1-6 极限存在性定理与两个重要极限分享资料

1、1第六节第六节 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限,lim,lim)2(AzAynnnn 证略证略.一、极限存在定理一、极限存在定理定理定理( (夹逼定理夹逼定理) )如如果果数数列列,nnyx及及 nz满满足足下下列列条条件件： ), 1,()1( NNnzxynnn2例例).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn3上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在

2、的准则可以推广到函数的极限.定理定理( (夹逼定理夹逼定理) )设在0 x的某空心邻域内 （或无)()()(xhxfxg 且有Axhxgxxxx )(lim)(lim00，则极限)(lim0 xfxx（)(limxfx）存在，且也等于 A.证略证略.穷远处）恒有穷远处）恒有Axhxgxx)(lim)(lim4定理定理 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.满足条件满足条件如果数列如果数列nu,121 nnxxxx称单调增加称单调增加,121 nnxxxx称单调减少称单调减少单调数列单调数列具体：单调增加有上界，或单调减少有下界具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.5二、两个重要极限二、两

3、个重要极限1sinlim. 10 xxxxy161sinlim0 xxx例例xxsinlim0)sin(lim0 xxxx xxxxx00limsinlim .0 例例xxxxcos1sinlim0 xxxtanlim0 xxxxxcos1limsinlim00 .1 7例例.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 2022sinlim21 xxx2121 .21 1sinlim 某过程某过程就就有有为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小只只要要实实际际上上, 8e)11(lim. 2 nnn下面利用单调有界定理证明另一个重

4、要的极限：下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限： 9e)11(lim nnn记记nnnu)11( ，先先证证明明nu单单调调增增加加: : ,21 u,249)23(122uu ,2 时时当当 nnnnnnnnnnCnCnCnCnu11111)11(33221 nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(!31)1(!21232 10当当n改改为为n+ +1 1 时时, ,上上式式通通项项 nnnnnnnnnnnn1)1(!1)2)(1(!31)1(!21232 )21()11(!31)11(!212nnn)11()21()11(!1nnnnn .1nnuu 增大，且项数增加一项增大，

5、且项数增加一项( (每一项均为正每一项均为正),), )11 ()21 ( )11 (!1nknnk 11其其次次, ,证证明明nu有有上上界界： nn11131212112 n13 .3 )1(13212112 nn!1!31!212n )21()11(!31)11(!212nnnun)11()21()11(!1nnnnn 12综综上上所所述述，nu单单调调增增加加且且有有上上界界, , 因因此此 nnn)11(lim 存存在在, ,记记为为e. . 无无理理数数597182818284. 2e 以以e为底的对数称为为底的对数称为自然对数自然对数， .ln logexx记记作作e)1(lim10 xxx可以证明，相应的函数极限有可以证明，相应的函数极限有 e)11(lim xxx或或1 13就就有有为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小只只要要实实际际上上, e1 lim1 某某过过程程1415例例.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.e1 例例.)23(lim2xxxx 求求解解422)211 (limxxx原原式式.e2 4-22211)211 (limxxxx16求求 xxxsec42)cos1(lim . . 原式原式