15空间向量的应用分享资料

1、1 对于空间任意一条直线对于空间任意一条直线 ，与直线，与直线 平行的平行的非零向量非零向量 叫做直线叫做直线 的一个方向向量。的一个方向向量。d 空间直线的方向向量空间直线的方向向量lll注：直线注：直线 有无穷多个方向向量，这些方向向有无穷多个方向向量，这些方向向 量是相互平行的量是相互平行的lllllld lll 对于空间任意一条直线对于空间任意一条直线 ，与直线，与直线 平行的平行的非零向量非零向量 叫做直线叫做直线 的一个方向向量。的一个方向向量。d lll注：直线注：直线 有无穷多个方向向量，这些方向向有无穷多个方向向量，这些方向向 量是相互平行的量是相互平行的l2例、已知所有棱长

2、为例、已知所有棱长为1 1的正三棱锥的正三棱锥A-BCDA-BCD，试建立，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。0,1,0 ,3,1,0 ,3, 1,01, 3,2 2 ,1,0,2 ,1,3,2 2BDBCCDABACADdddddd DCAB注：为了计算和表达的方便，我们常选用坐标的注：为了计算和表达的方便，我们常选用坐标的值比较简单的方向向量。值比较简单的方向向量。3例、例、 已知已知 =（2，2，1），）， =（4，5，3）求平面）求平面 ABC的单位法向量的单位法向量.ABAC012 2,33 3n 对于非零的空间向量对于非零

3、的空间向量 , ,如果它所在的直线与平如果它所在的直线与平面面垂直垂直, ,那么向量那么向量 叫做平面叫做平面的一个法向量的一个法向量. .nn平面的法向量平面的法向量注注:(1):(1)平面平面 有无穷多个法向量，这些法向量是相互平行的；有无穷多个法向量，这些法向量是相互平行的； (2)(2)平面平面 的法向量的法向量 与平面与平面 内的所有向量都垂直内的所有向量都垂直 n 4例、在放置于空间直角坐标系中的长方体例、在放置于空间直角坐标系中的长方体 中，中，求下列平面的一个法向量：求下列平面的一个法向量：（1 1）平面）平面 ；（2 2）平面）平面 ；（3 3）平面）平面1111ABCDA

4、B C D ABCD11ACC A1ACDxyzABCD1A1B1C1D 0,0,1n 1,2,0n 3,6, 4n 23456法向量与方向向量的应用法向量与方向向量的应用1 1：判断平行关系：判断平行关系基础命题基础命题1 1：两条直线平行与重合：两条直线平行与重合基础命题基础命题2 2：一条直线与一个平面平行或在一个平面内：一条直线与一个平面平行或在一个平面内基础命题基础命题3 3：两个平面平行或重合：两个平面平行或重合方向向量互相平行方向向量互相平行这条直线的方向向量垂直于该平面的这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量法向量它们的法向量互相平行它们的法向量互相平行7ExEx：如图，在四棱

5、锥：如图，在四棱锥 中，底面中，底面ABCDABCD为正方形为正方形 ，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的中点，作的中点，作 交交 PBPB于点于点F F，证明：，证明：（1 1）（2 2）PABCD PDABCD 底底面面EFPB PAEDB 平平面面PBEFD 平平面面xyzGFEABCDP推论：一条直线与一个平面垂直推论：一条直线与一个平面垂直这条直线的方向向量这条直线的方向向量平行于该平面的法向量平行于该平面的法向量8 EX.如图，在长方体如图，在长方体 中，中， 求证：平面求证：平面 平面平面 . ABCDA B C D/C DBAB DABDCDCBAxyz9法向量与方向向

6、量的应用法向量与方向向量的应用2 2：空间角的度量：空间角的度量022 coscos 即即空间两条直线所成的角空间两条直线所成的角：设空间直线：设空间直线a a与与b b所成的角为所成的角为 它们的一个方向向量分别为它们的一个方向向量分别为 的夹角为的夹角为 ，根据空间，根据空间 两条直线所成的角的定义，可知两条直线所成的角的定义，可知 是是 ,20212222,dl m ndd 与0与1111,dl m n 10ExEx：正四面体：正四面体ABCDABCD的棱长为的棱长为a a，E E、F F分别是棱分别是棱BCBC和和ADAD的中点，求直线的中点，求直线AEAE和和FCFC所成角所成角 D

7、CABEFOxyz2arccos311ExEx：四棱锥：四棱锥S-ABCDS-ABCD的高的高SO=3,SO=3,底面是边长为底面是边长为2,ABC=602,ABC=600 0的菱形的菱形,F,F是是SASA的中点的中点,E,E是是SCSC的中点的中点, ,求异面直线求异面直线DFDF与与BEBE所成角的大小所成角的大小. .FESODC BAxzy2arccos1112空间直线与平面所成的角空间直线与平面所成的角：当直线：当直线l l与平面相交且不与平面相交且不垂直时，设它们所成的角为垂直时，设它们所成的角为 是直线是直线l l的一个方向向量，的一个方向向量， 是平面是平面的一个法向量，的一

8、个法向量，的夹角为的夹角为 ，那么，那么 有如下关系：有如下关系：0,2d n与dn 与02222 0,;,022sincoslll 于于是是或或13二面角二面角：设两个半平面所在的平面：设两个半平面所在的平面1 1，2 2的法向的法向量分别为量分别为 ，两个法向量的夹角为，两个法向量的夹角为 ，二面角，二面角的大小为的大小为 ，可以看出，可以看出12,n n 0 或或|cos| |cos|14ExEx：在正方体：在正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中，中，E E，F F分别是分别是BC,CDBC,CD的中点，求：的中点，求：（1 1）直线）直线ADAD与平面与平面EFDBEFDB所成

9、角的大小；所成角的大小；（2 2）二面角）二面角B-BE-FB-BE-F的大小。的大小。2arcsin62arccos315ExEx：已知正三棱柱：已知正三棱柱 的所有棱长都是的所有棱长都是a a，M M是棱是棱 的中点，的中点，求：求：（1 1）直线）直线 与平面与平面 所成角的大小所成角的大小 （2 2）二面角）二面角 的大小的大小111ABCA B C 11A B1BB1AMC11MACA xyzA1AB1BC1CM5arcsin515arccos516ExEx：已知正方体：已知正方体 的棱长为的棱长为2 2，P P、Q Q分别在分别在BCBC、CDCD上运动，且上运动，且 ，建立如图所

10、示坐标系，建立如图所示坐标系（1 1）确定）确定P P、Q Q的位置，使得的位置，使得（2 2）当）当 时，求二面角时，求二面角 的大小的大小1111ABCDA B C D 2PQ 11B QD P 11B QD P 1CPQAABCD1A1B1C1DPxyzQ1arccos3 中点中点17sincosdAMAMn AMn AMAMnAMn AMn 设设A A是平面是平面外任意一点，外任意一点， 是平面是平面过点过点A A的法向量，的法向量，点点M M是平面是平面内任意一点，向量内任意一点，向量 的夹角为的夹角为，直线直线AMAM与平面与平面所成角为所成角为 。AMn 与n法向量与方向向量的应用法向量与方向向量的应用3 3：空间：空间点到平面的距离点到平面的距离18思考：点面、线面距离可以用该公式，那么异面直线思考：点面、线面距离可以用该公式，那么异面直线之间的距离也可用之间的距离也可用 吗？想想为什么？吗？想想为什么？n AMdn E