数学竞赛辅导讲义――直线与圆的方程

1、数学竞赛辅导讲义直线与圆的方程一、例题 例1 求函数(3cos 02sin f +=-,的值域.例2 当实数x ,y 满足(2211x y +-=时,不等式0x y m +恒成立,求实数m的取值范围.例3 过直线:5l x =上一动点M 作圆22:16C x y +=的两条切线,切点分别为1T ,2T ,试求12M T T 的垂心H的轨迹方程. 二、练习题1. 若直线1:440l x y +-=,2:0l m x y +=与3:2340l x m y -=能围成一个三角形,则实数m 的取值范围是_.2. 方程 |1x -=表示的曲线是_.3. 以两圆221:410C x y x y +=与22

2、2:2210C x y x y +=的公共弦为直径的圆的方程为_.4. 已知当a R 且1a 时,圆2222(220x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切, 则直线l 的方程是_.5. 在平面直角坐标系中,横纵坐标都是有理数的点称为有理点,则过点且其上至少存在两个有理点的直线的条数为_.6. 在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点,则平面上的整点到直线54:35l y x =+的距离的最小值是_.7. 已知矩形A B C D 的顶点C 的坐标为(4,4,顶点A 在圆22:9(,0O x y x y += 上移动,且A B ,A D 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求矩

3、形A B C D 面积的最小值,以及取得最小值时点A 的坐标.8. 已知直线:l y x b =+与圆22:(11C x y +=相交于A ,B 两点,点P 在l 上,且|2PA PB =.当b 变化时,求点P 的轨迹方程.9.(2012年全国联赛在平面直角坐标系xOy 中,菱形A B C D 的边长为4,且|6OB OD =.(1求证:|OA OC 为定值; (2当点A 在半圆22:(24(24M x y x -+= 上运动时,求点C 的轨迹.10. 直线l 与O 相离,点P 为l 上任意一点,过点P 引O 的两条切线,切点分 别为A ,B ,求证:直线A B 过定点.数学竞赛辅导讲义直线与

4、圆的方程参考答案1.1214.63m m -x y x y +=5.答案:1.分析:显然,若存在这样的直线,则该直线必有斜率.下面用反证法.证明斜率必为零.假设斜率不为零,设点11(A p q ,与22(B p q ,为该直线上的两个不同的有理点,则有2121q q p p -=-, 注意到等号的左边是个无理数,而右边是有理数,矛盾.因此假设错误,即满足条件的直线的斜率必为零. 注:此题属竞赛级别. 6.答案: 85lP分析:平面上的整点(a b ,到直线54:35l y x =+的距离(,d a b =, 因5(53a b -为5的倍数,故当且仅当5(5310a b -=-,即532a b

5、-=-,亦即32a k =+,54b k =+(k Z (根据数论中的孙子定理,当然若想简单一点,取1a b =-便可时,(,d a b 取最小值. 注:此题属竞赛级别. 7.当且仅当点A的坐标为4422-+ , 或4422+- ,时,矩形A B C D 面积最小且最小值为72.8.答案:点P的轨迹方程为22(13(11x y y x +=<-<. 分析:易见点P 在圆C 的外部,即点P 在点A 、B 的同侧.否则,若点P 在线段A B上,则22|22|122PA PBr PA PB += (这里r 为圆C 的半径,矛盾.利用切割线定理,设直线P T 与圆C 相切于点T ,则有2|

6、2PT PA PB =,于是222|213PC PT r =+=+=,这表明点P 在以(0,1C - 但不能说这个圆就是点P 的轨迹,因为点P 还有其他约束条件,即点P 在直线l 上,而l 是要与圆C 相交的.9.(1(从几何关系入手设点E 为菱形A B C D 的对角线的交点,则222222222222|(|(|(|=|(|6420.OA OC OE AE OE EC OE AE OB BE AE OB BE AE OB AB =-+=-=-+=-=-=注:此题的条件可以简化一下.(2(利用圆的参数方程因点A 在半圆22:(24(24M x y x -+=上运动,l13.x -1PTBA P

7、 C O2 故可设点 A 的坐标为 ( 2 + 2 co s a ， sin a (a Î - p p 2 ， 2 ， 再利用（1）的结论，可得点 C 的参数方程为 ì x = 5， ï í a ï y = 5 tan î 2 （ a 为参数，且 a Î - p p 2 ， ） ， 2 即点 C 的轨迹是一条线段，端点为 (5， 5 ， (5， . - 5 10. 如图建立直角坐标系， 设圆 O 的半径为 r ， 直线 l 的方程为 x = a ( a > r ， l 上的动点 P ( a， t ，切点 A ( x1，

8、 y1 ， B ( x 2， y 2 ， y A(x1,y1 l P(a,t r a x B(x2,y2 则切线 P A ， P B 的方程分别为 x1 x + y 1 y = r 2 ， x2 x + y2 y = r 2 ， O 因点 P ( a， t 在切线 P A ， P B 上，故 x1 a + y 1 t = r 2 ， x2 a + y 2t = r 2 ， 15. 上述两个方程表明 A， B 都在直线 a x + ty = r 2 上，这恰是直线 A B 的方程. 据此方程可知，直线 A B 恒过定点 ( r 2 ， 0 a . 换个角度， 由于 O A A P ，O B B P ，