人教版高中数学选修（1-1）-3.3《函数的最大（小）值与导数》名师课件

1、0 0名名 师师 课课 件件3.3.3 函数的最大（小）值函数的最大（小）值与导数与导数0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.求函数极值的方法和求解步骤.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究一问题探究一 函数最大（小）值与导数函数最大（小）值与导数 活动一 观察与思考：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，观察图中一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象，你能找出函数y=f(x)在闭区间

2、a,b上的最大值、最小值吗？ x 3 x 2 x 1 b a x O y一般地，在闭区间a,b上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测说明：如果在某一区间上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则称函数y=f(x)在这个区间上连续给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值如函数y=1/x在(0,+)内连续，但没有最大值与最小值；在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，函数f(x)在闭区间a，b上连续，是 f(x)在闭区间

3、a，b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动二 想一想：想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？函数极值与最值的区别与联系：（1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值

4、可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值（5）对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得 活动二 想一想：想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究二问题探究二 函数的最大值与最小值的求解函数的最大值与最小值的求解 活动一 阅读教材P97的例5，根据例5及最值与极值的关系归纳出求函数f（x）在闭区间a，b上的最值的步骤利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数f（x）在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：求f（

5、x）在a，b上的极值；将f（x）的各极值与端点处的函数值f（a） 、 f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f（x）在a，b上的最值0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动二 初步运用 求函数的最值例1 已知函数 ，求曲线y=f（x）在点（0,4）处的切线方程；若x-3,3，求函数f（x）的最大值与最小值4431)(3xxxf详解： ，所以曲线y=f（x）在点（0,4）处的切线的斜率 ，故曲线y=f（x）在点（0,4）处的切线方程为y=-4x+44)(2xxf4)0( fk令 得x=2或x=-2，列表如下：2( )4=0fxx0 0

6、知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动二 初步运用 求函数的最值令 得x=2或x=-2，列表如下：2( )4=0fxx ， ，又f(-3)=7， f(3)=1， f（x）在-3,3的最大值是 ，最小值是 328)2()( fxf极大值34)2()( fxf极小值32843例1 已知函数 ，求曲线y=f（x）在点（0,4）处的切线方程；若x-3,3，求函数f（x）的最大值与最小值4431)(3xxxf0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测点拨：求函数最值时，若函数f（x）的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确

7、定函数的最值若f（x）的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点若f（x）为单调函数，则端点就是最值点0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动三 对比提升 由函数的最值求参数例2 已知函数 ，当 （e为自然常数）,函数f(x)的最小值为3，求实数a的值 lnf xaxx0,ex详解：由 得 , 因为 ，所以当 时， f(x)在(0,e是减函数，最小值为 不满足题意；当 时， f(x)在 是减函数， 是增函数，所以最小值为 ，实数a的值为e2. lnf xaxx 1fxax0,ex1ea ee 10fa 1ae10,a1,ea211 ln3efaaa

8、 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究三问题探究三 利用最值解不等式恒成立问题利用最值解不等式恒成立问题 函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式 在定义域内恒成立（2）不等式 在定义域内恒成立（3）不等式 恒成立， 则等价于 恒成立0)(xf0)(minxf0)(maxxf0)(xf( )( )( , )f xg xxa b，( )( )( )0( , )F xf xg xxa b，0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究三问题探究三 利用最值解不等式恒成立问题利用最值解

9、不等式恒成立问题 活动一 初步运用例3 已知函数 求f(x)的最小值；若对所有x1都有f(x)ax-1，求实数a的取值范围xxxfln)(详解： f（x）的定义域为（0，+）， ，令 ，解得 ；令 ，解得 ，从而f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， f（x）取得最小值 xxfln1)(0)( xf1ex 0)( xf10ex1(0, )e1( ,)e1ex 1e0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测依题意，得 在 上恒成立，即不等式 对于 恒成立令 ，则当 时， ，故g（x）在（1，+）上是增函数， ，实数a的取值范围是 1)( axxf), 1 x

10、xa1ln), 1 xxxxg1ln)()11 (111)(2xxxxxg1x0)( xg1) 1 ()(min gxg 1 ,(活动一 初步运用例3 已知函数 求f(x)的最小值；若对所有x1都有f(x)ax-1，求实数a的取值范围xxxfln)(0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动二 对比提升例4 已知函数 （1）当a=0时，求f（x）在区间 上的最大值和最小值； 21ln ,22f xaxx g xf xax aR1,ee详解：（1）函数 的定义域为 ，当a=0时， ，当 时，有 ；当 时，有 ，f（x）在区间 ，1上是增函数，在1，e上为减函数，又

11、 ， ， ， .21( )()ln2f xaxx(0,)21( )ln2f xxx 211(1)(1)( )xxxf xxxxx 11 xe( )0fxex 1( )0fx1e211( )12fee 2( )12ef e 1(1),2f 2min( )( ) 12efxf e max1( )(1)2fxf 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测（2） ，则g（x）的定义域为若 ，令g(x)=0，得极值点x1=1， ，当x2x1=1，即 时，在（0,1）上有g(x)0 ，在（1，x2 ）上有g(x)0，在（x2，+）上有g(x)0 ，此时g(x)在区间（x2，+）

12、上是增函数，并且在该区间上有 不合题意；当x2x1=1 ，即a1时，同理可知， g(x)在区间（1，+）上，有 也不合题意；21( )( )2()2ln2g xf xaxaxaxx(0,)21(21)21(1)(21)1( )(21)2axaxxaxg xaxaxxx12a 2121xa112a),),()(2xgxg( )( (1),),g xg活动二 对比提升例4 已知函数 （2）若对 恒成立，求a的取值范围 21ln ,22f xaxx g xf xax aR 1,0 xg x 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测若 ，则有2a-10，此时在区间（1，+

13、）上恒有g(x)0 ，从g(x在区间（1，+）上是减函数；要使g(x)0在此区间上恒成)立，只须满足 ，由此求得a的范围是 .综合可知，当 时，对 恒成立.12a 1(1)02ga 12a 1 1, 2 21 1,2 2a 1,0 xg x 活动二 对比提升例4 已知函数 （2）若对 恒成立，求a的取值范围 21ln ,22f xaxx g xf xax aR 1,0 xg x 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测点拨：恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，常用分类讨论（求最值）法或分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是

14、一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是x的表达式.0 0知识梳理知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测数学知识：一、最值的存在性定理二、最值的求解步骤一般地，求函数f（x）在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：求f（x）在（a，b）内的极值；将f（x）的各极值与端点处的函数值f（a） 、f（b） 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f（x）在a，b上的最值0 0知识梳理三、函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式 在定义域内恒成立（2）不等式 在定义域内恒成立（3）不等式

15、 恒成立， 则等价于 恒成立0)(xf0)(minxf0)(maxxf0)(xf( )( )( , )f xg xxa b，( )( )( )0( , )F xf xg xxa b，数学思想：数学思想：分类讨论、化归与转化等思想知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测0 0重难点突破知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测求函数最值的注意点（1）我们讨论的函数是在闭区间a，b上图像连续不断，在开区间（a，b）上可导的函数在闭区间a，b上图像连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间（a，b）上可导，才能用导数求解（2）求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值因此，函数的极大值和极小值的判定是关键（3）如果仅仅是求最值，可以将上面的方法简化，因为函数f（x）在（a，b）内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只要将这些可疑点求出来，然后将函数f（x）在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到函数的最大值和最小值（4）当图像连续不断的函数f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处函数 有极大（小