微积分考试及答案

1、0202 微积分（下） 2015 年 12 月期末考试指导一、 考 试说明考试题型包扭：选择题 （10道题，每题 3分）填空题 （ 5道题，每题 3分）计算题 （ 6道题，平均每题 8-9分） 证明题（一般 1道题，每题 7 分）。考试时间： 90 分钟。二、 课程章节要点第一章、广义积分和定积分的应用（一）广义积分1. 知识范围（ 1） 广义积分的概念（2）无穷积分的收敛性与判别法（3）瑕积分的收敛性与判别法2. 考核要求（1）理解无穷积分和瑕积分的概念及儿何意义（2）掌握非负函数无穷积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法（3）知道瑕积分收敛性和比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判

2、别法（二）定积分的应用1. 知识范围（1）掌握定积分在几何计算平面图形的面积（2）掌握定积分在几何计算旋转体的体积、 1111 线的弧长、旋转曲而的而积 （ 3） 掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用2. 考核要求（ 1） 掌握定积分在几何计算平面图形的面积（2）掌握旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积的计算（ 3） 掌握定积分在物理上计算压力、功、重心等简单应用 第二章、级数（）数项级数1. 知识范围（ 1） 数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基本知识级数收敛的必要条件（ 2） 正项级数敛散性判别法比较判别法比值判别法（3）一燉项级数交错级数绝对收敛条件收敛莱布尼兹判别法积分

3、判别法阿贝尔判别法 里克莱判别法2. 考核要求（ 1） 掌握数项级数的概念级数的收敛与发散级数的基木知识级数收敛的必要条件（2）熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法（ 3） 掌握一般项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念（4）掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法、了解任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄里克 莱 判别法（ - ）函数列与函数项级数1. 知识范围（1）函数列及其一致收敛性（2）函数项级数及其一 ?致收敛性（3）函数项级数的一致收敛性判别法（4）一致收敛函数列与函数项级数的性质2. 考核要求（1）掌握函数列及其一致收敛性概念（2）掌握函数项级数及其 - ?致收敛性概念（3）掌

4、握一致收敛性 M- 判别法，了解阿贝尔判别法和狄里克莱判别法（4）掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质（三）幕级数1. 知识范围（1）幕级数的概念幕级数的收敛区间和收敛半径幕级数的展开（ 2） 幕级数的性质，幕级数的运算（3）幕级数的展开2. 考核要求（1）理解幕级数的概念 熟练掌握幕级数的收敛区间和收敛半径（ 2） 掌握幕级数的性质 会幕级数的运算（3）掌握简单初等函数的幕级数的展开 第三章、多元函数（一）多元函数的极限与连续1. 知识范围（1）多元函数与平血点集（2）完备性定理（3）二元函数的定义域二元函数的几何意义（4）二元函数极限累次极限（ 5） 二元函数的连续性概念有界闭区域上连续函

5、数的性质2. 考核要求（1）理解多元函数与平面点集（ 2） 知道上的完备性定理（3） 掌握二元函数的定义域理解二元函数的儿何意义4) 掌握二元函数极限的概念掌握累次极限的概念5) 理解二元函数的连续性概念理解冇界闭区域上连续函数的性质（二）多元函数微分学1. 知识范围（ 1） 多元函数可微性与全微分的概念多元函数偏导数的概念可微性的几何意义少应用（ 2） 复合函数微分法复合函数的求导法则复合函数的全微分（ 3） 方向导数与梯度（ 4） 高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题2. 考核要求（1）理解多元函数可微性与全微分的概念理解多元函数偏导数的概念了解可微性的几何意 义与应用（2）掌握复合函数微

6、分法熟练掌握复合函数的求导法则掌握复合两数的全微分的求法（3）掌握方向导数与梯度及计算（4）掌握高阶偏导数的求法知道多元函数的微分中值定理和泰勒公式（5）理解多元函数极值问题掌握二元函数 H 由极值求法 第四章、隐函数1. 知识范围（ 1） 隐函数概念 隐函数存在性条件的分析（ 2） 隐函数定理隐函数的求导（ 3） 隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换（ 4） 平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（ 5） 条件极值2. 考核要求（ 1） 了解隐函数概念 了解隐函数存在性条件的分析（ 2） 了解隐函数定理掌握隐函数的求导运算（ 3） 了解隐函数组概念了解隐函数组定理

7、了解反函数组与坐标变换（4）掌握平面 Illi 线的切线与法线空间 Illi 线的切线与法平面曲面的切平面与法线的概念及 计算（ 5） 掌握多元函数条件极值的拉格朗 LI 乘数法 第五章、重积分1. 知识范围（1） 二重积分的概念 二重积分的可积条件直角坐标系下的二重积分计算格林公式曲线积 分与路线无关性二重积分的变量变换（2）三重积分的概念三重积分的可积条件直角处标系下三重积分计算三重积分的变量变换（ 3） 重积分的应用曲面的面积 重积分在物理学上的应用2. 考核要求（1） 理解二重积分的概念 理解二重积分的可积条件熟练掌握直角坐标系卜 ?的二重积分 计 算熟练掌握极坐标系下的二重积分计算理

8、解格林公式理解曲线积分与路线无关性的条件会 二重积分的变量变换（2）理解三重积分的概念理解三重积分的 nJ 积条件 掌握直角坐标系下三重积分计算 会三 重 积分的变量变换会柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算（3）掌握重积分在几何上的应用掌握曲面的而积的计算掌握重积分在物理学上的简单应用 第六章、微分方程初步1. 知识范围（1）微分方程的概念，阶数判断（2）一阶微分方程的解法（3）可降阶的高阶微分方程的解法（4）二阶常系数线性微分方程的解法（5）二阶常系数线性微分方程的解法及其应用2. 考核要求（1）理解微分方程的概念，熟练掌握阶数判断的方法（2）理解一阶微分方程的解法，会进行计算（3）掌握可降

9、阶的高阶微分方程及其解法（4）了解二阶常系数线性微分方程，它的解法，和在实际问题屮的应用三练习题1. n->x? 0是级数工仏收敛的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件2?卜？列级数中发散的是（A、工Ac、ZI3. 下列级数中绝对收敛的是DIA、若丁 2卅+ 1 00 1 工（-1）冷 心 7rr亠、单选题z(-ir 4/r=l，D、 D-iy 77-1W=1715. 正项级数立”收敛的充要条件为（ n=lA limij =0M, > U2 > Un > ?C、1冊导存在，(Sn =U +U2+? + /)D、lim 乩=1TOOu6设z = z （xo

10、）是由方程炉=0所确定的隐两数，贝恃（D、x(1-z)7.设函数f （x,y）的驻点为（心儿），且左（心儿）二人允（心儿）二乩冗（兀儿）二匚A、A>0M>0B. A>0,A<0CA A<0,A>0A = B* 2 3 4-AC,则（心儿）为极大值点充分条件是（）Ds A<0,A<08.A、9/r设 D = |(x, y)|l2 x2 + y2 321，则 j :dxdy -()B、 2;r巧C、4/rD、8/rCA y*+ 2x = 09. y =小是哪个微分方程的解()C、C cos2x + C2 sin2x D、ex10. 方程y,-2yt+

11、5y = 0的通解是()AA k(C cos2x + C 2Sin2x) B、ex( Cx + C2)、填空题 幕级数£（-i） ” 的和函数是0-A-= dxdy5、二元函数/(x,y)=(八-1) 2+(y-2)2的极小值点是 ?6、微分方程y ”-7y '+12y = 0的通解为 7、二元函数/(x,y) = (x-l)2+b-2 ) 2的极小值点是 ?& 微分方程 xdx + ydy = 0的通解为 .二、计算题1设 x + b+z = InJx+b+z ,求竺.dx2. 计算二重积分Jlj4?V'其中D是由圆周x2 +)4 2x围成的闭区域3. 计算

12、积分/的值.(提示：先改变积分次序)4、判断级数为治的收敛性.n = l =兀？5、将函数/心丄展成皿幕级数06、求幕级数工处心的和.n=l7、求函数 z = xy(a-x-y)的极值(a >0).8>设z = -v3 + y3-3xy ,求它的极值.9、求微分方程xA+y = cosx的通解.dx10八求yjx2 4- y2dxdy,其中 D = y) x2 + y2 W 2x.四、证明题1、设 z = xv (x > 0,x 1),证明=2z. y dx In x dy四、习题答案、单选题BBCCC BDDDA、填空题1. 严2. |(X,>)|A-2+.V2 &g

13、t;13. 计4. -4 切5 (1,2) .6、y = Qe3x AC2e4x.7、(1,2).8、%2 + y2 = C.三、计算题1.提示：隐含数求导法 - = -1， dx2提示洋产験JT石心理2_2c。幽2龙一4?3. 提示： I = 1 sin 1 ?4、提示 :应用比值法 lim 也= lim 丄(1 + =< 1 > 收敛 " >8 a >30 31nJ5、提示 ：/W=7A= (X-3)(A-2)=X3 1-l 3丿丿1 8 (八"1 oc /vLy- -ly - 2 幺(2=丿 3 幺(3 丿6、提示：利川幕级数逐项求积法&

14、; 提示：f; =3x2-3y = 0J ; . =3/-3x = 0=>=0)1 = 0%2 = 172 =1a>令S(x)二卅X"T ,逐项积分卜(少 =£兀二x + x2+?=八zr=l0心1 一兀/、所以S (z) | =丿X "),xe (-1,1). nxnn=l7、提示：利用判定极值点的方法:忙严0,解出驻点(0,0),(a a、Z), = x(a-x-y)-xy = 05*3>z? = -2y,珞=a-2x-2y, z"y = -2x.27(0,0)卄?极值点，雳)极大值点其极大值为気,其极小值为-1.化=6xf-3傀=6 “ (0,0)非极值点,(1,1)是极小值点9、提示：y = (C + sinx).? l10'提示：利用变量代换(极坐标变换):,r2eos& 32 do rrdr da2 + y2dxdy =jt=-四. 证明题z = X>,. ?.学=yxv_1