高等数学作业

1、高等数学作业B吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月第一次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1（ ） （A）；（B）0；（C）；（D）不存在2二元函数在处（ ） （A）连续，偏导数存在；（B）连续，偏导数不存在； （C）不连续，偏导数存在；（D）不连续，偏导数不存在3设，在下列求的方法中，不正确的一种是（ ） （A）因，故；（B）因，故；（C）因，故；（D）4若的点处的两个偏导数都存在，则（ ） （A）在点的某个邻域内有界；（B）在点的某个邻域内连续； （C）在点处连续，在点处连续；（D）在点处连续5设，且，则为（ ） （A）； （B）； （C）； （D）二、填空题1的定义域为

2、2 3设，则 ， 4设，则 5设，则 三、计算题1已知，且当时，求及的表达式2讨论函数 的连续性3设，求4求的偏导数5设，验证：当时，有6证明函数在点(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微第二次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设，其中为可导函数，则=（ ） （A）；（B）； （C）；（D）2设方程确定z是x，y的函数，F是可微函数，则=（ ） （A）；（B）；（C）；（D）3设都由方程所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ ） （A）；（B）；（C）；（D） 4设都是可微函数，C为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（ ） （A）；（B）； （C）；（

3、D） 5，而，且函数具有二阶连续导数，则 ( ) （A）；（B）；（C）；（D）二、填空题1已知，则在点（1, 2）处对x的偏导数为 2由方程所确定的隐函数在点（1, 1）处的全微分为 3在点（0, 0）处沿x轴正向的方向导数为 4函数在点处的方向导数的最大值等于 三、计算与解答题1设f是C(2)类函数，求 2设，求 3设f，是C(2)类函数，证明：（1）； （2）4设，求5设求6设，其中求f，是C(1)类函数，求7求函数的点(1, 2)处沿着抛物线的该点切线方向的方向导数第三次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1在曲线的所有切线中，与平面平行的切线( ) （A）只有一条；（B）只有两

4、条；（C）至少有三条；（D）不存在2设函数在点(0, 0)附近有定义，且，则( ) （A）；（B）曲面在点的法向量为；（C）曲线在点的切向量为；（D）曲线在点的切向量为3曲面的任一点处的切平面 ( ) （A）垂直于一定直线；（B）平等于一定平面；（C）与一定坐标面成定角；（D）平行于一定直线4设在平面有界闭区域D上是C(2)类函数，且满足及，则的 ( ) （A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最得到值点在D的边界上二、填空题1如果曲面在点M处的切平面平行于平面，则切点M的坐

5、标是 2曲线在点处的法平面方程是 3在条件下的极小值是 4函数在点处沿曲面在该点的外法线方向的方向导数是 三、计算题1求曲线在点处的切线方程2过直线作曲面的切平面，求其方程3证明曲面上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于4求函数的极值5求函数在区域上的最大值和最小值6求曲面的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大第四次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设连续，且，其中D是由，所围区域，则等于( ) （A）；（B）；（C）；（D）2设D是xOy平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D1是D的第一象限部分，则等于( ) （A）；（B

6、）； （C）；（D）03设平面区域是在区域D上的连续函数，则等于 ( ) （A）；（B）；（C）；（D）4设有空间区域及，则( ) （A）； （B）；（C）； （D）二、填空题1积分 2交换积分次序： 3设区域D为，则 4设区域D为，则 5直角坐标中三次积分在柱面坐标中先z再r后顺序的三次积分是 三、计算题1计算，其中D是由直线所围成的三角形区域2计算，其中D是由和所围成的区域3计算，其中4计算，其中是由曲面与平面和所围成的闭或区域5计算，其中6设，其中在可导，且，求四、证明题设函数在闭区间上连续且恒大于零，证明第五次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设L是圆周，则( ) （A）；（

7、B）；（C）；（D）2设L是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则( ) （A）；（B）；（C）；（D）3设是锥面在的部分，则( ) （A）；（B）；（C）；（D）4设为，是在第一卦限中的部分，则有( ) （A）；（B）；（C）；（D）二、填空题1设曲线L为下半圆，则 2设L为曲线上从到的一段，则 3设表示曲线弧，则 4设是柱面在之间的部分，则 5设是上半椭球面，已知的面积为A，则 三、计算题1计算，其中L为圆周，直线及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界2，其中3计算曲面积分,其中曲面被柱面所截得部分。4求，其中是介于与之间的柱面四、应用题1求底圆半径相

8、等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积2求面密度的均匀半球壳关于z轴的转动惯量第六次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设L是圆周负向一周，则曲线积分 ( ) （A）0；（B）；（C）；（D）2设L是椭圆沿逆时针方向，则曲线积分 ( ) （A）；（B）；（C）1；（D）03设是球面的外侧，则曲面积分 ( ) （A）0；（B）1；（C）；（D）4已知为某函数的全微分，则 ( )正确 （A）；（B）0；（C）2（D）1二、填空题1设L为正向一周，则 2设L为封闭折线正向一周，则 3设L为从O(0, 0)到，将化为第一型曲线积分为 4设是平面在第一卦限部分的下侧，则 化为对面积的曲面积分为 5

9、设为球面，法向量向外，则 6设，则 三、计算题1计算，其中L是抛物线上从点到，再沿直线到的曲线2计算，其中L是圆周上从到的一段弧3设在内具有一阶连续导数，L是半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为证明（1）证明曲线积分I与路径L无关（2）当时，求I的值4设力，证明力F在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点到点力F所作的功5计算，其中是曲面的上侧6计算，其中是平面与柱面的交线，从z轴正向看去，取逆时针方向 阶段测试题学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1二元函数在连续，且、存在是在 可微的（ ）条件（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）非充分非必要2已知、在

10、（0，0）连续，则在（0，0）处，在处（ ）（A）均连续（B）均不一定连续（C）均不连续（D）一定连续，不一定连续3设L为椭圆的顺时针方向，则（ ）（A）（B）（C）0（D）4设D由和围成，则（ ）（A）0（B）1（C）2/3（D）4/35设由围成，则三重积分化为柱面坐标系下三次积分为（ ）（A）（B）（C）（D）6设，由（0，0，-1）到（0，0，1）则以下计算（ ）错误（A）（B）（C）（D）二、填空题（每小题3分，满分21分）1已知，则 ， 2在点处沿 方向的方向导数最大，方向导数的最大为 3设，其中，则 4设为由，围成的空间区域，为常数，则 5L为上半圆周，则 6设是柱面在之间的部分，

11、则 7设，改变积分次序 ；化为极坐标下二次积分为 三、解答题（每小题8分，满分48分）1，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶导数。求2已知，而是由方程确定的的函数，求3计算，其中D由围成4计算，其中为锥面被柱面截得的有限部分5计算曲线积分，其中为连接点O(0, 0)和的任何路径，但与直线OA围成的图形ONAO有定面积6设连续，其中，求，四、证明题（满分6分）求证，并由此估计的上界，其中r为球面与平面的交线并已取定方向，P,Q,R为连续函数五、应用题（满分7分）求内接于椭球面，且棱平行于对称轴的体积最大的长方体第七次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设，则下列级数中肯定收敛的是 (

12、) （A）；（B）；（C）；（D）2若级数都发散，则 ( ) （A）发散；（B）发散； （C）发散；（D）发散3设级数收敛，则必收敛的级数为 ( ) （A）；（B）； （C）； （D）4设a为常数，则级数（ ） （A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）收敛性取决于a的值5已知函数在处收敛，则在处，该级数为（ ） （A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）收敛性不定6幂级数的收敛域是 ( ) （A）；（B）；（C）-3, 3；（D）7展开为x的幂级数是 ( ) （A）；（B）；（C）； （D）二、填空题1若级数，则级数= 2设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间为 3

13、幂级数的收敛半径为 4设函数，而 ，其中，则的值为 三、计算题1判别级数的敛散性2求级数的和 3设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由4求幂级数的收敛域 5利用幂级数求的和6将函数在点展成幂级数7求幂级数的和函数8设是周期为2的周期函数，且 写出的傅里叶级数与其和函数，并求级数的和第八次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1下列各组函数可以构成微分方程的基本解组的是( ) （A）；（B）；（C）；（D）2若是方程的两个解，要使也是該方程的解，应满足关系式 ( ) （A）；（B）；（C）；（D）3设线性无关的函数均是方程的解，是任意常数，则该方程的通解是 ( ) （A）；

14、 （B）； （C）； （D）4若2是微分方程的特征方程的一个单根，则该微分方程必有一个特解( ) （A）；（B）；（C）；（D）5方程的特解形式为( ) （A）；（B）； （C）； （D）6以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 ( ) （A）；（B）； （C）； （D）二、填空题1常微分方程的通解是 2常微分方程的通解是 3若是二阶非齐次线性微分方程的线性无关的解，则用表达此方程的通解为 3微分方程的通解为 4微分方程的通解 5以为一个特解的二阶常系数线性微分方程为 6的一个特解形式为 三、计算题1求解微分方程 2求解微分方程 3求解微分方程 4求微分方程的通解，其中a为常数5求微分方程在原

15、点处与直线相切的特解6求微分方程的通解 四、综合题设具有二阶连续导数，且是全微分方程，求及此全微分方程的通解综合练习题学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1函数在点(0, 0)处 ( ) （A）不连续；（B）偏导数存在；（C）沿任一方向的方向导数存在；（D）可微2设，且则为（ ） （A）；（B）； （C）；（D）3设L是圆周负向一周，则曲线积分 ( ) （A）0；（B）；（C）；（D）4设为S在第一卦限中的部分，则有 ( ) （A）；（B）； （C）；（D）5设为正项级数，下列结论中正确的是（ ） （A）若，则级数收敛；（B）若存在非零常数，使得，则级数发散； （C）若级数收敛，则；（D）若

16、级数发散，则存在非零常数，使得6若，则幂级数 ( ) （A）当<2时绝对收敛；（B）当时绝对发散； （C）当<4时绝对收敛；（D）当时绝对发散7设是方程的解，并且，则 ( ) （A）在点的某邻域内单调增加； （B）在点的某邻域内单调减少； （C）在点处取极小值 （D）在点处取极大值二、填空题1函数在点连续且可偏导，是在点可微的 条件2设，则 3设函数，其中具有二阶导数，具有一阶导数，则 4设为L椭圆，其周长为a，则 5周期为2的函数，它在一个周期内的表达式为，设它的傅里叶级数的和函数为，则 6以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 7曲面，则 三、计算题1设，f具有连续的二阶偏导数

17、，求2设，是由方程和确定的函数，其中和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求3求，其中为球体4设是由确定的函数，求的极值点和极值5设函数在内具有二阶导数，且满足等式 （）验证：；（）若，求函数的表达式6计算其中为曲的上侧7将函数展开成x的幂级数8已知齐次方程的通解为求非齐次方程的通解9. 设具有二阶导数。满足方程求的表达式。四、应用题在第一卦限内作球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，求这切平面的切点五、证明题设证明：对任意常数，级数收敛 综合模拟题（一）学院 班级 姓名 学号 一、填空题(共5道小题，每小题3分，满分15分)1设函数，则 .2设是直线上由点A（0,0

18、）到点B（1,1）的线段，则第一型曲线积分 .3设曲面为圆锥面在面上方的部分，则第一型曲面积分 4设函数将在上展开为傅里叶（Fourier）级数，使，则 .5微分方程满足的解是 .二、选择题(共5道小题，每小题3分，满分15分)1函数的极小值点是（ ）（A）（1,1）； （B）（0,0）； （C）（0,1）； （D）（1,0）.2设山坡的高度为，一个登山者在山坡上点处，他决定沿最陡的道路向上攀登，则他应当选取的方向l是（ ）（A）l=； （B）l=； （C）l=； （D）l=.3交错级数（ ）(A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；(C) 敛散性与有关； (D) 发散.4幂级数的收敛域是 ( )

19、 （A）； （B）； （C）； （D）5函数满足的一个微分方程是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）.三、（满分6分）设，其中具有二阶连续偏导数，求.四、解答下列各题(共4个小题，每小题10分，满分40分) 1计算二重积分，其中D为圆域在第一象限的部分.2计算三重积分,其中是由圆锥面与平面围成的闭区域.3设具有连续的导数，且，又曲线积分与路径无关，（1）求表达式；（2）计算.4已知满足为正整数，且，求函数项级数之和.五、解答下列各题(共3个小题，每小题8分，满分24分) 1曲线在点处的切线及法平面方程.2利用高斯公式计算第二型曲面积分，其中是球面的内侧表面.3将函数展开成的幂级数.综合模拟题（二）学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1设函数关于有以下命题： 在点处