2020学年高中数学课时训练(三)几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1、课时跟踪检测(三)几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则、题组对点训练对点练一利用导数公式求函数的导数1给出下列结论:(cosx)'=sinx；错误！=cos错误！；若丫=错误！，则y'=一错误！；错误！=错误！。其中正确的个数是()A0B1C2D3解析：选B因为(cosx)'=sinx,所以错误.sin错误！=错误！，而错误！=0,所以错误.错误！=错误！=错误！=错误！，所以错误.错误！=一错误！=错误！=错误！x-错误！=错误！，所以正确.2.已知f(x)=M(aeQ),若f'(1)=错误！，则a等于()A错误！B错误！C错误！D错误！

2、解析：选D''f(x)=x",f'(x)=ax"10；f'(1)=a=错误！.对点练二利用导数的运算法则求导数3 .函数y=sinx-cosx的导数是()A.y'=cos2x+sin2xB.y'=cos2xsin2xC.y'=2cosx-sinxD.y'=cosx-sinx解析：选By'=(sinx-cosx)'=cosx-cosx+sinx(sinx)=cos2xsin2x。4 .函数y=错误！的导数为.解析：y'=错误！=错误！=错误！=错误！。答案：错误！5 .已知函数f(x)=a

3、xlnx,x(0,+oo),其中a为实数，f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为.解析：f'(x)=a错误！=a(1+Inx).由于f'(1)=a(1+In1)=a,又f'(1)=3,所以a=3.答案:36求下列函数的导数1 1)y=sinx2x2；(2)y=cosxInx；(3)丫=错误！。解：(1)y'=(sinx2x2)'=(sinx)'(2x2)'=cosx4x.2 2)y'=(cosxInx)'=(cosx)'Inx+cosx-(Inx)'=sinxInx错误！

4、.3 3)y'=错误！'=错误！=错误！=错误！.对点练三利用导数公式研究曲线的切线问题7 .(2019全国卷I)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.解析：.)=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=ex(3x2+9x+3),.,切线斜率k=e°x3=3,切线方程为y=3x.答案：y=3x8 .若曲线f(x)=xsinx+1在x=错误！处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a=。解析：因为f'(x)=sinx+xcosx,所以f'错误！=sin错误！+错误！cos错误！=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为一错误！,所以

5、根据题意得1x错误！=1,解得a=2。答案：29 .已知aCR,设函数f(x)=axlnx的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为解析：因为f'(x)=a错误！，所以f'(1)=a1,又f(1)=a,所以切线l的方程为ya=(a1)(x-1),令x=0,得y=1.答案：110 .在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x310x+13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,求点P的坐标解：设点P的坐标为(Xo,y0),因为y'=3x210,所以3x错误！-10=2,解得x0=±2。又点P在第一象限内，所以Xo=2,又点P在

6、曲线C上，所以y°=2310X2+13=1,所以点二、综合过关训练11 f0(x)=sinx,fi(x)=f'o(x),f2(x)=f'i(x),，fn+i(x)=f'n(x),nN,则f2019(x)=()AsinxBsinxCcosxDcosx解析：选D因为fi(x)=(sinx)'=cosx,f2(x)=(cosx)=sinx,f3(x)=(sinx)'=cosx,f4(x)=(cosx)'=sinx,f5(x)=(sinx)'=cosx,所以循环周期为4,因此f2oi9(x)=f3(x)=cosx。12 已知曲线y=错误

7、！一3lnx的一条切线的斜率为错误！，则切点的横坐标为()A3B2C1D错误!解析：选A因为y'=错误！一错误！，所以根据导数的几何意义可知，错误！一错误！=错误！，解得x=3(x=2不合题意，舍去).13 曲线丫=错误！一错误！在点M音误！处的切线的斜率为()A错误！B错误！C错误！D错误！解析：选By'=错误！=错误！，把x=错误！代入得导数值为错误！，即为所求切线的斜率14 已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切，则a的值为()15 1B±116 1D2解析：选A设切点为(x。，y°),则y0=3x0+1,且y0=ax错误！+3,所以3xo+1=

8、ax错误！+3.对y=ax3+3求导得y'=3ax2,则3ax错误！=3,ax错误！=1，由可得x0=1,所以a=1.17 设a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x)，且f'(x)是偶函数，则曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为.解析：f'(x)=3x2+2ax+a3,.f'(x)是偶函数，；a=0,f(x)=x33x,f'(x)=3x23,.f(2)=86=2,f'(2)=9,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y2=9(x2),即9xy16=Oo答案:9xy16=018 设f(x)

9、=x(x+1)(x+2)(x+n),贝Uf'(0)=.解析：令g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则f(x)=xg(x),求导得f'(x)=x'g(x)+xg'(x)=g(x)+xg'(x),所以f'(0)=g(0)+0xg'(0)=g(0)=1X2X3Xxn.答案:1X2X3X-Xn7,已知曲线y=x+Inx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则ao解析：法一：y=x+lnx,；y'=1+错误！，y'错误！x.=2.曲线y=x+Inx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=

10、2x1;y=2x1与曲线y=ax?+(a+2)x+1相切，.aw。(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).2由错误！消去y,得ax+ax+2=0.由A=a28a=0,解得Q=8.法二：同法一得切线方程为y=2x-1o设y=2x-1与曲线y=ax+(a+2)x+1相切于点(x°,axo+(a+2)Xo+1).-y=2ax+(a+2),19 错误！x=xo=2axo+(a+2).解得错误!2axo+a+22,2ax,o+a+2Xo+1=2xo1答案：820 设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=b,其中常数a

11、,beR.求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.Q9解：因为f(x)=x+ax+bx+1,所以f'(x)=3x，2ax+b.令x=1,得f'(1)=3+2a+b,又f'(1)=2a,3+2a+b=2a,解得b=3,令x=2得f'(2)=12+4a+b,又f'(2)=b,所以12+4a+b=b,解得a=错误！.332一-.一则f(x)=x2x3x+1,从而f(1)=错误！.又f'(1)=2X错误！=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y错误！=3(x1),即6x+2y1=0。21 已知两条直线y=sinx,y=cos

12、x,是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解：不存在.由于y=sinx,y=cosx,设两条曲线的一个公共点为P(xo,yo),所以两条曲线在P(xo,yo)处的斜率分别为k=y'错误！x=x°=cosxo,k2=y'错误！x=xo=sinx。若使两条切线互相垂直，必须使cosxo-(-sinxo)=1,即sinxocosxo=1,也就是sin2xo=2,这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticle,butitisinevitablethattherewillbesomeunsatisfactor