxXXXX),(020210100201),(00201tXXX0jjXf参数函数中的误差参数函数中的误差上式可以写成或对于评定函数 的精度而言，给出 或 是一样的。通常上式称为参数函数的权函数式，简称权函数式令 ，则 由表查得 ，故函数 的协因数为ttxfxfxff22110ttxfxfxf2211tTfffF21xFT 1bbXXNQFNFFQFQbbTXXT1参数函

12、数中的误差参数函数中的误差一般，设有函数向量 的权函数式为 即用来计算m个函数的精度，其协因数阵为是参数 向量的协因数阵，即1,m1 ,1 ,ttmTmxFFNFFQFQbbTXXTmm1,XXQTtXXXX21ttttttXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXQQQQQQQQQQ212221212111参数函数中的误差参数函数中的误差其中 对角线元素是参数 的协因数，故 的中误差为 函数 的协方差阵为 jjXXQjXjXjjXXjXQ0)(12020,FNFQDbbTmm4-4 4-4 间接平差公式汇编间接平差公式汇编间接平差的函数模型和随机模型是 平差值方程和误差方程为 或lXB1202

13、0PQDdXBVLLlxBV)(00dBXLLLl)(0XFLl间接平差公式汇编间接平差公式汇编法方程为 其解为 观测量和参数的平差值：单位权中误差：0PlBxPBBTTWNPlBPBBxbbTT11)(xXXVLL,0tnPVVrPVVTT0间接平差公式汇编间接平差公式汇编平差参数的协方差阵：平差参数的函数的协方差阵权函数式： 协因数： 方差： 12020bbXXXXNQDxFT FNFFQFQbbTXXT120 QD4-5 4-5 附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差在进行间接平差时，所列误差方程式中未知数的个数应等于必要观测数，且未知数之间要相互独立。但有时实际问题中会遇到所选未

14、知数个数多于必要观测个数，即在平差中选取了个量作为参数，其中包含了个独立量，则参数间存在个限制条件。平差时列出个观测方程和个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型的平差方法，就是附有限制条件的间接平差。附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差原理原理设有n个观测值 ，其权阵为 ，选取u个未知数 ，必要观测数为t，未知数之间条件个数s=u-t。在实际各种类型的测量数据平差中，列出的观测方程和条件方程很多是非线性的，因此必须先按台劳公式将其化为线性形式。附有限制条件的间接平差的线性或线性化后的函数模型为 其中 n1 ,nLnnP,1 ,uX1 ,1 ,1 ,nuunnlxB01 ,1 ,sx

15、uuswxC.,)(,)(usnusCRuBR附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差原理原理即B为列满秩阵，C为行满秩阵。仍用和的估值和V代入，得误差方程和限制条件方程为 随机模型为在上两式中，待求量是n个改正数和u个参数，而方程个数n+s为，少于待求量n+u的个数，且系数阵的秩等于其增广矩阵的秩，即 ,1 ,1 ,1 ,nuunnlxBV,01,1,sxuusWxC1,20,20nnnnPQD.00snWClBIRCBIRx附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差原理原理故是有无穷多组解的一组相容方程。为此，按求条件极值法组成函数： 式中 是对应于限制条件方程的联系数向量。V是 的

16、显函数，为求 的极小，将其对 取偏导数并令其为零，则有转置后 在上三式中，方程的个数是n+u+s，待求未知数的个数是n个改正数，u个参数和s个联系数，即方程个数等于未知数个数，故有唯一解。称这三个方程为附有限制条件的间接平差法的基础方程。 ),(2xTsTWxCKPVV1 ,ssKx x , 02222CKPBVCKxVPVxTSTTsT.1 ,1 ,1 ,ussTsunnnTnuOKCVPB附有限制条件的间接平差附有限制条件的间接平差原理原理解此基础方程得 前面已令 故上式可写成 上式称为附有限制条件的间接平差法的法方程。由它可解出 和 。 , 0PlBKCxPBBTsTT. 0 xWxC,

17、1 ,PlBWPBBNTuTuubb, 01 ,1 ,1 ,usssuTuuubbWKCxN. 01 ,1 ,sxuusWxCx sK精度评定精度评定-单位权方差的估值公式单位权方差的估值公式 附有限制条件的间接平差的单位权方差估值仍是除以其自由度，即 式中 可以用已经算出的V和已知的权阵P直接计算。此外，也可按以下导出的公式计算。 因为 上式可写成：PVVT.20sunPVVrPVVTT,)(PVlPVBxPVlxBPVVTTTTT, )(xPBlKCxPlllxBPlKCxPVVTsTTTTsTTT. xWKWPllPVVTsTxTT精度评定精度评定-协因数阵协因数阵 平差值方程的形式是

18、，误差方程的常数项 ，其中 为常量，对精度计算无影响，故有其中 亦为常量。于是基本向量的表达式为 )(XFL )(0XFLl)(0XF,B0WPLBPlWTT0W,LL ,0WPLBWT,)(11111100 xccTbbbbccTbbbbWNCNWCNNCNNXxXX,111xccbbccsWNWCNNK, lxBV.VLL精度评定精度评定-协因数阵协因数阵按协因数传播律可得QQLL,bbTTWWNPBBPQPBBQ,TTWLBPQBQ,11111111111111ccccccccccTbbccccTbbbbbbccccTbbWWbbccKKNNNNNCCNNNCNNCNNNCNQCNNQss,1111TbbccWLbbccLKBCNNQCNNQs,11111CNNCNNQCNNQccbbbbccwwbbccWKsTbbccTbbbbWWbbccTbbbbXXCNNCNNQCNNCNNQ)()(11111111)()(11111111bbccTbbbbbbbbccTbbbbCNNCNNNCNNCNN,1111bbccTbbbbCNNCNN,)(1111TXXWLbbccTbbbbLXBQQCNNCNNQ,)(1111bbXXWWbbccT