第一章矩阵理论管理数学基础

1、第一章矩阵理论管理数学基础234nnRRnn 由线性代数的知识我们可以得到， 维向量的全体，在通常定义的向量加法和实数与向量的数乘运算下，构成实线性空间。再看如下的例子：例1：判断下列集合对于所指运算是否为（ 上的） 线性空间。 (1)分量之和等于0的 维向量的全体，对向量加和数乘； (2)分量之和等于1的 维向量的全体，对向量加和数乘。51111111111(1)()|0()()0 ()0 8(2)nTnniiTnnnnniiiiiiiTnnniiiiXxxxRxxyXxyxyxyxyxyxyXRxxxxxxRXXX解： 记，则任 ，其分量和对任，分量和。即对加法和数乘封闭。易证 满足 个条

2、件， 为线性空间。111()|11(),nTnniiTnXxxxRxxxxXXX记，由于对任，即对数乘运算不封闭， 不是线性空间。6111 111112nnnnnnnnXnxxxxXxxxxxxXXnxR线性空间中的一系列定义：基：如果线性空间 中有 个元素 ，满足： （） ，线性无关； （ ） 中任一元素 都可以由它们线性表示， 即，则称 ，为 的 一组基。维数： 中基组中元素的个数 。坐标：表出系数，称为 在这组基下的 坐标，记为，。注：由于中线性相关、无关、组合只涉及线性 运算，故对线性空间也适用。71211 1112(100)(010)(0 01)()nTTTnnnnnnnnReeeR

3、xRxxxxx ex exxxee例 ：中的， ， ， ， ， ， ， ， ， 构成中的一组基，对于任意的，其中，都有。记 坐标为，故称为坐标基。811111 11111 nnnnnnnnnXpppp设和是线性空间 中两组不同的基，则其中一组基可由另一组基线性表出，设，。即： 111111111 nnnnnnnnnnppppppPPppPP ，简记为 称由 到 的过渡矩阵。可证，过渡矩阵 是可逆的。922212111222()3()(0)()TTXYTXYTXXTXTxyTxTyXYTRRxRxxxTxxxyTxyTxy、线性变换及其矩阵表示变换（算子）：非空集合 到 的映射，记 ： （若 ：

4、，则称 为 上的变换。）线性变换：满足线性性的变换： （注：这里 与 为线性空间）例 ：考虑变换 ：，对任， ，则有：1111221120 (0)(0)TTxyxyTxyxyTxTyTR，是上的线性变换。1011111 1111: nmmmnnmnmTT XYXYnmXYTaaTaa的矩阵表示：设映射，其中 与 维数分别为 和 ，和分别是 和 中的一组基，又设，1111111111 nnmmmnnmmnaaTTaaaaAaaTAAT即：，记 ， 则上式简记为，称 为线性变换 关于基 、 的一个矩阵表示（简称矩阵）。111111 1111: nnnnnnnnT XXXnXTTaaTaa思考：若映

5、射为， 的维数为 ，是 中的一组基，则 的矩阵表示应为： ，即：1111111111 nnnnnnnnnnaaTTaaaaAaaTAAT，记 ， 则上式简记为，称 为线性变换 关于基 的一个矩阵表示。12121AnnxAxxAxAxAkkxxxAx方阵的特征值：设 为 阶方阵，如果 与 维非零的列向量 ，使等式 成立，则称数 为方阵 的一个特征值。特征向量：非零列向量 称为 的相应于（属于）特征值 的特征向量。特征向量的性质： (1)如果 是 的相应于 的特征向量，那么对任意非零数 ，也是相应于 的特征向量； (2)如果 和 都是 的相应于 的特征向量，那么2x 也是相应于 的特征向量。即对加

6、法和数乘运算封闭。13 ()0 0 | 0 AxxEA xxxEAEA由于可以改写为这可以看作是以 为变量的齐次线性方程组。它有非零解的充要条件是系数行列式等于 ，而 是特征向量为非零，故 必满足：于是有以下定义：特征矩阵： | | 0 EAEAAAAxA特征多项式：特征方程：由上述分析可知，方阵 的特征值 是 的特征方程的根（因此特征值又称特征根）。 的相应于 的特征向量是以 的特征矩阵为系数阵的齐次线性方程组的解。14212341 1 0 4 3 0 1 0 21 1 0 | 4 3 0(2)(1)0 1 0 221AAEAA 例 ：求方阵的特征值与特征向量。解： 的特征方程为求出 的特征

7、值为： ， 112121 2(2)030 40 0EA xxxxxx。对 ，解齐次线性方程组，即15111 112312121320 012(0)1()020 4200 1 21kkEA xxxxxxx 求出它的基础解系： ，相应于特征值 的特征向量是。对 ，解齐次线性方程组，即求出它的基础解系：23222,1(0)kk相应于 的特征向量是。161111 11111101sssssssAxxxxssssk xkxk x 定理 ：若 ， 是方阵 的互异的特征值， 是分别相应于它们的特征向量，则， 线性无关。 证：对 使用数学归纳法。当，因为任一个非零向量线性无关，所以定理成立。设对个互异的特征值

8、定理成立，要证对 个互异的特征值定理也成立，为此令 ， （）17111 1 11111111111102(1)(1)03(3) (2)()()0(1sssssiiisssssssssssSiskxkxAxx isAkxkxkxkxkxxxi在上式两边同乘以得 ， （ ）因为， ，用 左乘式得 ， （ ）将、 二式两边分别相减得 由于 ，线性无关，且，1111)00sssskkkxx ，故必有，从而。即 ， 线性无关。18三、相似矩阵及其性质三、相似矩阵及其性质11111 11111111 ()() () (nnnnnnnnnTXXTXXPPTBABTTPTPT ppppTp T、相似矩阵：考虑

9、 ：，易知 在 不同基组下的表示矩阵是不同的。设 和 是线性空间 的两组不同的基， 为过渡矩阵。 关于 、 的矩阵分别为 和 ，则有：，线性11111111) ()() ()nnnnnnnnnp Tp Tp TTTPTPAPP APBP APAB，。称满足此关系式的 、 矩阵为相似的。1911 2ABnnPBP APABABP APAPTXTX相似矩阵：设 、 均为 阶方阵，若存在 阶可逆矩阵 ，使则称 相似于 ，记为。这时可称为对 施行相似变换，其中 称为相似变换阵。定理 ：设 是线性空间 上的线性变换，则 在 两组不同基下的表示阵是相似的。20111123 ()1| ABABABABABP

10、BP APABEBEP APPEA PPP、相似矩阵的性质：若，则 与 有相同的行列式、秩和特征值。定理 ：设方阵 与 相似，则 与 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证：因为，所以存在可逆矩阵 ，使得于是 与 的特征矩阵有如下关系：等式两端取行列式，显然，于是1 | | |EBPEAPEAABAB，即 与 有相同的特征多项式，从而 与 有相同的特征值。211.2方阵在相似变换下的标准形n1.2.1方阵的行列式因子、不变因子、初等因子n1.2.2方阵相似的条件n1.2.3方阵在相似变换下的若当标准形n1.2.4方阵在相似变换下的有理标准形221.2.1方阵行列式因子、不变因子、初等因子1

11、.行列式因子定义1.7 ?E-A中所有非零k级子行列式的首项(即最高次项)系数为1的最大公因式称为?E-A的k级行列式因子，记为D()k11( ),1,( ),( )nnEnDnDD 计算步骤：由定义，先求的特征矩阵的 级子式再求所有的级子式取其中首系数为1的最大公因式，即依次类推，直至得到23解：考虑其3级子式 考虑其所有的3级子式(只有一个)： 21212EA32 -1 -2 -1 (2) -21.7 求A的各级行列式因子 210021002A 24所以 考虑其所有的2级子式，因为有一个2级子式所以 考虑其所有的1级子式，因为?E-A中的有元素-1,所以33( )(2)D 1 012 -1

12、2( )1D1( )1D252.不变因子定理1.4 ?E-A总可以经初等变换化为10( )( )ndd111( ),1,2,( ) /( )( )( ),1,2,iiiiiEdinddddinE 的形式，(称其为在初等变换下的标准形)，其中的首系数为1，且(被整除)。在初等变换下的标准形中，对角元素不随初等变换的不同而改变。26可以证明，?E-A在初等变换下秩与行列式因子不变，由此得出不变因子与行列式因子间的关系： 111( )( ),2, ,( )( )( )kkkDdknDdD27计算方法11111-( )( ) ( ) ( )-( )( ),2, ,( )( )( )nnkkkEddED

13、dknDdD法一:求经初等变换化成d d其中满足定义条件，即为的不变因子,见13页1.11.法二:先求 的行列式因子，再由不变因子与行列式因子的关系求解不变因子，见12页例1.10。281111212112212 ( )(1, )( )() ()() , d ( )() ()() ,k0-Asnnnsijkkkkskkkskijjdkn 定义: 的不变因子在复数域可分解为一次因式幂的积： d 其中凡是幂次的一次因式幂（）均称为 的初等因子（i=1, ,n;j=1,ijijkn,s;）3.初等因子29计算方法11 ( )()( )( ) ( )( )Aikkinnd法一:求 的不变因子，再分解为

14、,见14页1.12及1.13法二:先看定理5，经初等变化化为h h 则hh分解出的全部一次因式幂为 的初等因子。30212121120.0-1200+1 ( )(2)( +1), ( )1( )( )1,( )(2)( +1), ( )1( )2+1AEADDDddDD例1.6 证明方阵的不变因子和初等因子证：初等因子为，311.2.2方阵相似的条件定理1.6 方阵A与B相似的充要条件是：A与B有全同的不变因子。而且还可以得出以下推论：方阵A与E相似的充要条件是A与B有全同的初等因子32212112110.0-1322-1( )=(2)( +1)0+1 ( )110( )=(2)( +1) (

15、 )13-2 ( )1,ABADEADBDEBDDAB例1.7 证明与相似证： 的行列式因子的行列式因子即 与 有全同的行列式因子，所以相似。33方阵在相似变换下的若当标准形定理1.7 设n阶方阵A的全部初等因子为：12121ii-, (), (),.J J=J 1 J = skkksiisknA （）则必 相 似 于其 中i , i=1,s. 1 iikk 由此称J在相似变换下的若当标准形，或称若当法式。J中的对角块 称为相应于 的一个 阶若当块。ikiiJ34111111()11()5()1,2,iiikkiiikkiiisiiikkkiiskikiEJEJEJEJTEJTTJisA证：

16、其中其中由定理 ， 的初等因子，与 有全同的初等因子，所以相似。35 23(2) (2) (2)221221212AAJ例8： 已知 的初等因子为，写出 的若当标准形解：3611n1n1111sn()()n()11n()()skkAAJAAJAA定 理 7的 几 个 推 论 ： 推 论 3： 设阶 方 阵 的 初 等 因 子 均 为 一 次 ， 即， ，则 的 若 当 标 准 形 为 对 角 阵即推 论 4： 设阶 方 阵只 有 一 个 初 等 因 子 ， 即，则只 有 一 个 若 当 块即推 论 5： 设阶 方 阵无 重 复 初 等 因 子 ， 即， ，则 的 每 个 特 征 值 只 对 应

17、 一 个 若 当 标 准 块 。371.2.4方阵在相似变换下的有理标准形定义 给定多项式f(?)=由f(?)构成的n阶方阵称为f(?)的伴侣方阵 1110nnnaaa0 110 1 0 1 -anAaa38 3( ).( )=2( )=120101100fffAA例1.9 写出下列伴侣矩阵，解：3930112112121201211()1,1,1,()()=2()=11111()( 1)101()()()()1()()()nnnnnnnnnnnnnffffAEAaaaaaaaafDDDDdfD性质：的伴侣矩阵的不变因子为，证： 的行列式因子为1121(),()()()()1nnDddd401

18、1n1,1,1,()()()1,2,nlnlinliAddALLLLLdilLA 2、有理标准形定理8：设 阶方阵 的不变因子为则相似与其中为的伴侣矩阵，则成为在相似变换下的有理(自然)标准形，或有理法式。411.3 方阵特征值的估计 () ( )|(1)ijn niiiijj inAaGAaaAi in点估计近似值1.3.1特征值的估计区间估计范围定义1.11 圆盘 （由一个圆周界定的区域）设 阶方阵，称集合为 的第，个圆盘（盖尔圆）。421231 -0.8 0.1 0.5 0 1.20.1 0.4 -2 |10.9 |1.7 |+ 20.5AAGGG例 1.11 求 方 阵的 圆 盘 .解

19、 ：的 圆 盘 为()()()连 通 部 分 ： 交 接 在 一 起 的 圆 盘 所2构 成 的 最 大 连 通 区 域 。如 图 ， 共 有个 连 通 部 分 。2011G2G3G43 () 1.ijn niiijj inAnAnAaaain定理1.9(圆盘定理) 阶方阵 的 个特征值均落在 的 个圆盘的并集之内.也就是说，的每一个特征值均至少满足下列不等式之一：，4400000 00000 0000000011max0. () | |Tniiini jjiji iii jjj ijji ii ji ji jj ij ijiiAAaaaaaaa证：设 是 的任一特征值，是属于 的特征向量.令

20、，则由于，所以或写做于是00iiiGAnG，即（A），当然 也属于 的 个圆盘 （A）(i=1, ,n)的并集之内.45AGAmG 定理1.9 连通仅说明了方阵 的一切特征值都在它的全区域：其中的任意两点都可以用位于该区域中的一条折线连接起来。 部圆盘的并集之内，而没有说明在哪个圆盘中有几个特征值，为此可以 连通部分：交结在一起的圆盘所构成的最大连通区证明下面的定理。 定理1.10 域称为一个连通部分。 孤立的一个 设 是由方阵 的 个圆盘组成的一个连通部分圆盘就是，则在一个连中通部分。必有且只Am有 的 个特征值（圆盘相重时重复计数，特征值相同时也重复计数）。4611()1 1.ijn nn

21、iiiijjj iinAabbSaa binbASSS 定理1.11 设方阵， ， 是任意一组正实 为了改善上述圆盘定数，记，则 的任意特征值均落在并理估计特征值的有效性，再给出下面的结论。集之内.471111111111 10(1) .1 1 1 ninnnnnnbBbbbinBBbbbaaDB ABaab证：记矩阵 ，则因， ， ， 可逆，且 记nb4821112111121222221212 nnnnnnnnnnbbaaabbbbaabbDabbaaabbDADADDSAS， 则，故 与 有全同的特征值.而由定理1.9，的特征值均落在 的圆盘的并集 内，于是 的特征值也全落在 内.491

22、0.9 0.01 0.12 0.01 0.8 0.130.01 0.02 0.4 |0.90.13 AAGG 定理1.11的意义在于，通过缩小圆盘的半径，可以把相交的圆盘分开。例1.24 估计方阵的特征值的分布范围.解： 的圆盘为23|0.80.14 |0.40.03G 50312GAGGA 易见，是一个孤立的连通部分，其中恰有 的一个特征值，而和构成一个连通部分，其中有 的两个特征值。如下图所示：1G2G3G12312311/10 |0.90.01 0.12 1/100.022 |0.80.01 0.13 1/100.023 |0.40.01 100.02 100.3bbb

23、SSS 为了使估计更精确，取，则：， 511231233 0.90.022 0.80.023 0.40.3ASSSSSSAA 于是由定理1.11， 的特征值均落在 、 、 的并集之中，而 、 、 都是孤立的，所以每个圆盘中恰有的一个特征值。于是可得 的 个特征值的范围如下：如图所示：52111.12 ( )max nnnAAAA1.3.2谱半径的估计定义称 阶方阵 的全体特征值 ， ，组成的集合为 的谱，称 ，为 的谱半径.其几何意义如下图：即为所有特征值中的最大的模（与原点距离最远）.531100011=,max,( )v. 1. max 8 ( )nn nijiji nj

24、iiijj inniiijijijij ijjAaAAiaaaaaaa 方阵（）记v=则证：设是 的任一特征值，由定理1.9，必存在一个，使得推论谱半径的估计设n阶即1111 ( )max ( )max( )min maxmaxnijijTTnijjinnijijijjiAaAAAAaAaa由于 与有相同的特征值，对应用以上结论，有，故谱半径估计：，54211444121( )1.555113666. ( )min 11.AAAA例1.25 证明方阵的谱半径57证： 的行和最大值为1，列和最大值为6057，60551211121012,nnnnnAAnAnnxxxR三、主特征值及主特征向量的估

25、计、定义主特征值：设 阶方阵 的特征值按模的大小排列为，称 为 的主特征值（或占优特征值）。主特征向量：相应于 的特征向量。、估计方法幂法 设 阶方阵 的 个特征值互异，即则相应的 个特征向量 ， 线性无关，任意向量可由其线性表出，即5601 10111 1 101 11 nnnnnnnmmmnnnxxxAAxAxAxxxAA xxx 两端左乘 ，有重复左乘 ，可得211 122111()011 111()(1)011 11 ()0 mmmnnnmmmmmmmmmxxxmA xxxAxxxx 设，易见当 充分大时，上式中第一项成为主要的，从而，则570(1)()1()131()(1)0 (2)

26、(3)(1)mmmijn nijijjiijikkjAxmxxxAaaaaAAaaaijknA 说明：依次用 的乘幂去乘任意向量 ，当幂次充分大时，其结果与之间的倍数即为的近似值，而即为主特征向量的近似值。这种方法称为幂法。、正互反矩阵主特征值及主特征向量估计定义：若矩阵满足：，则称 为正互反矩阵。若 还满足， ，则称 为一致性正互(3)反矩阵。条件称一致性或传递性条件。58max1111ma(1)(1)(2)(1)(3)(4) niijjniiTniTniniiWAMa innwM inWwwwWwwwWw 估计正互反矩阵主特征值和主特征向量，可用如下的方根法：将 中的元素按行相乘，乘积记作

27、， ；将这些乘积开 次方根，方根记作， ；将方根组成的向量归一化，得，其中，即主特征向量；计算主特征值x1()()()()(1)niiiiiAWnWAWAWinWnWiin， 其中表示第 个分量，表示的第 个分量， 。具体算例见书33页例1.27。59 .:, lim,.kkkijkkkijijijkkkkkAAakaaAAaAAAAAAA1一、 矩阵序列定义 设有矩阵序列其中且当时则称收敛 并把叫做的极限或称收敛于记为或不收敛的矩阵序列则称为发散的 其中又分为有界和无界的情况1.4矩阵分析60111 1 ln1 1sin lim 1 lim=0 10 1kkkkkkkkkkkAkkkkAAk

28、eA 例 1.14 求 方 阵求.解 ： 对中 每 个 元 素 取 极 限 (令)， 得。61 1111-1-1.: , 1 (2.3 ()() , 4,kkkkkkkkkkkkkkkABA BABABA BABAAAAPA QPAQP A PP AP2收敛矩阵序列的性质设分别收敛于则，若存在特别6212.:,lim. kkkAnAA AAkAA1幂收敛的定义设 为 阶方阵，若矩阵序列收敛，即收敛又即时存在，则称矩阵 幂收敛二、 矩阵级数12-1-1-10-10=() =skkkkkkkJJP AP JAJP A PP APJJJAP J P若为 的若当标准型,因，若则2、方阵幂收敛的条件：6

29、312,1,2,kkkksiAJJJJJJJ is方阵 幂收敛问题等价于其若当标准型 的幂收敛问题又所以对 幂收敛讨论，又可转化为的讨论1,=1.3:AA定理 方阵 为收敛矩阵的充要条件是 的任一特征值| |若| |，且对应的若当块为一阶的、方阵幂收敛判定定理6411121121:, , 10,10.1,=1.kikikkiksiskkiikiAPAPJPJAJJJJJJAPJ PPPJJkJAAJordan证明 对任何方阵均存在可逆矩阵使得其中 为 的标准形,定理 方阵 为收敛矩阵的充要条件是 的任一特征值| |若| |，且对应的若当块为一阶的 1!.(1)!(1)!,00(1,2,., )

30、0(1,2,., ),1.=1=1ik miiikkkiiiiiikmkmkm AJisism当就等价于等价于而这只有才可能也必能若，只有才收敛。 得证 65|1.30.370.10.5=0.5(1.30.21)=0.5(1.3- 0.21)| 1,AEA例15：证矩阵幂收敛性。证：特征值或所以幂收敛。66101111.:,. ,.,., kkkkkkNNkNkkkkkkkkkijkkAc AAASc ASSSc ASc Ac a1Neumann方阵幂级数收敛的定义矩阵序列的无穷和叫做矩阵级数称为 的级数而称为其部分和 若矩阵序列收敛 且有极限则称该级数收

31、敛 且有和 记为不收敛的级数必为发散的2、绝对收敛：若矩阵级数的所有元素均绝对收敛则称该级数为绝三、 方阵幂级数.对收敛67 111121111211 ,.2,3,()kkkkkkkkkkkikikiAPA QPA QABS SA BS S 1绝对收敛矩阵级数的性质绝对收敛,级数一定收敛 且任意调换它的项所得的级数仍收敛 并具有相同的和绝对收敛 则也绝对收敛且等于均绝对收敛 且和分别为则3、6814.,() .AIANeumannNeumann级数收敛的充要条件定理级数收敛的充要条件是 为收敛矩阵 且级数和为69000005.( ),( ),().,( ),.(2)( ),( )( )kkkk

32、kkkkkkkkAzc zAc AAIAzAARAc ARzc z收敛圆定理 若矩阵 的特征值全部落在幂级数的收敛圆内 则矩阵幂级数是绝对收敛的反之若 存在落在的收敛圆外的特征值 则是发散的矩阵 的谱半径方阵幂级数收敛，其中 为幂级数的收敛半径。 7012000101!21( ),-10lim|!( )=kkkkkkkkkkkfffsAkf AAcxc xRkcAAkJJf APPJ 例16：判定方阵幂级数的幂收敛性，若收敛求其和。其中。证：记则所以无论 特征值为何，均收敛，其和712121|(1)111=-1-20( )=02EAPeeef APPeee由可以求得7220212002100

33、:,(“”)111,2!( 1)( 1)sin( ),cos( )(21)!(2 )!,1( 1)( 1),sin( ),cos( )!(21)!AznnnnnnnnnnAnnnneezzznzzzznnAeAAAAnn 四、 矩阵函数1.如以矩阵为自变量的函数 实际上是 函矩阵我们知道均为整个复平面上收敛的级数 故对任何的方阵20(2 )!.nnAn均绝对收敛三者分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数。73112( )(),(),()(1,2, )( )10112( )10iiiiiimiiiAPP APJf zfffsf AJJJJJsJordan、矩阵函数求法设阶矩阵 的标准形

34、为，且有非奇异矩阵 使得：对于函数，若下列函数均有意义，则称矩阵函数有意义，且 74()1()211( )( )()111( )( )( )( )( )2!1 !iiiiiiiiiJf Jf Jf APf J PPPf Jsmfffffmm m 7511111 2 3 41 2 3 1 21:(1)1 1 0 08 40022101 1 04114201,1 122816161116(2 ( ),( ),.)1,4, ( ), (1)1,)(imiiiiffff JAAJPJPPmf zz ff例1.17已知求解求出 及求出并构成 1351111332221)|,(1)|,(1)|111224488zfzfzzzz7611682116821()1681616f J11( )()1111111( )( )111f Jf Jf APf J P(3)合成(4)求773.( )( )( )( ) ( )ijm nijijm nA ta ttA tdadAA tdtdta t矩阵导数定义：若矩阵的每一个元素是变量 的可微函数，则称可微，其导数定义为由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。78110001014. ( )( )( ) , ( ) , ( )( )ijm nijttijttm nA ta ta tt tA tt