数列的综合问题

1、10 数列的综合问题突破点(一)数列求和(1)倒序相加法;1 .公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法；2 .倒序相加法与并项求和法:an= (- 1)nf( n)类Sn= 1002- 992+ 982- 972+-+ 22- 12= (1002- 992) + (982- 972) + +(2)并项求和法：在一个数列的前 n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 型，可采用两项合并求解.例如，(22- 12)= (100 + 99)+ (98+ 97)+ (2 + 1) = 5 050.3. 裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从

2、而求得其和.1 11 1常见的裂项技巧：e=n-苗.后1 1 - 1 1 1 1 - 12 n n + 2 . 2n 1 2n + 1 = 2 2n 1 2n + 1 .：n + n + 1=.n+ 1 -4.错位相减法考点一分组转化法求和例 1 已知数列an, bn满足 a1 = 5, an= 2an-1 + 3n 1(n > 2, n N ), bn= an 3n(n N ).(1)求数列bn的通项公式；求数列an的前n项和Sn.解(1) I an= 2an-1+ 3n1(n N*, n> 2), an-3n= 2(an-1-3n1bn- bn= 2bn- 1(n N*, n

3、> 2). v b1= a1- 3= 2工 0,. bn 0(n >2)，严=2, bn-1二bn是以2为首项，2为公比的等比数列. bn= 2 2n-1= 2n3n+17由(1)知 an= bn+ 3n= 2n + 3n,.Sn= (2 + 22+ + 2n)+(3 + 32 + + 3n)= 2n+ 丁-勺方法技巧分组转化法求和的常见类型(1)若an = bn ±3n,且bn , Cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前n项和.bn, n为奇数，一通项公式为an =的数列，其中数列bn, Cn是等比数列或等差数列，可米用分组转化法求和.cn, n为偶数考点二错

4、位相减法求和例2 (2016山东高考)已知数列an的前n项和Sn = 3n2+ 8n , bn是等差数列，且 an= bn+ bn+1. n+ 1ab +12 n，求数列bn+ 2(1)求数列bn的通项公式； 令Cn =Cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当 n2 时，an = Sn Sn-1 = 6n+ 5,n= 1时，a1 = S1 = 11,满足上式，a1 = b1 + b2, 所以an= 6n + 5.设数列bn的公差为d.由a2= b2 + b3,11 = 2b1+ d， 所以 bn= 3n + 1. 17= 2b1+ 3d,6n + 6 n+1由(1)知 Cn= 3n + 3n

5、= 3(n + 1) 21，又 Tn= C1+ Q+ 01,得 Tn= 3X 2 X22+ 3X23+ (n + 1) X2n +1, 2Tn= 3 X 2 >23 + 3X24 + + (n + 1) X2n+2, 两式作差，得一Tn= 3X 2 X22+ 23+ 24 + + 2n+1-(n + 1) X2n + 2 =- 3n 2n + 2,所以 Tn= 3n 2方法技巧错位相减法求和的策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an bn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比， 然后作差求解.(2)在写Sn”与qSn”的表达式时应特别

6、注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ Sn qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求 和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1和不等于1两种情况求解.考点三裂项相消法求和例3数列an的前n项和为Sn = 2n*1 2，数列bn是首项为ai，公差为d(d 0)的等差数列，且bi， b3， b成等比数列.2 *(1) 求数列an与bn的通项公式；若cn=(n N )，求数列cn的前n项和Tn.n 十 1 bn解(1)当 n2 时，an= Sn Sn-1= 2n+1 2n= 2n，又內=&= 21+1 2= 2 = 21,也满足上式，所以数列an的通项公式为an= 2n则b1

7、= a1 = 2由b1，b3，b9成等比数列，得(2 + 2d)2= 2x (2 + 8d)，解得d= 0(舍去)或 d = 2，所以数列bn的通项公式为bn = 2n.2 111 111(2) 由(1)得cn=击1= 乔1= 1 市，所以数列cn的前n项和Tn= 而 + 药 + 茹 +=1 1 +丄-打+1-丄=1n x n + 12 23 nn + 1突破点(二)数列的综合 应用问题匚等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点,，主要有：:-f综合考查等差数列与等比数列的定- 义、通项公式、前n项和公式、等差比中项、等差比数列的性质；2重点考查基本量 即“知三求二”， 解方程 组 的计算以

8、及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题12数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方i式有：1以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的通 项公式或前n项和；2根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题.!3数列与不等式的综合问题是高考考查的热点考查方式主要有三种：1判断数列问题中的一些不等关!系，如比较数列中的项的大小关系等 2以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的 取值范围等_.3_考查与数列问题有关的不等式的证明问题_._考点一等差数列与等比数

9、列的综合问题例1在等差数列an中，a10= 30，a20= 50.(1)求数列an的通项公式；令bn= 2an 10,证明:数列bn为等比数列；求数列nbn的前n项和Tn.a1 + 9d= 30，解(1)设数列an的公差为d，则an = a1 + (n 1)d，由a10= 30，a20= 50，得方程组a1+ 19d= 50,a1= 12，+ 解得所以 an= 12 + (n 1) x 2= 2n + 10.(2)证明：由(1)，得 bn = 2an 10= 22n 10 10= 22n = 4n，d= 2.所以bn+1bn4n+14n=4.所以bn是首项为4，公比为4的等比数列.(3) 由

10、nbn= nx 4n，得 Tn= 1 x 4+ 2X 42+ + nx 4n，4Tn = 1X 42+ + (n 1) x 4n+ n x 4n+ S 一，得一3Tn= 4+ 42+ 4n n x 4n+1 =4 1 4n3n x 4n+1.所以3n 1 x 4n+ 口 49方法技巧-番差数列、番比数列综合问题的两大解题策略-一-(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求岀通项、求通项需要先求岀首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比 不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的

11、通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.考点二数列与函数的综合问题例2设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x) = 2x的图象上(n N*).(1)证明：数列bn为等比数列；若ai= 1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为12-，求数列anbn的前n项和Sn.b +解(1)证明：由已知，bn= 2an>0当 nA 1 时，bbJ= 2an +1-an= 2d.所以数列bn是首项为2a1，公比为2d的等比数列.1函数f(x) = 2x在(a2， b2)处的切线方程为 y 2a2= (2a2ln 2)( x-

12、 a2)，它在x轴上的截距为a2-1 1由题意，a2 m2 = 2 m2，解得 a2= 2.所以 d= a2 a1= 1，所以 an = n，bn = 2n，贝V anb2 = n 4n.于是 Sn= 1 X 4 + 2X 42+ 3 X 43+ + (n 1) X 4n1+ n X 4n，4Sn = 1X 42+ 2X 43+ + (n 1)X 4n + nX 4n1.+ 4n + 1 4+1 3n 4n+1 43n 1 4n+1+ 4因此，Sn 4Sn= 4 + 42+ 4n n4n+1 = n 4n+1= 1 3冒 .所以 Sn=缶 芽 方法技巧-一一数列与函数问题的解题技巧-(1) 数

13、列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究 数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.(2) 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此 掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决.I考点三数列与不等式的综合问题例3 (2016郑州质量预测)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn= 2an 2.(1)求数列an的通项公式；设bn = log2a1 + log2a2+ + log2an，求使(n 8)bn> n

14、k对任意n N*恒成立的实数 k的取值范围. 解(1)由 Sn= 2an 2 可得 a1 = 2.因为 Sn = 2an 2，n n+ 12所以，当 n> 2 时，an = Sn- Sn-1= 2an-2an-1,即严厂2.所以 an= 2n(n N*).A k对任意n N*恒成立.(2)由(1)知 an= 2n，则 bn= log2a1+ log 2a2+ + log2an= 1 + 2 + + n =要使(n 8)bn> nk对任意n N*恒成立，即5110,所以 kw 10.设Cn= 2(n 8)( n+ 1)，则当n = 3或4时，cn取得最小值，为一即实数k的取值范围为(

15、一a， 10.方法技巧数列与不等式相结合问题的处理方法（1）如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.（2）如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法,;女例表法、因式分解法、穿根法等.总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.全国卷5年真题集中演练1. （2012新课标全国卷）数列an满足an+1+ （- 1）nan= 2n 1,则an的前60项和为（）A . 3 690B. 3 660C . 1 845解析：选D 不妨令a1= 1,根据题意，得a2= 2, 为奇数时，an= 1，当n为偶数时构成以a2= 2为首项，D. 1 830a

16、3= a5= a7=1, a4= 6, a6= 10, ，所以当 n 以4为公差的等差数列. 所以前60项和为S60= 30+ 2X 30 +30X 30 1X 4 = 1 830.11211111所以尸w 2XF7，即RW盯.于是01 +二+ a；w 1 +1+a1 a2an1 = 3 丄3n1= 2 1 3n2. （2015新课标全国卷I ）Sn为数列an的前n项和.已知an>0, a + 2an= 4Sn+ 3.1（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和.anan+1解：(1)由 an + 2an = 4Sn + 3,可知 a+1+ 2an+1 = 4Sn+1

17、+ 3.一，得 an+1 一 a2 + 2(an+1一 an) = 4an +1, 即 2(an + 1 + an) = a2+1 an = (an +1 + an)(an +1 an).由 an>0，得 an + 1 an = 2.又 a2+ 2a1 = 4a1 + 3,解得 a1 = 1(舍去)或 a1 = 3.所以 an = 2n + 1.1 1 1 1 1 n由 an = 2n + 1 可知 bn= '=3 2n + 1 一 丄 3 则 Tn=.anan+12n + 1 2n + 32 2n + 1 2n + 33 2n + 33. (2014新课标全国卷n )已知数列a

18、n满足a1= 1, an+1= 3an+ 1.11113（1）证明an+ 2是等比数列，并求an的通项公式；（2）证明：+ 3n3n 112-数列所以an + 2= 7，即an= 厂.证明：由（1）知-=3.因为当n > 1时，3n 1 > 2X 3n 1, +石三.111313解：（1）由an+1= 3an+ 1得an+1 +1 = 3an + 2 .又a1 + 2 = ?，所以an + ?是首项为?，公比为3的等比4. （2013新课标全国卷I ）已知等差数列an的前n项和Sn满足S3= 0, S5= 5.1（1）求an的通项公式；（2）求数列a2n 1a2n+1的前n项和.解

19、:(1)设an的公差为d,贝U Sn= na1 +d.由已知可得3a1+ 3d= 0,5a1+ 10d = 5,解得 a1= 1, d = 1.故an的通项公式为an= 2 n.由知1a2n 1a2n + 11 = 1( 13 2n 1 2n 2'2n 312n 1），从而数列1a2n t02 n+ 1的前n项和为n1 2n.检验咼考能力、选择题2n 13211. （2017皖西七校联考）在数列an中，an = -2n，右an的前n项和Sn= "4，贝卩n =（）2n 113211解析：选D 由an= 盯=1歩则Sn = 321= n 1 刁，将各选项中的值代入验证得n =

20、6.2. 在数列an中，a1= 1, a2= 2, an+ 2 an= 1 + ( 1)n，那么 S100 的值为()A . 2 500B . 2 600 C . 2 700 D . 2 800亠 1 n为奇数， 故an =n n为偶数，解析：选B 当n为奇数时，an+2 an= 0,所以an = 1,当n为偶数时，an +2 an = 2,所以an= n,是 S100 = 50 + 2 + 100 % 50 = 2 600.3. 已知数列an的前n项和为Sn, a1 = 1,当n>2时，an + 2Sn-1 = n,贝U S2 017的值为（）A . 2 017B . 2 016C.

21、1 009D . 1 007解析：选 C 因为 an + 2Sn-1 = n , n >2,所以 an+1 + 2Sn = n + 1, n > 1,两式相减得 an+1 + an= 1, n2.又 a1= 1，所以 S2 017 = a1+ (a2+ a3)+ (a2 016+ a2 017)= 1 009，故选 C.2n + 1 an2nD.2n + 14. 设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S1,S2,S4成等比数列，且a3= 号，则数列 的前n项和Tn = ( )A .-話 B.右 C .令解析：选C a1= 5或a1 =扌.当a1 = 号时，公差d= 0不符合题

22、意，舍去；当 a1 = 2时，公差da3 a1111,=2 = 1，所以 an= 2+ (n 1)X ( 1) = n + 2= 2(2n 1),故选 C.二、填空题A A5. 已知数列an满足an+1 =1an a2，且a1 = ?，则该数列的前2 016项的和等于 .AA A解析：因为 a1 = 1 ,又 an + 1 = + ' /an an ,所以 a2 = 1 ,从而 a3 = , a4 = 1 ,即得 an =1 *一，n = 2k 1 k N12'故数列的前2 016项的和等于S2 016 = 1 008X 1 +1 = 1 512.答案：1 512一 *1, n = 2k k