§13复数的乘幂与方根2012

1、Rezz,|lmz|yz,2222zzzz=xy§1.3复数的乘窑与方根教学目的：熟练运用复数的各种表示法的转化灵活进行相关的计算与证明.重点：灵活运用复数的各种表示法与运算性质熟练解决相关问题.难点：模不等式证明，复数的三角表示与指数表示，复数的开方与复方程求解.教学过程：复习：复数的模的三角不等式与恒等式zxyRezImz设ziXiiyi,z2X2iy2,则有三角不等式|zilzziz2zizj,例(1)zi22|ziz2(2)设zi,z2为任意复数，证明下式并说明它的几何意义ziz22zi葺2(zi|2z22)；(3)kIIzi.证明(1)z(z2J(z1z2)(z1Z2)J(

2、Z1Zi)(Z2Z2)|ziz2(2)2z2zi又22z2z22Z22Z2z(ziz2)(ziz2)z>zziz2z?zi2Re(zz2),2ziz2|(ziz2)(zz2)zzzz2z2zTzz|2廿zz2z2zIz>两式相加得ziz22|zi葺2(zi22z22Re(zzO,2z2).z2)(ziz2)2zi2z22Re(zz2),它的几何意义是：平行四边形的对角线的平方和等于它的相邻两边的平方和的两倍.(3)z又因为Re(ziz2)ziz2ziz2ziz2,所以ziz：zi2z222zz2(ziz2)2,从而llzzJIzz2,同理可证Zi乙I|zi|Z2故有|ziZ2IIZ

3、iZ2I|zj|Z2思考：说明上述不等式在什么条件下取等号？1) 复数的三种表示代数表示：而Zxiy称为复数Z的代数形式.2) 三角表示：设zxiy【(z0),由直角坐标与极坐标的关系知zr(cosisin)称为z(z0)的三角形式.其中r是模，是辐角.(如图1.6解释两个量)汪息：特别，当rz1时zcosisin称为单位复数.3)指数表示式：由欧拉公式(Euler):ecosisin知复数z(z0)表示成zre'称为指数形式.§1.3.1复数的积与商设z1r1(cos1isin1),z2r2(cos2isin2)复数三角形式与指数形式的积设z1r1ei1,z2r2ei2,贝

4、Uz1z2r1r2ei(12).从而Z1Z2Zi|z2,Arg（ZiZ2）ArgziArgz2.【定理一】两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于两个辐角的和.复数乘法的几何意义：Z,Z2表示将Z所表示的向量逆时针旋转ArgZ2并伸长Z2倍后所获得的向量.（提问：iz及1. iz表示的意义是什么？）重要结论：z,z2rr2,22k,（k为任意整数）复数三角形式与指数形式的除法Zl旦cos(12)isin(12)Z22ZlLei12（同上叙述除法的几何意义）Z2r2从而Z1Z2Argz1Argz2.【定理二】两个复数商的模等于他们模的商；两个复数商的辐角等于被除数的辐角与除数的辐

5、角之差思考题：如何理解4arg(Z1Z2)argzargZ2；arg()argzarg互Z2例子：arg(i),arg(1)23arg(i)(1)arg(i)匚二7arg(i)arg(1)22(1)argarg(i)arg(1)arg(i).arg_arg(五arg(33i)arg(3、3i).2例1用复数的三角形式计算(1)(1iJ3)(J3i).解：因为1i、.32(cos3isin),3.3i52cos(6)isin(56所以（1i.3)(.:宇i)=4cos()isin()=4i.22(2)-L2i解：2iV5(cosarctan1isinarctan【),222i、.5cosarct

6、an(2)IsInarctan(2)12ir1cosarctan-arctan(2)isinarctan1，-arctan(2)cosisini-2注意运用反三角恒等式：arcsinxarccosx,x1,12arctanxarccotx,xR.2当x0时，arctanx1arccot.一,1提I可：设zr(cosisin)，贝Uz#：【(cosisin)-cos()isin().zrr§1.3.2复数的乘方与开方运算1.藉：通常把n个复数z的乘积zzLzzn称为z的n次藉记为zn.nninn,.、rer(cosnisinn),若z0,记zre'，则z特别当r1时，有一ine

7、cosnisinn2.方根：设z0,通常把满足方程wnz(n2为整数)的复数w称为复数z的n次方根，记为w屹.记z。，we1棣莫弗公式(DeMoivre)将它们代入方程wnz得neinreir(算术根),2knk0,1,2,L,n1.从而nr,n2k,于是且复数z的n次方根为_i2kwk(nz)knre'F,k0,1,2,L,n1.结论：复数z(z0)的n次方根共有n个，它们均匀地分布在以原点为心，件为半径的圆周上.(如图1.7)注意：复数的乘、除运算以及下面的藉(乘方)、开方运算用复数的三角形式或指数形式较简单.例2求痂的复指数表示式.解因为88e',_'2k'

8、;2k所以3-838e2e(k0,1,2).提问：计算VT7例3用复数三角表示计算(1iJ3)3.解(1i,3)32(cos-3isin宓38(cosisin)8.例4解方程(1) z320；(2)z320(3)z3由0.(4)z31i0.解(1)z320可化为z32,方程的三个根为l2k2kz3一2(cosisin)(k0,1,2).33z3420可化为z3皿,1z、2(cosisin)32(cos2kisin2k)33(k0,1,2)为方程的三个根.(3)z3J2i0可化为z3J2i,_1z'、2cos(-)isin(-)322-2kisin)(k0,1,2)_-2k62(cos3

9、为方程的三个根.(4)z31i0可化为z31iz3、-2(cosisin)44z62(cos8isin)(k0,1,2).1212例5求cos3及sin3(用cos与sin来表示)解：由棣莫弗公式知(cosisin)3e13cos3isin3又(cosisin)332cos3cossini(3cos2_sin一一3sin比较两式的实部与虚部得cos3cos33cos2sin34cos3cossin33cos2sin_3sin3sin4sin3例6已知正三角形的两个顶点为z11与z22i,求另一个顶点.分析：注意正三角形的几何特征与复数的几何意义-iZ3Zie3（Z2Zi）13（2yi）（1i）313z3（2项（2"练习：1.方程sinzcosz0在复数范围内的全部解为z=k+一,（k为整数）.42.方程sinzcosz0在复数范围内的全部解为z=k一，（k为整数）.4提问：1. 任何复数都有模和幅角这种说法对吗?1i2-该Zij=,Z2、/3i,试用指数形式表示ZZ2和登Z2小结：1.在进行复数运算时注意三角形式计算必须符合的要求.同时注意复数开方，开几次方则有几个根；开方时，以指数形式表示简单.2. 两个三角形式的复数相等时，辐