振动系统的运动微分方程题解

1、习题习题 3-1复摆重P,对质心的回转半径为C,质心距转动轴的距离为a,复摆由水平位置 无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。 解：系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向 如如题4-1图所示。 复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 J0Mo题3-1图 其中JoP(Ca2) g 得到复摆运动微分方程为 P，22、 (Ca)Pacosg 或(Ca2)gacos0 解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为: 用瞬心法求vC: 2222 vC(CC)2(e2R22Recos) .2 JCmC I2 Tm(e2 系统具有理想约束，重力的元功为 3-2均质

2、半圆柱体，质心为C,与圆心0的距离为 e,柱体半径为R,质量为m对质心 的回转半径为C C ,在固定平面上作无滑动滚动，如题 3-2图所示，列写该系统的运动微分 方程。 12mvc 1J22JC 2 R2Recos) 1 -m 2 题3-2图 Wmgesind 应用动能定理的微分形式 dTW 0,等式两边同除 1,并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化, ge0 要点及讨论 (1)本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图(b)所示。 列写微分方程 mxCF myCNmg 2 mCF(Recos)Nesin 上述方程包含xC,yC,，F，N五个未知量，必须补充运动学

3、关系才能求解。建 立质心坐标与广义坐标之间的关系 xCResin yCRecos XCRecos yCesin所以24 XCRecosesin 2尔 ycesinecos 运动学方程式与方程联立，消去未知约束力N,F,就可以得到与式相 同的系统运动微分方程。 因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定 理解决已知力求运动的问题更简便、直接。 (2)本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能T1m(e2R22Recos)21mC2 22 1m(e2 2 2 R2Recos) m(e2R2 等式两边同除 m(e2R2 C)ddt, C) 2mRecosd mRe2

4、sind 2 2mRecosmResin mgesind mgesind mgesin 故微分方程为 m(e2R22Recos C)mRe2sinmgesin0 若为小摆动sin,cos 系统微摆动的微分方程为 (Rr)2C 所以 系统的主动力图为图( 1 2a) 由动能定理 所以 dT l_ 2 12 一ml 3 ,11.2 d(-ml 23 系统的运动微分方程为 ?3g.sin2l 要点及讨论 ,JCml2, 12 重力的元功为 mg 2) 1 (1)平面运动刚体可用式TJ。 2C l drCmg-sind mg；sind 2 2计算刚体动能，式中JC 2. JCmd为刚体对 瞬心的转动惯

5、量，d为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度vC也可用式vC 2 yC计算。其中 选半圆柱体中心O所在平面为零势面，系统的势能 Vmgecos E 两边对时间t求导数，即可得到与式相同的运动微分方程。 3-3均质杆AB长l,质量为m沿光滑墙面1t下，如题3-3图所示。设水平面也为光 滑的。列写该系统的运动微分方程。 m(e2 2R22Recos)2 122 -mCmgecosE 解：系统具有一个自由度，选 为广义坐标。系统在任一位置的动能为 1212 mVcJC 22 由瞬心法求质心的速度 题3-3图 标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示

6、（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根 据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小 分别为 2d 系统的动能 122 ml 3 主动力的元功 mg；cos 所以 3gcos 2l 为负，即反时针方向。 （3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。 3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为半彳至为r,沿倾斜角为的三角块作无滑 动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。 解：系统具有两个自由度，选X、Xr为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒： XC yc

7、i-sin2 l-cos2 l XCcos 2 lycsin 2 （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移） 、坐标原点、坐标正方向。广义坐 根据动能定理建立的方程为 d（2 1ml 3 22) mg；cosd “一”号说明当取正值时 题3-4图 221 *cos)(&sin) 2 MX21mX21m&2mXxrcos1MX23mX21mX2mX&cos242 Vmgxrsin ,水平方向动量守恒。PxC Mxm(xxrcos)C 整理后可分别列写两个方程 1 .2132 (Mm)xmxrmxxrcosmgxrsin 2 22 Mxm(xxrcos)C 式中为系统

8、微分方程的首次积分，对时间t求导后，即可得到系统运动微分方程。 2_学1叙史”0 2mcoscos 要点及讨论 (1)在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给 出了系统的速度(或角速度)与位移(或角位移)之间的关系，对时间t求导一次可得到系 统的运动微分方程。 (2)用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为： 分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动 力。 建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度(角速度)， 将速度(角速度)用广义速度表示。 计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。 计

9、算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形 式的动能定理，则计算力的元功。 应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。 (3)在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。 (4)对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。12 mr 2 2 Xr r 的转动惯量为IC。两刚体在O处较接并附有刚度系数为ki的扭转弹簧。其他参数如图示。 设地基有水平运动 z（t）,试建立系统微幅运动微分方程。图中 的 题3-5图 解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分

10、方程时,题3-5图（b）、（c）所示。 对于图（b）,建立刚体的水平运动微分方程为 首先要画出每个刚体的受力图, mxk(xz)c(xz)FOx 对于图（c）:建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为 MxcFox (2) MycF yMg k1FOyasinFOxacos (4) 其中xc、yc及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有 xrxasinxa C yCacosa (6) 由方程（1）、（2）消去未知力，FOX并考虑式（5）得 (Mm)xMa cxkxczkz 又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力Foy、F%并考虑式(5)和(6),得 那么，方程(7)和(8)改

11、写为矩阵形式如下: 2、 Ma(ICMa)00 (9) k0 xczkz 0(k1Mga)0 由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。 另解：由动静法得，以整体为研究对象 X0mx&M藤k(xz)c(E& 以M为研究对象： n0 M&acosMa&a1c儆Mgasink1 Q很小sin=,cos=1 又忽略高阶小量&,所以以上两式化简后得： (mM)x&Ma&c(&a

12、mp;k(xz)0 Max&(IcMa2)双(k1Mga)0 化成矩阵形式为： (Mm)Maxc0 Ma(ICMa2)00Max(ICMa2)(k1Mga)0 (8) 方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令形式 x和？为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵 (Mm) Maxc0 x Ma&cosM&asin0 k0 xczkz 0(k1Mga)0 对式(e)进行分部积分运算，得到 (CEIm)W (CEIW)W00 与运动方程 mw(EIw)F(y,t) 两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。3-6题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI,单位长度的

13、质量为m分 解：若梁的挠曲函数为Wy,t), l2 mw(y,t)dy 0 则动能为 (a) 应变(势能)为 EIw2(y,t)dy (b) l F(y,t)w(y,t)dy (c) 将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式 t1 (T )dt t2 Adt (d) 得到 t2 t1 l mw加dydt t2 t1 l EIw 0 Wdydt t2 t1 l oF(y,t)(wdydt (e) lq mw丽dy 0t2 t2 t1 l mwwdydt 0 t2 (EIw)9w0dt (f) t2l (EIw).0dt t1 l (EIw)加dydt0 t2l F(y,t)的dydt t10 由

14、于，tt1t2时，哈密顿原理要求 ?w=0,因而式 变为 t1 t2 t1 l mw的dydt l (EIw)(wdydt0 t2 t1 (EIw)W0dt t1 因为，t1与t2区间的虚位移？W不可能为零, t2l, (EIw)m0dt t1 l F(y,t)awdydt0 0 由此，得到梁的边界条件 (f) (h) (i) 布载荷为F(y,t)。试用哈密顿原理求运动方程。 题3-6图 3-7应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。 题3-7图 解：取各质量偏离其平衡位置的Xi、X2、X3、X4为广义坐标。即 Qixii1,2,3,4 则系统的动能 T-mix； 2 12 一m

15、；X2 2 1212 m3X3m4X4 22 系统的势能为 1I211/ V二k1X1k2(X2 22 Xi)2 1,、1,、2 二k3(X3X2)k4(X4X3) 22 (2) 计算拉格朗日方程中的各项导数如下: q1X1 出X1 Tm1X1;0 X1 q2X2 q3X3 q4X4 V X1 k2(X2X1)(k1 k2)M k2X2 d T T dt m2X20 X2 X2 V k2(X2X1) k3(X3X2) X2 k2X1(k2k3)X2k3X3 d T T八 m3X30 dt X3 X3 V k3(X3X2) k4(X4X3) X3 k3X2(k3k4)X3k4X4 dtX4 m4

16、X4; X4 X4 k4(X4 X3) k4X3 k4X4 将以上各项导数代入拉格朗日方程得 m1000 0m200 m质量矩阵 00m30 000m4 k1k2k200 0 刚度矩阵 k4 00k4k4 3-8在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹 簧的弹性系数为k,扭转弹簧的弹性系数为kT,如题3-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标？，求 出运动方程。 写成矩阵形式 其中 m1x1 (ki k2)X1 k2X2 0 m2X2 k2Xi (k2 k3)X2 k3X3 0 m3X3 k3X

17、2 (k3 k4)X3 k4X4 0 m4X4 k4X3 k4X4 0 mqkq0 (4) k2k2k3k3 0k3k3k4 T qX1X2X3X4 位移列阵 地震中可设？为微小角度，因此 m(xh)kx m(xh)hkTmgh hxkx0 (mh2IG)(mghkT)0 t,则 2 mAkA20 22 (mhIG)A1(mghkT)A10 22 mhkm 22 IG)(mghkT)mh m2)(mh2IG)2(mgh)0 ,4222 mIG(mkhIGkmghmkT)mghkkkT0 另解：动静法得。 以刚体m为研究对象： X0m&hcosm&m&hsinkx0 mo

18、0 m&h21GakTmxhcosmghsin0 Q很小sin=,cos=1 又忽略高阶小量&,所以以上两式化简后得： mh&m踞kx0 mh徽(mh2IG)儆(mghkT)0 mhhxkx0 2 mhx(mhIG)(mghkQ0IG 因此运动方程为 mh mhx 如果Asint,xA2sin 2A mhA1 2 mhA2 则频率方程为 (mh2 即 (mh2)2(k 或 图中：kx、mx应反向。方程应为 3-9为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支 承，如题3-9图所不。试求机座在图布平面内的运动方程。 题3-9图 解：选择坐标qi、q

19、2、q3,这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和机座的总质量为M总质量对质心G点的惯性矩为IG,则 12121,2 TMql二Mq2二1Gq3 222 X1 q2 aq3 Vi V4 0 X4 q2 acb 2 qi bq3 X2 X3 0 V3 q dq3 由拉格朗日方程得 j曲 T ） 5( T一0q3121 V-k1(q1bq3)女式为 式中，V为贮存在弹簧中的势能。 有： 21212 dq3）2k2（q2aq3）-k2（q2aq3） qi q2 ki（qbq3） ki（qdq3） q1 kib(qibq3)kid(qckn)ak?。aq3)ak?(q?aq3) 平衡方程

20、, TiT2cosm1g02k2q22k2aq3 q3 q3 则运动方程为 Mqi 2k1q1 ki(bd)q30 Mq2 2k2q2 2ak2q30 1Gq3 ki(b 222. d)qi2ak2q2(bd)kiq32ak2q30 因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定qjAisint,由频率方程可求出系统的各 阶固有频率。 3-i0题3-i0图是一个带有附有质量m和由上的约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平 平动Xi和X2为坐标，写出系统运动的作用力方程。 解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵ko 设Xii,X2。，分别画出mi与m2的受力图, 施加二物块力 kii,k2i,列平衡方程, -(o

21、) 对mi: 0, kiiT|siniT2sin2kl0 题3-i0图 0, Ticosi T2cos2m1g0 对m2: 0, k2iT2sin2 设Xi 0, 0, T2cos2m2g X2 分别画出mi与m2的受力图, 并施加二物块力ki2,k22,列 对mi: 0, ki2T2sin k22k2T2sin0 T2cosm2g0 1 sintan一，斛得, l2 得作用力方程为 3-11题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上， 刚杆顶面和底面受水平弹簧 的约束，质心C上受水平力PC和扭矩M的作用。设刚杆长度、横截面积和质量密度分别为l、 A及，以质心C的微小位移 XC与C为坐标，

22、列出系统运动的作用力方程。 解：设Xc质心的水平位移与C相对于质心的转角为 广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k0 设XC1,C。，画出受力图，并施加物体力与力偶 列平衡方程, X0,k11k1k20 k?ikik20 22 设XC0,C1,画出受力图，并施加物体力与力偶 X0,k12k1-k2-0 22 Y0,Nmg0 MC0,k22Nk1k20 244(m1m2)gm2gk1 m0Xl1l2 m2g l2X1 0m2x2 k2 m2g l2 X2 P1(t) P2(t) 由，sin1 tan1,sin2tan2 l1 1 一,cos1cos2 l2 k11k1 (mm)2)g l1 m2g 1 k21 l2 k12 l2 k22 k2 l2 跖%,列平衡方程, 题3-11图 k11k1k2， (k2k1)二二，k12 2 k22(k1 k2)粤 42 得作用力方程为 lA0 0H 12 XC k1k2 (k2k1)2 XC (k2ki)；(ki k2) Pc(t) Mc(t) 3-12题3-12图是两层楼建筑框架的示意图, 假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形, 下层弯曲刚度为EJ,上层为E1,采用微小水平运动X1及X2为坐标，列出系统运动的位移 方程。 解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角 时，其梁的等效刚度为k驾,由此可将题l3