第一章概率论的基本概念3

1、 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 31(|).3P B A 3111/ 4( ), (), (|)4433/ 4P AP ABP B A另外, 易知故有()(|)( )P ABP B AP A(5.1)例 将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的情况. 设事件A为“至少有一次为H”, 事件B为“两次掷出同

2、一面”. 现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.P(A )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个在集A中中.于于是是容易看到容易看到11 6()33 6( )P ABP BP(A|B)P(A )=3/10， 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品

3、，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取件中任取一件，记一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)33 10()77 10( )P ABP B则则P(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据的时，依据的前提条件是前提条件是10件产品中一等品的比件产品中一等品的比例例. A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上时，这个前提条件未变，只是加上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件. 这好象给了我们一个这

4、好象给了我们一个“情报情报”，使我们得以在，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题某个缩小了的范围内来考虑问题.2. 条件概率的定义条件概率的定义P(B|A)为为在在事事件件A发发生生的条件下的条件下,事事件件B的的条件概率条件概率./()(|)/( )kk nP ABP B Amm nP A 若事若事件件A已已发生发生, 则为则为使使B也也发生发生 , 试验结果试验结果必须是既在必须是既在 A 中又中又在在B中中的样本点的样本点 , 即此点必属于即此点必属于AB. 由于我们已经知由于我们已经知道道A已已发生发生, 故故A变变成了新的成了新的样本空间样本空间 , 于是于是 有有: SBAAB

5、/()(|)/( )kk nP ABP B Amm nP A3. 条件概率的性质条件概率的性质(自行验证自行验证) | : PA条件概率具备概率定义的三个条件 1 : ,|0 ; B P B A 非负性 对于任意的事件 2 : |1 ; P S A 规范性 123 : , , B B 可列可加性 设是两两互斥事件 则有11iiiiPB AP B A . 性质对条件概率都成立所以在第三节中证明的 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:()(|),( )P ABP A BP BP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=

6、掷出掷出2 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=13B发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中A所含样所含样本点个数本点个数 例例 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1()(|)( )P ABP A BP B解法解法2 31(|)62P A B 解解 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用应用 定义定义在在B发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算3 3

7、616 362由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()(|)( )P ABP B AP A而而 P(AB)=P(BA)若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！请看

8、下面的例子请看下面的例子 例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中 300件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个是标准个是标准件，现从这件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个零件是乙这个零件是乙厂生产的标准件厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产,A=是标准件是标准件所求为所求为P(AB) .设设B=零件是乙厂生产

9、零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是发现它是乙厂生产的乙厂生产的,问它问它是标准件的概率是标准件的概率是多少是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产 例例3 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概年以上的概率为率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现年问现年20岁的岁的这种动物，它能活到这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？岁以上的概率是多少？解

10、解 设设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为 P(B|A) .()(|)( )P ABP B AP A( )0.40.5( )0.8P BP A条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下是在该试验条件下事件事件A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A) 与与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它它们是两

11、个不同的概念们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加是在原条件下又添加 “B 发发生生 ” 这个条件时这个条件时A发生的可能性大小发生的可能性大小, 即即 P(A|B) 仍仍是概率是概率. .乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况 , 0 , ABCP AB 设 、 、为三个事件 且则 |. P ABCP C AB P B A P A12 , , , ,2 , nnA AAn一般地 设有个事件并且1210 , , nP A AA则由条件概率的定义 可得 1212-1112-2|nnnnnP A AAP A A AAP

12、AA AA 312211|P AA AP AA P A乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球. 随机地抽随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行这种手续进行四次四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率到红球的概率. （波里亚罐子模型）（波里亚罐子模型）b个白球个白球, r个红球个红球于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、第连续取四个球

13、，第一、第二个是白球，第三、四个是红球二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球个白球, r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解 设设 Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次发每次发

14、现一个传染病患者，都会增加再传染的概率现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.23bbcrrcbr brc brc brc =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4) 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, 5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没写其余的什么也没写. 将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后

15、抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ” 到底谁说的对呢？让我们用概率到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下论的知识来计算一下,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显

16、然显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未个人未抽到，抽到，2121()() (|)P AP A P AA212AA A由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：计算得：3123121312()()() (|) (|)P AP A A AP A P

17、AA P AA A 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，4 5 ,3 ,2 , 例设袋中有个红球个黑球个白球 试按 1 ; 2 有放回抽样不放回抽样 两种方式摸球三次 , . 每次摸得一球 求第三次才摸得白球的概率 解 1 有放回抽样 ,A 设第一

18、次未摸得白球 ,B 第二次未摸得白球 . C 第三次摸得白球 则事件 第三次才摸得白球可表示为 .ABC P A8 ,10|P B A8 ,10|P C AB2 ,10 |P ABCP C AB P B A P A28810 10 1016 . 125 2 无放回抽样 P A8 ,10|P B A7 ,9|P C AB2 ,8 |P ABCP C AB P B A P A2 788 9 107 . 456 , 例设某光学仪器厂制造的透镜 第一次落下时1 , , 2打破的概率为若第一次落下未打破 第二次落下7 , , 10打破的概率是若前两次未打破第三次落下打9 , . 10破的概率是试求透镜落

19、下三次未打破的概率 解 ,1,2,3 ,iAii设透镜第次落下打破 , B 透镜落下三次未打破则123 . BA A A 123P BP A A A 121312|P A P A A P A A A179111210103 . 200 , 1 . P BP BP BP B 本题也可以先求再由求得 由于112123 , BAA AA A A112123 , A A A A A A并且 , 为两两不相容事件 故有 112123P BP AA AA A A112123P AP A AP A A A 1211213121|2P A P A AP A P A A P A A A117179197111

20、. 221021010200 1973 11 . 200200P BP B 所以7 1995 A 例抓阄问题年全国足球甲联赛的最后 , 一轮 四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市 , 进行 这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命 , , 30 运之战 肯定会异常精彩 可西南交大某班位同学 , , 仅购得一张票 大家都想去看 只好采取抓阄的办 , . , 法抽签决定 每个人都争先恐后地抽取 试问 每人抽 ? 得此票的机会是否均等 解 ,1,2,30 , iAii设第个人抽得球票则1P A130 第一个人抽得球票的概率为 第二个人抽得球票的概率为212121212P AP A AA AP A A

21、P A A120P A A 121|P A P AA29130 29130 , , i同理 第个人要抽得比赛球票 必须在他抽取之前 1 , i的个人都没有抽到此标的事件一起出现 即121iiiP AP A AA A 12111|iiP A P AAP AAA29 28130 29301i1 , 301,2,30 . i 1 , , . 30所以 各人抽得此票的概率都是即机会均等 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3.1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球 , 3号箱装有号箱装有3 红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱,

22、从中任意摸出一球从中任意摸出一球,求取得红球的概率求取得红球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子: 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概全概率公式率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入数据计

23、算得：代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥定义定义12 , , , nSEB BB设为随机试验的样本空间 , E是的一组事件 如果满足 1 ijB Bij 122 nBBBS1212 , , , , , nnB BBB BB则称为完全事件系 或称 . S为的一个划分 :注意12 , , , nB BB若为样本空间的一个划分 , 则对每次试验 事件组12 , , nB BB中必有且仅有一个事件发生一个事件发生. , . SS可见的划分是将分割成若干个互斥事件 1定定理理, SE 的样

24、本空间为的样本空间为设试验设试验nBBB, , 21 , , 则对则对且且的一个划分的一个划分为为n,iBPSi 210 , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件A niiiB|APBPAP1 证明证明 因为因为 ASA nBBBA 21nABABAB 21 并且并且 , , 所以所以jiABABji nABPABPABPAP 21 nnB|APBPB|APBP 11 niiiB|APBP1 niiiB|APBPAP1 . 全概率公式全概率公式 件件是把一个未知的复杂事是把一个未知的复杂事全概率公式的基本思想全概率公式的基本思想 , 而这些简单而这些简单单事件再求解单事件再求解分解

25、为若干个已知的简分解为若干个已知的简 , 使得某个未知事件使得某个未知事件事件组事件组事件组成一个互不相容事件组成一个互不相容故在故在至少一个同时发生至少一个同时发生与这组互不相容事件中与这组互不相容事件中, A , S的的关键是要找到一个合适关键是要找到一个合适应用此全概率公式时应用此全概率公式时 . 的一个划分的一个划分 某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因 ，如果，如果A是是由原因由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生发生的概率是各原因引起的概率是各原因引起A发

26、生概率的总和，发生概率的总和，即全概率公式即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解 由此可以形象地把由此可以形象地把全概率公式全概率公式看成为看成为“由原由原因推结果因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的，每个原因对结果的发生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种原因的，即结果发生的可能性与各种原因的“作用作用”大小有关大小有关. 全概率公式表达了它们之间的全概率公式表达了它们之间的关系关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A诸诸Bi是原因是原因B是结果是结果 例例 甲、乙、丙三人同时对飞机

27、进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击三人击中的概率分别为中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一人击中而击落机被一人击中而击落的概率为的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都若三人都击中击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率. 设设A=飞机被击落飞机被击落 Bi=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式则则 A=B1A+B2A+B3A解解依题意，依题意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+

28、 P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)可求得可求得 为求为求P(Bi ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14. 1123123123P BP H H HH H HH H H 2123123123P BP H H HH H HH H H 3123P BP H H H P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概

29、率为0.458.于是于是贝叶斯公式贝叶斯公式 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自发现是红球，求该球是取自1号号箱的概率箱的概率. )()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱,

30、i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在它是在观察到事件观察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每发生的每个原因的概率个原因的概率.ni, 21 贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理2 , , 21为样本空间的为样本空间

31、的设设nAAA , , 0 , BSP B 一个划分为中的任一事件 且则恒有贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因）发生的最可能原因.CC已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验反应是阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人

32、，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. C求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试

33、验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？ 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 即使

34、你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事是在没有进一步信息（不知道事件件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P(Ai |

35、B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率. 3 , 2 1 1个白个白乙盒装有乙盒装有个黑球个黑球个白球个白球甲盒装有甲盒装有例例 . 1 4 , 2 采取掷一骰采取掷一骰个黑球个黑球个白球个白球丙盒装有丙盒装有个黑球个黑球球球点选乙盒点选乙盒、点选甲盒点选甲盒或或、出现出现子决定选盒子决定选盒 , 5 4 , 3 21 , , , 6经过秘经过秘一个球一个球在选出的盒里随机摸出在选出的盒里随机摸出点选丙盒点选丙盒 , , 求此球来自乙求此球来自乙宣布摸得一个白球宣布摸得一个白球密选盒摸球后密选盒摸球