固体物理答案

1、第一章晶体结构1.1 、（ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1）4r 3 ， Vc=a3， n=1a=2r， V=34r 34r 3 x330.52a38r 36（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=3a4ra4 3 xn=2, Vc=a 3324r 324r 33 x330.68a3( 438r ) 33（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=2a4r ,a 22rn=4， Vc=a 344r 344r 3x3320.74a3( 22r) 36（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积： S=6S ABO6aa sin 60=3 3a 222晶胞的体积： V= SC3 3 a 28 a

2、32a3242r 323n=12 121213=6 个6264r 3x320.74242r 36（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a42r8rn=8, Vc=a 3a384r 384r 333x30.34a3836r 33 3rarra12( jk )rr1.3 证明：（ 1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）ra： a22(ik )rrraa3(ij )2r2rr由倒格子基矢的定义：b1( a2a3 )0,a ,arrr22a3i ,j ,k2rrrrrraar ra0,aaQa1( a2a3 ), 0,24， a2 a3,2( ijk )224a ,a ,0a ,a ,0

3、2222r24a2rrr2rrrb1a34( ijk )( ijk )ar2rrrb2a(ijk)同理可得： rrrr即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。2b3(ijk )a所以，面心立方的倒格子是体心立方。rarrra1( ijk )2rrr（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）ra：a22(ijk)rrrraa3(ijk)2r2rr由倒格子基矢的定义：b1( a2a3 )a ,a ,arrr222a3i ,j ,ka2 rrQrrraaarraaaa1( a2a3 ),2， a2a3,2( jk )222222a ,a ,aa ,a ,a222222r2a2rr2r

4、rb1 2( j k )( j k )a32ar2rrb2(ik )同理可得： rarr即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。2b3(ij )a所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.4、vvvv1.5、证明倒格子矢量Gh1b1h2b2h3b3 垂直于密勒指数为( h1h2 h3 ) 的晶面系。证明：uuurvvuuurvvvvvva1a2因为 CAa3 , CBa3 ， G h1b1h2b2h3b3h1h3h2h3vuuurvvGh1h2 h3CA 0利用 aibj 2ij，容易证明vuuurGh1h2 h3CB0vvvv(h1h2h3 ) 的晶面系。所以，倒格子矢量Gh1b1h2b

5、2h3b3 垂直于密勒指数为1.6 、 对 于 简 单 立 方 晶 格 ， 证 明 密 勒 指 数 为 (h, k,l ) 的 晶 面 系 ， 面 间 距 d 满 足 ：d 2a2 (h2k 2l 2 ) ，其中 a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。vrrvv vv vv解：简单立方晶格：a1a2a3， a1ai , a2aj , a3akrr2 r a2r由倒格子基矢的定义： b1a1 a2rrrrrrr2 r a3r2 r a1ra2 ra3r ， b2a1r ， b3a3a1 a2a3a1 a2 a3v2v v2vv2v倒格子基矢： b1ai , b2aj ,

6、b3akvvvv vvh2 v2 v2倒格子矢量： Ghb1kb2lb3 ， Gaikjlkaa晶面族 (hkl ) 的面间距： d21v( h )2( k ) 2( l )2Gaaad2a2(h2k 2l 2 )面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。第二章固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln 2 ）和库仑相互作用能，设离子的总数为 2N 。解设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间

7、的距离，于是有r(1)11112.jrijr2r3r4r前边的因子2 是因为存在着两个相等距离ri 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为21111.Q l n (1234x2x3x4x)xx3.4当 X=1 时，有 1111. l n 22l n 22342.3、若一晶体的相互作用能可以表示为u( r )r nr m试求：（ 1）平衡间距 r0 ；（ 2）结合能 W （单个原子的） ；（ 3）体弹性模量；（ 4）若取 m 2, n 10, r0 3A,W 4eV ，计算 及 的值。解：（ 1）求平衡间距 r 0由 du( r )0 ，有：drr r0mn

8、mr0m 1r0.n 10 r0n1m nnm1n m结合能：设想把分散的原子（离子或分子） 结合成为晶体， 将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示）（ 2）求结合能w （单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化， 说明组成晶体的基本单元是单个原子， 而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin即： WU (r0 )mn （可代入 r0值，也可不代入）r0r0（ 3）体弹性模量由体弹性模量公式： kr022U9V0r2r0（ 4） m = 2 ， n = 10 ， r03 A ， w = 4eV ，求、11r0108582U ( r0

9、 )r02r.4(r085代入 )105r02WU (r0 )44eV5r02将 r03 A ， 1eV1.60210 19 J 代入7.209 10 38 N m 29.459 10 115 N m2详解：（ 1）平衡间距r0 的计算晶体内能 U ( r )N (r mr n)2平衡条件 dUmn( n10 ，0 ， r0) n mdr r rr0m 1r0n 1m0（2）单个原子的结合能1 u(r0 ) ， u(r0 )( n1W(rmrn )， r0) n m2r rm01m)( nmW(1) n m2nm（3）体弹性模量 K(2U )VV0V 20晶体的体积 VNAr 3 ， A 为常

10、数， N 为原胞数目晶体内能 U ( r )N (r mr n)2UUrNmn1VrV(m 1rn 1 )3NAr22r2UNr(mn12 V22Vrm 1rn 1 )r3NAr2UN1m2n2mnV22mnmnV V2 9V0r0r0r0r00由平衡条件UN ( mm 1nn 1 )10，得mn2mnVVV02r0r03NAr0r0r02UN1m2n2V22 mnVV2 9V0r0r002UN1 mmnnN nmV22mn 2mnV V2 9V0r0r02 9V0r0r00U 0N (mn )2r0r02Umn0 )体弹性模量 KmnV22 ( UU 0VV9V09V00（4）若取 m2,

11、n10, r03A ,W4 eV( n11(1 m )( nmr0) n m ， W) n mm2nmW r010 ，r02r0102W 21.2 10-95eVm10 ，9.010 19eVm2第三章 固格振动与晶体的热学性质3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为），其2N个格波解，当M=m时a与一维单原子链的结果一一对应。解：质量为 M 的原子位于2n-1，2n+1， 2n+3 ；质量为 m 的原子位于2n，2n+2 ，2n+4 。m&(22n2n12 n 1)牛顿运动方程2nM &2n 1(2 2n 12 n )2 n 2N 个原胞，有2N 个独立的方程设方程

12、的解2nAei t (2 na ) q，代回方程中得到2n 1Bei t (2 n 1) aq(2m 2 ) A (2cos aq)B0(2cos aq) A(2M2 ) B0A、 B 有非零解，2m22cosaq0，则2cosaq2M 2(mM )14mM1212 sin 2 aq2 mM( m M )2两种不同的格波的色散关系2(m M ) 1 14mM1sin 2 aq 2mM(m M )2(m M ) 1 14mM12sin 2 aq 2mM(m M )一个 q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.4cos aq当 Mm 时m2 ，4 aqsinm2两种色散关系

13、如图所示：长波极限情况下q0 ， sin( qa )qa ，22(2)q 与一维单原子晶格格波的色散关系一致.m3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和 10，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a 2 。试求在 q0, qa 处的(q) ，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H 2 这样的双原子分子晶体。答：（ 1）浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色标记原子位于2n， 2n+2 ， 2n+4 。第 2n 个原子和第2n 1 个原子的运动方程：m &2n( 12 ) 2n2 2n 11 2n 1&( 12 ) 2 n 11 2 n 22 2 nm 2 n 1体系 N 个原胞，有2N 个独立的方程i t (2 n )1 aq2nAe222方程的解：，令/ m,/ m ，将解代入上述方程得：1122i t1(2 n 1) aq 2n1Be211(222) A (2 iaq2i aq121 e 22 e2(2i 1 aq2i 1aq2221 e22 e 2 ) A (12)B0)B0A 、 B 有非零的解，系数行列式满足：(222(2i 1 aq2i 1 aq12),1 e 22 e2 )0i 1 aqi 1aq22222(22),()1 e2 e12111(222)2(2i aq2i aq2ei aq12