高数第二章小结

1、求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数一、主要内容0000()()()lim.hf xhf xfxh 0000( )()()lim.xxf xf xfxxx 0000()()()lim.xf xxf xfxx 000000000( )()( )()( )()limlimlimxxxxxxf xf xf xf xf xf xAAxxxxxx 00000( )()lim,( )()xxf xf xAAf xxfxxx 若称 为在， 记作左导数的。00000( )()lim,( )()xxf

2、 xf xBBf xxfxxx 若称为在， 记作右导数的。0( )f xx在在处处的的导导数数：00(),xxd f xd yd xd x 00,()|x xfxy oxy( )yf x T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为000()().yyfxxx 0001().()yyxxfx (),fxf 都对应一个导数值这样就定义了一个函数(),称为简数称导函导数f：若函数 在某开区间(a,b)上每导函数一点可导( , )(,)fa

3、bxab则称 在区间可导。对每一( )( )dydf xfxydxdx记作或或及 :( ),( , )fxfxxa b 1. 可导可导 = 连续连续= 极限存在极限存在 2. 极限不存在极限不存在=不连续不连续=不可导不可导 极限存在：极限存在：00lim( )lim( )xxxxf xf x 连连 续：续：000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x 可可 导：导：000000( )()( )()limlimxxxxf xf xf xf xxxxx 00( lim ( )()0)xxf xf x可导与连续的关系可导与连续的关系:凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.

4、.可可导导连连续续 1( )( ) )( )( )af xbg xafxbg x （ ）() ,()fxg x四四导导数数设设可可则则运运算算法法则则导导， 那那么么(2) ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x 2()()()()()(3) ()()0 )()()fxfxg xg xfxg xg xg x 导数运算法则导数运算法则() ,()fxg x进进行行四四则则运运算算的的前前提提条条件件是是注注意意：可可导导初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式 )(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()

5、(xxxxxxxC )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc lnxaaxeaxln/1x/121/1x 21/1x )1/(12x )1/(12x 1111() ()()()fyfxfxfy 或或结论：反函数的导数等于函数导数的倒数.xuxd yd yduyyud xdud x 或或 ()()()fxfxx ( )( )( ).y xfux 反函数的导数反函数的导数复合函数的导数复合函数的导数结论结论：因变量对自变量求导,等于因变量对中

6、间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)反函数和复合函数求导对数求导法 观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu112( ),( )()()()f xfxx xxxn例例1 1 求求 121()()()( ),()()xxxnf xfxx xxn例例2 2 求求 （ ）一般地一般地( )( )( )( ( )0)v xf xu

7、 xu x)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf ( )( )( )( )( ) ( ) ln ( )( )v xv x u xfxu xv xu xu x )(ln)()(lnxuxvxf ( )( )( )( ( )0)v xf xu xu x 推推广广：11(ln |)(ln |( )|)( )( )uf xfxuf x ( )( )(ln |( ) |)fxf xf x 即即隐函数的导数 定义定义: :( ).yy x由方程G(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy ( ,)0G x y)(xfy 隐函数的

8、显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :1.用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2.利用一阶微分形式的不变性利用一阶微分形式的不变性,)()(间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx ( )1.;( )dydytdtdxdxtdt 利利用用微微分分形形式式的的不不变变性性：.)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则2.利利用用复复合合函函数数和和反反函函数数的的导导数数注意：注意：1

9、. 1. 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于不要急于合并合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或( )ln(1),.nyxy 例例：设设求求解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn高阶导 2.利用莱比尼兹方法利用莱比尼兹方法000( )( )()( )( )( )( )( , )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

10、,nnkkn knkyf xyg xa bnf x g xnf x g xC fx gxff gg 命题：设及在上有 阶导数，则的 阶导数成立下列公式：其中，).(.0 xfA 可可微微可可导导( ),( ),( ).yf xxdydf xdyfxx 函函数数在在任任意意点点 的的微微分分称称为为函函数数的的微微分分记记作作或或即即一元函数可导与可微的关系：一元函数可导与可微的关系：在一元微积分中在一元微积分中可导可导与与可微可微是一致的是一致的的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)(

11、微分形式不变性：微分形式不变性：微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对对应应的的增增量量就就是是切切线线纵纵坐坐标标坐坐标标增增量量时时是是曲曲线线的的纵纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 应用：应用：导数与微分微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念函数的变化率问题函数的变化率问题导数的概念导数的概念导数与微分的关系导数与微分的关系:.可微可微可导可导 在一元微积分中在一元

12、微积分中可导可导与与可微可微是一致的是一致的).(xfdxdy ( ).dyfx dx 微分的求法,( )dyAxdyfx dx 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan

13、11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2()()()()duvdudvd CuCduuvduudvd uvvduudvdvv arc主要题型：主要题型：1。分段函数在分段点上可导性：利用定义。分段函数在分段点上可导性：利用定义,不论是一阶不论是一阶还是高阶还是高阶2。函数求导：。函数求导： 利用四则运算法则，基本积分表利用四则运算法则，基本积分表 复合函数求导：链式法则。复合函数求导：链式法则。 隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导:复合函数求导法复合函数求导法, 利用微分利用微分形式的

14、不变性形式的不变性 幂指函数求导：对数求导法幂指函数求导：对数求导法 积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容 ,IxI 对对于于定定义义在在区区间间 上上的的函函数数f f( (x x) )若若对对)()( xfxF 有有 ( ) ( ) F xf xI则则称称是是在在 区区间间上上的的一一个个原原函函数数( )( ),f x dxf x 表表示示函函数数的的原原: :函函数数的的全全体体定定义义则称则称( )f x dx 的

15、不定积分的不定积分为为 )( xf记记号号分分积积数数函函积积被被被积表达式被积表达式项项数数常常 dxxf)(积分变量积分变量CxF )(不定积分 例例),2 , 1(已已知知某某曲曲线线过过点点处处切切线线点点其其上上),(yx 的两倍，的两倍，的斜率为的斜率为x求其方程求其方程解解则由题意知则由题意知xxf2)( ),2 , 1(曲线过点曲线过点又又,12C 1 C即即12 xy故所求曲线为故所求曲线为xy02x C )(xfdxx 2)( xfy 设设曲曲线线方方程程原原函函数数存存在在定定理理连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数),()( xfxF 若若( )( ),G xf x

16、 ( )( ),G xF xC 则则 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况） dxxkf)()2(.)( dxxfk)0 ( k常常数数不定积分运算性质：不定积分运算性质：( )Fx dx ( )dF x )(dxxf dxxfdxd)( dxxfd)( )F xC ( )F xC )(xf)(xfdxxf)(不定积分是求导或求微分函数的逆运算不定积分是求导或求微分函数的逆运算 问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分定积分定积分的

17、性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要内容一、主要内容注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定积积分分是是一一数数值值. （3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时， 而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积. baIdxxf)(iinixf )(lim10 积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限定积分 ,

18、 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定积分的几何意义几何意义：几何意义：积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，1 1：2 2： 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,b

19、a上上可可积积. .且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在定积分存在的充分条件区间区间,ba上可积上可积. .3 3： 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上单调有界，上单调有界， 则则)(xf在在区间区间,ba上可积上可积. .对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小定积分的性质 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：

20、不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,假设假设bca 性质性质3 3 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).性质性质2 2 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质1 1（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则0)( dxxfba. . )(ba dxba 1dxba ab .性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，（用于比较两个函数积（用于比较两个函数积分值大小）分值大小）性质性质5 5的推论：的推论：则则dxxfba )( dxxgba )(. . )

21、(ba ( (1 1) ) 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ， dxxfba )(dxxfba )(.)(ba （2）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，设设M及及m分分别别是是函函数数性质性质6 6（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中

22、值公式积分中值公式积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使得以区间使得以区间,ba为为 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为为曲曲边边的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。积积分分上上限限函函数数及及导导数数,)( baCxf 设设, bax 则对则对的的函函数数是是 )(xdxxfxa abxyo)(xfy x)(x 记为记为 xadttf)(xx)(x 积积分分上上限限函函数数定定理理3 3若若( ) , ,f xC a b )()(

23、xfxF ( )baf x dx 则则( )baF x ( )( )F bF a微积分学第二基本定理微积分学第二基本定理Newton-Leibniz 公式公式 （不定积分和定积分的关系）（不定积分和定积分的关系）1 定理定理,)( baCxf 若若, )( baDdttfxa 则则 xadttfdxd)( 且且)(xf 的的一一个个原原函函数数是是即即 )( )( xfdttfxa 微积分学第一基本定理原函数存在定理微积分学第一基本定理原函数存在定理 （连续函数的原函数一定存在）（连续函数的原函数一定存在） 2定定理理 ( ), ( )f xx 若若连连续续可可导导( )( )xadf t d

24、tdx 则则 ( )( )fxx 微积分学基本定理：微积分学基本定理： )()()(xxdttfdxd )(xf )(x )(xf )(x 原理：原理： )()()(xxdttf cxdttf)()( )()(xcdttf )()(xcdttf )()(xcdttf 二、典型例题例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求设设解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求设设解解,12xu 设设,11ln41arctan21 uuuy则则)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx .,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所所确确定定由由方方程程设设函函数数 例例4 4解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即(1ln)ln1,(1)y yx ,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1