椭圆及其标准方程学案

1、椭圆及其标准方程学案设计人：吴宝凤一、 学习目标1、 知识目标：熟练掌握椭圆的定义及标准方程2、 能力目标：熟练掌握解析几何的基本思想方法坐标法，体会数形结合思想和类比思想的应用。二、 重点难点1、 重点：椭圆的定义及标准方程2、 难点：椭圆标准方程的推导和化简；坐标法的应用。三、 认真阅读“椭圆及其标准方程”一节，回答下列问题。（一）椭圆的定义1、动动手：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图版的两点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 2、问题：对比两条曲线，分别说出移动

2、的笔尖满足的几何条件。 能否说，椭圆为平面上一动点到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹呢？为什么？3、讨论： 平面上一动点到两个定点的距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？4、概括归纳 椭圆的定义： （二）椭圆的标准方程1、问题 你能说出求轨迹方程的一般步骤吗？ 我们是如何建系求圆的标准方程的？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？2、动动手：根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。【注意】问题1 怎样化简方程+=2a同位合作： 相互检查化简的过程、结果是否正确？出现什么问题？如何更正？分组讨论： 对a²b²该如何处理？它有几何意义吗？画图说明。

3、问题 如果焦点1，2在轴上，坐标分别为（，）（，），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？它和焦点在轴上的椭圆方程有什么区别？3、归纳总结 椭圆的标准方程： （三）例题解析例1 已知椭圆两焦点的坐标分别是（，）（，），并且经过点（，），求它的标准方程.（要求：用多种方法解题，同学间相互交流，看谁的方法最多最好！）例2.在圆上任取一点P，过点P做X轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？（你能说出椭圆和圆的关系吗？）（四）巩固练习、到两定点1（，）和2（，）的距离之和为的点的轨迹是（）椭圆线段圆以上都不对、如果椭圆+=1上一点P到焦点1的距离等于6,那么点P

4、到另一个焦点2的距离是（）、命题甲：动点到两定点，的距离之和P+P=a（a0，且a是常数）；命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4、椭圆+=1的焦距等于（ ）A.12 8 C.6 D.45. 椭圆两焦点的坐标分别是（0，8）（0,8）且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是，则此椭圆的方程是（）A. +=1 +=1 +=1 +=16.若方程=1表示焦点在Y轴上的椭圆,则a的取值范围是（ ）A. a0 B.0 a1 C.a1 D.无法确定7.已知圆C1: （x4）²+ y²=13²,圆

5、C2：（x+4）²+ y²=3²,动圆C与圆C1内切同时与圆C2外切,求动圆圆心C的轨迹方程是 8.已知经过椭圆+=1的右焦点2做垂直于X轴的直线AB交椭圆与A,B两点, 1是椭圆的左焦点.（1）求A1的周长（2）如果AB不垂直于X轴, A1的周长有变化吗?为什么?9. 已知P为椭圆+=1上的点,设1,2是椭圆的两个焦点,且1P2= 求1P2的面积.学案设计意图为使学生更好地掌握椭圆的定义及标准方程，本节学案按照椭圆定义的推导、标准方程的建立、例题解析、巩固练习四个环节进行，运用了类比、数形结合、坐标法、分类讨论等思想方法，引导学生们分别从图形、文字、数学符号等方

6、面进行系统学习，从而对椭圆形成全面的认识，并为以后双曲线、抛物线的学习奠定了基础。在椭圆定义的推导过程中，首先让学生们自己动手画椭圆，通过画图从感性上认识椭圆，揭示椭圆的几何特征，并通过与圆的对比，加深学生对椭圆本质特征的理解。其次，以提出问题的形式，引导学生们进行讨论，强调“定长大于两定点间距离”的来历及必要性，同时引导学生动手操作，加深对椭圆定义的理解。最后，归纳出椭圆的定义，从图象、文字叙述、字母符号三方面进行描述。在环节二中，先以提出问题的方式，为椭圆方程的推导提供了思路，引导学生按照“建系设点列式化简”的步骤进行。其中，化简是难点，所以对它专门设计了【注意】。用问题1解决去根式化简的

7、问题：等式中有多个根式化简，可“分散根式”（即分散到等式两侧）；只有一个根式，则“孤立根式”（即根式单独留在等式的一边，其他项全部移到另一边）。用“同位合作”，检查化简结果，得到方程+=1。随后采用四人一组讨论的形式，加深学生对=的由来及其几何意义的理解。最后用问题2提醒学生变换坐标系，培养他们思维的灵活性及全面性。例1是为巩固对椭圆定义的理解而设置的。解法不唯一，可以使用课本中提供的“定义法”，也可使用“待定系数法”，其实质为一求a，b二确焦点，特别指出当焦点不确定时，要分两种情况讨论。为加强对以上知识点的考察，可对其进行变式训练：变式1 已知椭圆两焦点的坐标分别是（，）（，），点P到两焦点的距离和等于10，求它的标准方程.变式2 已知椭圆两焦点的坐标分别是（0，2）（0，2），并且经过点（，），求它的标准方程。变式3 已知椭圆经过P（，），Q（，）两点，求它的标准方程。特别地，由变式3可引出椭圆的一般方程m²²（，），使用它在知两点求方程时可避免讨论。例要求学生掌握求轨迹方程的一种重要方法相关点法，并且从图形变换上体会圆与椭圆之间的关系：将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆，反之，将椭圆均匀地压缩