平面的基本性质

1、2021/3/91平面的基本性质平面的基本性质2021/3/92一一. .平面的概念：平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。象的结果。二二. .平面的特征：平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。无限延伸的。观察思考观察思考2021/3/93三三. .平面的表示方法：平面的表示方法：ABCD平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字母表示，也可以用三个或三个以

2、上字母表示。母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。如：平面如：平面，平面，平面，平面，平面ABCD等。等。2021/3/94四四. .平面的画法：平面的画法：（1）水平放置的平面：）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：）垂直放置的平面：通常把表示平面的平行四边形的锐角画成通常把表示平面的平行四边形的锐角画成4502021/3/95（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。2021/3/96五五. .用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：用数学符号来表示点、线、面之间

3、的位置关系：A AB Ba a 点点A A在直线在直线a a上：上： 记为：记为：AaAa点点B B不在直线不在直线a a上：上：记为：记为：BaBa点点A A在平面在平面上：上：记为：记为：AA点点B B不在平面不在平面上：上： 记为：记为：B B A AB B(1)(1)点与直线的位置关系：点与直线的位置关系：(2)(2)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系：2021/3/97(3)(3)直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系： 直线直线a a上的所有点都在平面上的所有点都在平面上，称直线上，称直线a a在平面在平面内，或称平面内，或称平面通过直线通过直线a.a.记为：记为：a a

4、直线直线a a与平面与平面只有一个公共点只有一个公共点A A时，称直时，称直线线a a与平面与平面相交。记为：相交。记为：aaA Aa aA Aa a2021/3/98例例1.1.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。（1 1）点）点A A在平面在平面内，点内，点B B不在平面不在平面内，点内，点A A，B B 都在直线都在直线 a a上；上；（2 2）平面）平面与平面与平面相交于直线相交于直线 m m，直线，直线 a a 在平在平 面面内且平行于直线内且平行于直线 m.m.maA AB Ba2021/3/99六六. .平面性质研究平面性质研究问题问题

5、1 泥匠如何检查墙面是否平整？泥匠如何检查墙面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？问题问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？如图，两个平面只有一个公共点，是吗？问题问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？一只撑脚？观观察察思思考考?2021/3/910公理一公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内那么这条直线上的所有点都在这个平面内ABl应用：应用：1 1. .判断点或直线在平面内的依据判断点或直线在平面内的依据; ;2 2. .判断点或直

6、线共面的依据判断点或直线共面的依据如果直线如果直线l 上所有点都在平面上所有点都在平面内就说直线内就说直线l在平在平面面内，或者说平面内，或者说平面经过直线经过直线l,否则，就说直否则，就说直线线l在平面在平面外外AABB2021/3/911六六. .平面性质研究平面性质研究问题问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？泥匠如何检查墙面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？问题问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？如图，两个平面只有一个公共点，是吗？问题问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？一只撑脚？观观察察思思考考?2

7、021/3/912公理二公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条经过这个公共点的直线。经过这个公共点的直线。如果两个平面有一条公共如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这交，这条公共直线叫做这两个平面的两个平面的交线交线。AlA2021/3/913应用应用：判定两个平面有交线及交线位置的依据：判定两个平面有交线及交线位置的依据1 1. .判定两个平面相交判定两个平面相交: :如果两个平面有一个公如果两个平面有一个公共点共点, ,那么它

8、们相交那么它们相交; ;2 2. .判定点在直线上判定点在直线上: :点若是某两个平面的公共点若是某两个平面的公共点点, ,那么这点就在这两个平面的交线上那么这点就在这两个平面的交线上; ;3 3. .两平面两个公共点两平面两个公共点的连线就是它们的交的连线就是它们的交线线2021/3/914ABCDA1B1C1D1O例例2 2在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面中，画出平面A1C1D与平面与平面B1D1D的交线的交线. . 2021/3/915DABCE例例3：如图画出平面：如图画出平面 与平面与平面ADE的交线的交线 画出画出DE与平面与平面 的交点的交点P2021/3/9

9、16A变式：如图，已知变式：如图，已知ABC三边所在的三边所在的直线分别交平面直线分别交平面 于点于点P、Q、R，求，求证：证：P、Q、R三点在同一直线上。三点在同一直线上。BCQPR2021/3/917例例4：已知：空间四边形：已知：空间四边形ABCD，平面四，平面四 边形边形EFGH的顶点分别在空间四边的顶点分别在空间四边 形的各边形的各边AD,AB,BC,CD上上,若若EF与与 GH不平行，求证：三条直线不平行，求证：三条直线 EF,GH,BD共点。共点。方法小结方法小结2021/3/918六六. .平面性质研究平面性质研究问题问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？泥匠如何检查墙面是否平整？

10、木匠如何检查桌面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？问题问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？如图，两个平面只有一个公共点，是吗？问题问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？一只撑脚？观观察察思思考考?2021/3/919公理公理3.3.经过不在同一直线上经过不在同一直线上的三点的三点有且只有有且只有一个平面一个平面. .ACB观察下列问题，你能得到什么结论？观察下列问题，你能得到什么结论？BCA应用：确定平面的依据应用：确定平面的依据判定点或线的共面判定点或线的共面; ;2021/3/920推论推论1.1.一条直线和直线外一点唯一确定一

11、个平面。一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。aABC.AaAa直线有且只有一个平面 ，使得，数学语言表示数学语言表示:2021/3/921已知：点已知：点Aa 求证：过点求证：过点A和直线和直线a有且只有一个平面有且只有一个平面.aA 过不共线的三点过不共线的三点A,B,C有一个平面有一个平面 （公理（公理3） B ，C a（公理（公理1） 过点过点A和直线和直线a有一个平面有一个平面证明证明: （存在性）（存在性）（唯一性）（唯一性）, 在在a上任取两点上任取两点B、C，又由公理又由公理3,经过不共线的三点经过不共线的三点A、B、C的平面的平面只有一个只有一个经过经过a和点和点A的平面只有

12、一个的平面只有一个.a ABC2021/3/922推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。Cab数学语言表示数学语言表示:.abCab直线有且只有一个平面 ，使得，2021/3/923推论推论3.3.两条平行直线唯一确定一个平面。两条平行直线唯一确定一个平面。ACBab数学语言表示数学语言表示:/.abab直线有且只有一个平面 ，使得，思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。2021/3/924例例1：如图，直线：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点两两相交，交点分别为分别

13、为A、B、C，判断这三条直线是否共面，判断这三条直线是否共面，并说明理由并说明理由. ABC共面共面2021/3/925证明：证明：ABAC=A直线直线AB、AC确定一个平面确定一个平面 BAB ,CAC ,C BBC (推论推论2)(公理公理1)直线直线AB、BC、CA都在平面都在平面 内内即它们共面即它们共面 ABC2021/3/926证法证法2：A 直线直线BC过点过点A和直线和直线BC确定平面确定平面 A , BBC B ,AB 同理同理AC AB、AC、BC共面共面 ABC2021/3/927 A、B、C三点不在一条直线上三点不在一条直线上证法证法3：过过A、B、C三点可以确定平面三

14、点可以确定平面 (公理公理3) A , B AB (公理公理1)同理同理BC , AC AB、AC、BC共面共面 ABC2021/3/928练练1.1.直线直线l l 与过点与过点P P的三条直线的三条直线a a1 1 , a, a2 2 , a, a3 3 分别分别交于交于 A A，B B，C C三点（三点（A A，B B，C C异于点异于点P P），求证：），求证：这四条直线共面。这四条直线共面。a3ACPa1a2B例例2图图2021/3/929条直线共面。条直线共面。四四，E E，F F三点，求证这三点，求证这a a，b b，c c分别交于分别交于D D与直线与直线，c c互相平行，直线

15、互相平行，直线l l练练2.2.已知直线已知直线a a，b blDabcEF例例3图图2021/3/9301.如图找平面如图找平面BA 1C 1与平面与平面B 1AC的交线的交线 练习：练习：ABCDA1B1C1D12021/3/9312.P、Q分别是正方体分别是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的的棱棱AA1、CC1上的点，画出过上的点，画出过B、P、Q三点三点的截面的截面C1D1QABCDA1B1P2021/3/932小结小结1、平面的概念、平面的画法及其表示方法平面的概念、平面的画法及其表示方法 2、空间图形的点、线、面的基本位置关系空间图形的点、线、面的基本位置关系及表示及表示 3、平面的基本性质平面的基本性质 公理公理1公理公理2公理公理3（3个个推论）推论）4、应用