单因素方差分析的计算步骤

1、。一、单因素方差分析的计算步骤假定实验或观察中只有一个因素（因子）A , 且 A 有 m 个水平，分别记为 A1 , A2 ,Am , 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做xij 表示在第 j个水平下的第 i个试验值 i1,2, n; j 1,2,m 。结果如下表 3.1 ：表 3.1单因素方差分析数据结构表观测值水平A1A2Am1x11x12x1m2x22x22x2 mnxn1xn2xnm为了考察因素A对实验结果是否有显著性影响，我们把因素A 的 m 个水平 A1 , A2 ,Am 看成是 m 个正态总体，而xij i1,2,n; j1,2,m 看成是取自第 j 总

2、体的第 i 个样品，因此，可设 xij N a j ,2 ,i1,2,n; j1,2,m 。可以认为 a jj ,j 是因素 A 的第 j 个水平 Aj 所引起的差异。 因此检验因素A 的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：H 0: a1a2am或者H 0: 12m0具体的分析检验步骤是：（一）计算水平均值令 x j 表示第 j 种水平的样本均值，-可编辑修改 -。n jxiji 1x jn j式中， xij 是第 j 种水平下的第i 个观察值， n j 表示第 j 种水平的观察值次数（二）计算离差平方和在单因素方差分析中， 离差平方和有三个， 它们分别是总离差平方和， 组内离差平方和以

3、及组间平方和。首先，总离差平方和，用SST代表，则，SST( xijx)2其中 xxij , 它反映了离差平方和的总体情况。n其次，组内离差平方和，用SSE表示，其计算公式为：SSExijx j2ji其中 x j 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。最后，组间平方和，用SSASSA表示，的计算公式为：22SSAx j xn j xjx用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数， 然后加总，即得到 SSA。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。根据证明，SST, SSE, SSA之间存在着一定的联系，这种联系表现在：SSTS

4、SESSA因为：22xij xxijx jx jx22xijx j x2xij x j x j xx j在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，( xijx) 2( xijx j ) 2( x jx)2即SSTSSESSA-可编辑修改 -。（三）计算平均平方用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。对SST来说，其自由度为n1，因为它只有一个约束条件，即(xijx) 0。对SSAm1，这来说，其自由度是里 m 表示水平的个数， SSA反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：n j ( x j x)0对SSEn m ，因为对每一种水平而言，其观察值个数为n j

5、，该水来说，其自由度为平下的自由度为 nj 1，总共有 m 个水平，因此拥有自由度的个数为m(n j 1)nm 。与离差平方和一样，SST, SSA, SSE之间的自由度也存在着关系，即n1 (m 1) (n m)这样对 SSA，其平均平方MSA为：MSASSAm1对于 SSE，平均平方 MSE 为：MSESSEnm（四）方差分析表由 F 分布知， F 值的计算公式为：组间方差MSAF组内方差MSE为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表 3.2：表 3.2 方差分析表方差来源离差平方和自由度（ df ）平均平方（ MS ） F 值（ SS）组间组内总差异SSAm1MSAMSA/ MSESSEnmMSESSTn1-可编辑修改 -。（五）作出统计判断对于给定的显著性水平，由 F 分布表查出自由度为(m1,nm) 的临界值 F ，如果 FF ，则拒绝原假设， 说明因素对指标起显著影响；如果 FF ，则接受原假设，说明因素