第四章 参数估计1

1、不像其不像其它它科学，统计从来不打算使科学，统计从来不打算使自己完美无缺，统计意味着你永远自己完美无缺，统计意味着你永远不需要确定无疑。不需要确定无疑。 Gudmund R.Iversen （埃维森（埃维森格根）格根）第 四 章 参数估计o4.1 参数估计的参数估计的基本原理基本原理 o4.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计o4.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计o4.4 样本容量的确定样本容量的确定学习目标1、估计量与估计值的概念、估计量与估计值的概念（理解）（理解）2、点估计与区间估计的区别、点估计与区间估计的区别（掌握）（掌握）3、评价估计量优良性的标准、评价

2、估计量优良性的标准（掌握）（掌握）4、一个总体参数的区间估计方法、一个总体参数的区间估计方法（重点）（重点）5、两个总体参数的区间估计方法、两个总体参数的区间估计方法（重点）（重点）6、样本容量的确定方法、样本容量的确定方法（掌握）（掌握）参数估计在统计方法中的地位参数估计参数估计假设检验假设检验统计方法统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计4.1 参数估计的基本原理一、估计量与估计值一、估计量与估计值二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准估计量：用于估计总体参数的随机变量n如样本均值，样本比率、样本方差等n例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量

3、参数用 表示，估计量用 表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值n如果样本均值 x =80，则80就是的估计值一、估计量与估计值 (estimator & estimated value)二、点估计和区间估计（一）点估计 (point estimate)用样本的估计量直接作为总体参数的估计值n例如：用样本均值直接作为总体均值的估计n例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等2、区间估计 (interval estimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样

4、本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量n比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95% 区间估计的图示xxzx2将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平 表示为 (1 - n 为是总体参数未在区间内的比率 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%n相应的相应的 为0.01，0.05，0.10置信水平 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我

5、们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值n我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间 (confidence interval)置信区间与置信水平 xxx置信区间 (95%的置信区间)影响区间宽度的因素1、总体数据的离散程度，用 来测度2、样本容量，3、置信水平 (1 - )，影响 z 的大小nx三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准无偏性(unbiasedness)o无偏性：无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 有效性(efficiency)12一致性(consistency)o一致性：一

6、致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数4.2 一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值均值比率比率方差方差2xp2s一、总体均值的区间估计 (大样本)o假定条件n总体服从正态分布n如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)2.使用正态分布统计量 z)1 ,0( Nnxz)(22未知或nszxnzx(1) 已知方差，估计均值220101(0,1)/niixxnXZNn设已知方

7、差，且知道是 的一个样本平均值，又知道。.1 :12121ZP，使得，找出临界值，查正态分布表，对于给定的置信水平-1|Z| ),(21P使：称区间；通常我们取对，由此可找出无穷多组即：0- -1-/XPn，得：找出查正态分布表, 2/1)(0)-(- nx|1PZ 由正态分布表的构造和，可知：),-( 00nxnx推得，随机区间：。的概率包含它以1 已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;；，置信度为假设标准差%9570的置信区间。试求总体均值07,9,0.05.n解：已知由样本值

8、算得：.115)110120115(91x，由此得置信区间：查正态分布表得临界值96. 1)57.119,43.110()9/796. 1115,9/796. 1115(二、总体均值的区间估计 (小样本)o1. 假定条件n总体服从正态分布,且方差() 未知n小样本 (n 30)p使用 t 分布统计量)1(ntnsxtnstx2t 分布总体均值的区间估计(例题分析)16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析)2 .1503, 8 .14762

9、 .1314901677.24131.214902nstx1490 x77.24s总体分布总体分布样本容量样本容量已知已知未知未知正态分布正态分布大样本大样本小样本小样本非正态分布非正态分布大样本大样本nzx2nSzx2nStx2nzx2nzx2nSzx2三、总体比率的区间估计o1.假定条件n总体服从二项分布n可以由正态分布来近似p使用正态分布统计量 z) 1 , 0()1 (Nnpppz)()-1 ()1 (22未知时或nppzpnzp总体比率的区间估计(例题分析)%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp四、总体方差的区间估计1

10、、估计一个总体的方差或标准差2、假设总体服从正态分布3、总体方差 2 的点估计量为s2,且11222nsn2212222211snsn总体方差的区间估计(图示)例例: 已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;；，置信度为假设标准差%9570的置信区间。试求总体均值由样本值算得已知.05. 0, 9, 70n.115)110120115(91x，由此得置信区间：查正态分布表得临界值96. 1)57.119,43.110()9/796. 1115,9/796. 1115(解解 4.3

11、两个总体参数的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计三、两个总体方差比的区间估计一、两个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值之差比率之差方差比2121222121xx 21pp 2221ss（一）两个总体均值之差的估计(独立大样本)1、假定条件n两个总体都服从正态分布，1、 2已知n若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和n230)n两个样本是独立的随机样本2、使用正态分布统计量 z) 1 , 0()()(2221212121Nn

12、nxxz两个总体均值之差的估计 (大样本)3、1， 2已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为222121221)(nnzxx222121221)(nsnszxxBA 36360036250058. 2)32504500(36360036250096. 1)32504500(（二）两个总体均值之差的估计1(小样本: 12 22 )1.假定条件n两个总体都服从正态分布n两个总体方差未知但相等：1=2n两个独立的小样本(n130和n230)2、总体方差的合并估计量2) 1() 1(212222112nnsnsnsp21221211nnsnsnsppp两个总体均值之差的估计(小样

13、本: 1222 )1、两个样本均值之差的标准化)2(11)()(21212121nntnnsxxtp21221221112nnsnntxxp2 . 42101092.1811036.1611021121222211nnsnsnsp)4.2,2.10(101101)2.4)(1.2(5.282.22两个总体均值之差的估计2(小样本: 12 22 )o1.假定条件n两个总体都服从正态分布n两个总体方差未知且不相等：12n两个独立的小样本(n130和n230)使用统计量)()()(2221212121vtnsnsxxt两个总体均值之差的估计(小样本: 1222 )o两个总体均值之差1-2在1- 置信

14、水平下的置信区间为222121221)(nsnsvtxx1222221121212222121nnsnnsnsnsv 189 .179121092.189121036.1621092.181036.16v)35.2,25.10(1092.181036.161009.25.282.22（三）两个总体均值之差的估计(匹配大样本)假定条件n两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)n两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差d =1-2在1- 置信水平下的置信区间为nzdd2两个总体均值之差的估计(匹配小样本)假定条件n两个匹配的小样本(n1 30和n2 30)n两个总体各观察值的配对差服

15、从正态分布 两个总体均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信区间为nsntdd) 1(2两个总体均值之差的估计(例题分析) 10名学生两套试卷的得分名学生两套试卷的得分 学生编号学生编号试卷试卷A试卷试卷B差值差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916两个总体均值之差的估计(例题分析)11101101dniindd53. 61)(12dniidndds67. 4111053. 62622. 211) 1(2nsntddo假定条件n两个总体服从二项分布n可以用正态分布来近似n两个样本是独立的o两

16、个总体比率之差1- 2在1- 置信水平下的置信区间为二、两个总体比率之差的区间估计222111221)1 ()1 (nppnppzpp两个总体比率之差的估计(例题分析)两个总体比率之差的估计 (例题分析)%32.19,%68. 6%32. 6%13400%)321 (%32500%)451 (%4596. 1%32%45三、两个总体方差比的区间估计1、比较两个总体的方差比用两个样本的方差比来判断n如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近n如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异2、总体方差比在1-置信水平下的置信区间为212221222122221FssFss),(

17、1),(1222121nnFnnF两个总体方差比的区间估计(图示)两个总体方差比的区间估计(例题分析)5201x26021s4802x28022s两个总体方差比的区间估计 (例题分析)505.028026098.128026022214.4 样本容量的确定样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定（掌握）（掌握）二、估计总体比率时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定（掌握）（掌握）三、估计总体均值之差时样本容量的确定三、估计总体均值之差时样本容量的确定（了解）（了解）四、估计总体比率之差时样本容量的确定四、估计总体比率之差时样本容量的确定（了解）（

18、了解）p估计总体均值时样本容量n为p样本容量n与总体方差 2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为n与总体方差成正比n与允许误差成反比n与可靠性系数成正比一、估计总体均值时样本容量的确定 2222)(EznnzE2估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)9704.964002000)96. 1 ()(2222222Ezn根据比率区间估计公式可得样本容量n为二、估计总体比率时样本容量的确定 222)1 ()(EznnzE)1 (2估计总体比率时样本容量的确定 (例题分析)1393 .13805. 0)9 . 01 (9 . 0)96. 1 ()1

19、()(22222Eznp设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2p根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为三、估计两个总体均值之差时样本容量的确定 222212221)()(EznnnnzE22212估计两个总体均值之差时样本容量的确定 (例题分析)估计两个总体均值之差时样本容量的确定 (例题分析)33269.325)12090(96.1)()(22222212221Eznnp设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2p根据比率之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为四、估计两个总体比率之差时样本容量的确定 nzE)1 ()1 (22112222112221)1 ()

20、1 ()(Eznn估计两个总体比率之差时样本容量的确定 (例题分析)估计两个总体比率之差时样本容量的确定 (例题分析)08.1921 . 0)5 . 01 (5 . 0()5 . 01 (5 . 096. 1)1 ()1 ()(22222112221Eznn本章小结参数估计的参数估计的基本原理基本原理一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计(理解理解)样本容量的确定样本容量的确定课堂作业课堂作业1、样本均值的标准误差（ ）估计误差 A、大于 B、等于 C、小于 D、可能大于、等于或小于2、在其他条件不变的情况下，如果重复抽样的允许误差缩小为原来的1/2，则样本容量（ ） A、扩大为原来的4倍 B、扩大为原来的2倍 C、缩小为原来的1/2 D、缩小为原来的1/43、影响置信区间大小的因素有（ ） A、置信水平 B、样本平均数 C、总体离散程度 D、抽样的组织形式 E、样本容量4、下列说法正确的是（ ）A、在其他条件不变的情况下，样本容量越大置信区间也越大B、在其他条件不变的情况下