第一章随机事件与概率

1、第一章随机事件与概率第一章第一章 随机事件与概随机事件与概率率第一章随机事件与概率11随机事件两类现象：确定现象: 抛一石块,观察结局; 导体通电,考察温度; 异性电菏放置一起,观察其关系偶然现象（随机现象）某人射击一次,考察命中情况; 某人射击一次,考察命中环数; 掷一枚硬币,观察向上的面; 从一批产品中抽取一件,考察其 质量;第一章随机事件与概率随机现象随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一试验或观察时，其各种结果会表

2、现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。 概率论与数理统计的研究对象概率论与数理统计的研究对象 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。一.试验；对自然现象的一次观察或一次科学试验第一章随机事件与概率随机试验（简称试验）： （1）在不变的一组条件下，可以重复进行多次；（重复性） （2）各种试验结果不一定相同，而且试验前不能准 确的预先判断哪一种结果发生；（随机性） （3）所有可能的结果预先可以明确的。（明确性）二.随机事件概念随机事件（偶然事件）：随机事件总有多种可能的结果，我们将随机试验E的每一个可能出现的结果，称为随机事件，简

3、称事件。常用A、B、C表示。 第一章随机事件与概率基本事件：不能分解为其它事件的组合。复合事件：由基本事件组合而成的事件。必然事件：每次试验必然出现的事件。偶然事件：每次试验必然不出现的事件。为全体称为样本空间，记验的所有样本点的样本空间：一个随机试记为样本点：即基本事件，样本空间与事件三,.21第一章随机事件与概率例1.随机试验E：10件产品8件正品2件次品，无放回的的任一抽取两件，一次取一件，观察正品、次品出现的情况，写出其样本空间及其样本点；若一次取两件结果又如何？ 143214321，样本空间为：（次，次），（次，正），（正，次），（正，正），样本点为：）若一次取一件无放回解：（232

4、1321，样本空间为：（次，次），（正，次），（正，正），样本点为：）若一次取两件（第一章随机事件与概率例2.一次掷两颗骰子，（1）观察两颗骰子出现的点子搭配情况，写出样本点及样本空间；（2）若观察两颗点子数之和，写出样本点及样本空间。662616622212612111136213632311287621，样本空间为：），（，），（），（），（，），（），（），（，），（），（）样本点：解：（1232211211121，样本空间为：，）样本点为：（第一章随机事件与概率课堂练习：写出下列各随机事件的样本空间：（1）记录一个小班数学考试的平均分数； （2）10只产品有3只次品，每次从中取1只（不

5、放 回抽样）直到把3只次品都取出，记录抽取的次数； （3）10只产品有3只次品，每次从中取1只（有放回抽样）直到把3只次品都取出，记录抽取的次数； （4）生产产品直到10件正品，记录生产产品的次数； （5）一个小组有A、B、C、D、E5人，要选正、副组长各一人（一个人不能兼二职），观察选举结果；（6）甲乙二人下棋一局，观察棋局结果；第一章随机事件与概率四.事件的关系及其运算引例在检验一批圆柱形产品时，需要产品的长度和直径都合格才算合格，于是考察以下事件：“产品合格”，“产品不合格”，“长度合格”，“长度不合格”，“直径合格”，“直径不合格”，“长度合格而直径不合格”，“长度不合格而直径合格”的

6、事件是事件的样本空间为设随机试验) , 2 , 1(,Ek，k (1)ABABABBA ABBA 包含关系：如果事件 发生必然导致 发生即属于 的每一个样本点一定属于 ，则称事件包含与事件 ，或称事件 包含事件 ，记为或显然有“产品不合格” “长度不合格”AB第一章随机事件与概率事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。记号记号 概率论概率论 集合论集合论 样本空间,必然事件 空间,全集 不可能事件 空集 样本点 元素A 事件 集合AA的对立事件(逆事件) A的余(补)集第一章随机事件与概率例5.设A、B、C为三个随机事件，试用事件的运算表示下列事件：1）A、B、C

7、中至少有一个发生；2）A、B、C都发生3）只有事件A发生；4）A、B都发生，C不发生；5）A、B、C中恰有一个发生；6）A、B、C都不发生；7）A、B、C不都发生；8）A、B、C中恰有两个事件发生；9）A、B、C中至少有两个事件发生；10）不多于一个事件发生；11）不多于两个事件发生；，），）解：ABCCBA)7,CBACBA6)C,BACBACBA)5,C)4,CBACBA)3ABC2CB1第一章随机事件与概率ABABABABBABAAA)-(BABA6ABBA：证明：例AABB例7：书P29习题1第5题、第6题第一章随机事件与概率1.设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销， 则A的对立事件为

8、（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销。2.设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|,B=x-a(0） A=x20，B=x20 A=x22，B=x19课堂练课堂练习习A与与B对立对立A与与B互斥互斥BA第一章随机事件与概率例7.某医院有8名医生7名护士，星期日选3人值班。（1）有多少种不同的选法；（2）其中至少有一名医生的选法有多少种；（3）其中至少有一名医生一名护士的选法有多少种。 个球的分法总数。个箱子恰好放）第法总数；（个箱子不空的分）第法总数；（个箱子最多放一球的分）每总数；

9、（个箱子各放一球的分法）任意法总数；（个箱子各放一球的分指定的）所有的分法总数；求：（间中（箱子）等可能放入任意一个房其中每个人（每个球）个箱子中个房间（个球）随意放入个人（设有题）分房问题（放球入箱问例不能为）解：（)(654321)N. 8)()3(,)2(,1113181717282718073817282718315nkkiinnNnnCCCCCCCCCCCCCC第一章随机事件与概率例：从3个电阻，4个电感，5个电容，取出9个元件，问其中有2个电阻，3个电感 ，4个电容的取法有多少种？453423CCC解：例：五双不号的鞋，从中任取4只，取出的4只都不配对（即不成双）求（1）排列数；（

10、2）组合数。1212121245141618110CCCCCCCCC组合数：解：排列数：第一章随机事件与概率1.2 随机事件的概率随机事件的概率一一.概率和频率（概率的统计定义）概率和频率（概率的统计定义）概率：概率： P8定义定义1.1。)()P,AAA3)(0APA2)(1P1P9)(limA(PP9)(A: )()()(21可列可加性（有，相容的事件）对任意可列个两两不（非负性；）（，有）对任意事件（规范性；）（）（概率的性质为书），满足的性质书的次数。在多次重复试验中发生事件频率：iiiinnnnnnnAPAAfAfArnArAf第一章随机事件与概率P102 . 1.：书定义概率的公理

11、化定义二)()()()4(;P(A)1)AP()3(P(B)P(A)B)P(A,AB)()A(P,21P1P11)P10. .1121ABPApBAPAPniinini有特别地若两两互不相容，则有，）若（；）（）（书概率测度的其他性质（三A AB B第一章随机事件与概率例1.书P11例1.10，例2.书P12例1.11，）（互不相容，计算与设事件例BAPBA3.1P-1ABP-1ABPBAP）（）（）（）（解：的大小。，）（，比较概率的概率都大于与设事件例)()(),()(AP0BA4.BPAPBAPABP）（）（）（）（）（解：BPAPBAPAPABP第一章随机事件与概率例7.一个电路上装有

12、甲、乙两根保险丝，当电流强度超过一定值时，甲烧断的概率为0.82，以烧断的概率为0.74，两根同时烧断的概率为0.63，问至少有一根保险丝烧断的概率是多少？93. 0)()()()(63. 0)(74. 0)(82. 0)(BAABPBPAPBAPABPBPAP则有险丝烧断，分别表示甲、乙两根保、解：设第一章随机事件与概率., 2 , 1,1)P)(P)P)P21in2121ninnn（于是有：的概率相同每个基本事件（）（个样本点）（有，）（数学表述为：1.3古典概型与几何概型古典概型与几何概型一一.古典概型古典概型 古典概型即为满足以下两个假设条件的概率模型：（1）随机试验只有有限个可能的结

13、果；（2）每一个可能结果发生的机会相同。第一章随机事件与概率例3.一学生宿舍有6名学生，问（1）六人生日都在星期天的概率是多少？（2）6个人的生日都不在星期天的概率是多少？（3）六个人的生日不都在星期天的概率是多少？66666671-1BP-1BP)3(76)(,6)2(71)(, 11.7,7）（）（）（件，所以都在星期天”是对立事生日星期天”与“六个人的“六个人的生日不都在）（件总数为：等可能的，于是基本事且是天中的任何一天可在解：应为每个人的生日nmBPmnmAPmnBBAA第一章随机事件与概率21312221312224)(42)(,2,4nCCnmBPnmAPCCmmBABA答案：例

14、4.书P14例1.14课堂练习：书P30习题15课堂练习：书P30习题20！）（答案：132223AP第一章随机事件与概率例5.从5双不同的手套中，任取4只，求4只都不配对的概率。410121212124512121245410410141618110141618110410C)(,C,4102)(,4101CCCCCAPCCCCmnPCCCCAPCCCCmPnAA行组合四只进只手套任取：样本空间视为将解法行排列四只进只手套任取：样本空间视为将解法第一章随机事件与概率例6.盒中有10只晶体管，其中有3只是次品，又放回（无放回）地从中任取1只，试求下列事件的概率：（1）取到的两只都是正品；（2）

15、取到的两只，一只是正品，一只是次品；（3）取到的两只至少有一只次品。332217131317222221713131722221071)(1)(1)(1051)(513)3(1031071)B(1)(1042)(,42)2(107)(,7) 1 ( ,10APCPCPCPCCCCmPBPBPCCCCmAPmnCBA或或解：有放回：第一章随机事件与概率的几何度量为事件量）为样本空间的几何度（其中的概率模型。立体的等可能随机试验间线段、一平面区域或空何概型是样本空间是一可能结果的概型。几古典概型是关于有限等几何概型二A)(A)()()(.ASSASAPA第一章随机事件与概率例7.书P16例1.16

16、例8.书P17例1.17第一章随机事件与概率1.4条件概率一.引入条件概率的例子 P17例1.18)()(120050012002550025)(APABPABPA AB B第一章随机事件与概率例1.掷骰子一次（1）求出现点数为2的概率；（2）如果已知出现的点数是偶数，求其恰好出现2的概率。直接法）（：解法公式法）（）（在原样本空间中）（，）（：）解法（）（）（：出现的点数为：出现的点数为偶数解：(31ABP2(316361P(A)ABPABP61ABP63AP1261BP12BAAABmm第一章随机事件与概率1.19P192.P191.3P18.例书例公理条件概率同样满足三条书定义书条件概率

17、的数学定义二例3.一盒中有4只次品晶体管和6只正品晶体管，在其中任取两只，每次取一只做不放回抽样，发现第一只是正品的条件下，求第二只也是正品的概率。95P(A)()(3191056)(106AP21iA1)2112211iAAPAAPAAPi，）（法一：，只是正品，：第解：第一章随机事件与概率例4.掷两枚硬币，已发现一枚是正面的条件下，求至少有一枚是反面的概率。32)(BA1AABmmABPBA反，正）正，反），反，正）正，反），正，正），反，反）反，正），正，反），正，正），为反面表示至少有一枚，表示至少有一枚为正面设的方法：直接用缩减样本空间解：法第一章随机事件与概率324342APABP

18、ABP42ABP43AP2）（）（）（）（，）（：用公式法例5.某仪器使用寿命为20年的概率为0.8，而使用寿命为25年的概率为0.4，问现在已使用20年，再能用5年的概率是多少？ 第一章随机事件与概率例6.书P20例1.20例7.书P20例1.21例8.一批零件共100件，次品率为10，每次从中任取一个零件不再放回，求（1）第一次取得次品且第二次取得正品的概率；（2）第三次才取得正品的概率999010010)AA(P)AP)AA(P9990)AA(P10010)AP) 1 (3 , 2 , 1A12121121（次取得次品，：第解：设iii第一章随机事件与概率例9.一盒中有4只次品晶体管，6

19、只正品晶体管，逐个抽取进行测试，测试后不放回，直到4只次品晶体管都找到为止，求第4只次品晶体管在（1）第5次测试时发现的概率；（2）第10次测试时发现的概率。）（）（）（）（）（次为次品：第次为次品次有：前）解：（ABPAPABPCCABPCCCAP5B34A116114101634第一章随机事件与概率9106634CCCCP39C)2(）（只次品晶体管次抽到：前四.全概公式(先验概率公式） 引例：10个考签中有4个难签，甲乙两人抽签，甲先抽乙次，求乙抽到难签的概率。第一章随机事件与概率)()APBP), 2 , 1(0)(,AAA121iniiinABPniAP（）（则有的一个完备事件组是样

20、本空间，设全概率公式：例10.书P21例1.22例11.书P21例1.23第一章随机事件与概率.B)()(BAABB21就迎刃而解了的概率，则计算。如果这两点分析清楚、还需求出发生的“因素”；其次导致事件。将它们看成是，直接影响的完备事件组的发生有确定一个对事件的概率时，我们首先要件计算一个比较复杂的事注意：应用全概率公式iiABPAP例12.某地为a号病多发区，该地共分南、北、中三个行政小区，其人口比为9：7：4， a号病在该地三个小区内的发病率依次为0.0004，0.0002，0.0005，求该地区a号病的发病率。第一章随机事件与概率例13.城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，

21、其余均为正品。某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客在剩下的8台中任意选购一台，求该顾客购到正品的概率。台正品）因为已售出台中任选一台是正品表示剩下的备事件组构成一个完、则（台次品表示已售出的两台中有解：设iCCPBiCCCAPiiiiiiii2()AB(8)2 , 1 , 0()(AAA),2 , 1 , 0A181)2(7210273210第一章随机事件与概率)()()(20iiiABPAPBP例14.每项产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中一次抽取两件（不重复），如果发现有次品，则认为该箱产品不合格而拒收，计算一箱 产品通过验收的概率。第一章随机事件与概率五.贝叶斯

22、（Bayes)公式 在全概率公式引例中若现在已经知道乙抽到的是难签 ，求甲抽到的也是难签的概率？)()()()()()()B(P)AB(P)BA(P)BA(PABPAPABPAPABPAP和全概率公式，有法公式，由条件概率公式、乘即求第一章随机事件与概率n1ijjjn21)()AP)()AP)BA(P), 2 , 1)(),AP,BAAAiiiiABPABPniABP（则（已知零的事件是一概率大于是一完备事件组，设公式）贝叶斯公式（后验概率例15.例12中已知任取一人患有a号病，求他是来自南行政区的概率。第一章随机事件与概率514. 0)()()()()P31111iiiABPAPABPAPB

23、A（解：即求例16.设有四台机器编号甲、乙、丙、丁，共同生产数量很多的一大批产品，已知各机器生产产品的数量之比为7：6：4：3，各台机器产品的合格率依次为90， 95， 85， 80。现从这批产品中 查出一件不合格，是判断它产自哪台机器的可能性最大？第一章随机事件与概率可能性最大的个不合格品产自机器甲由计算看出，取到的一）（）（）（同理226BAP226BAP223BAP227432例17.书P24例1.25 第一章随机事件与概率例19.老师在出考题时，平时练习过的题目占60%，学生答卷时，平时练习过的题目在考试中答对的的概率为95%，平时没有练习过的题目在考试中答对的概率为5%，求（1）考生

24、在考试中答对题目的概率；（2）若考生将该题答对了，那么这题时平时没有练习过的概率.第一章随机事件与概率1.5事件的独立性一.两个事件的独立性引例：10件产品中有2件次品，从中连续取两件，一次取一件 ，A：第一次取到的产品为合格品 B：第二次取到的产品为合格品）（）（无放回抽样：立于独），则（）（正品毫不相干，即到正品与第一次取到有放回抽样：第二次取BPABP)2(ABBPABP) 1 (第一章随机事件与概率4 . 1P25BPAPABPABPAPABPBPABP0,BP, 0APABPAPABP定义所以有定义书）（）（）（）（）（）（）时（）（）（）（当）（）（）（由于例1.书P25例1.26

25、 第一章随机事件与概率)APAP)AP1)AAAPAAA)3(;BABABABA(2)P(A)P(B);P(AB)0BP0APBA) 1.n21n21n 21（）（相互独立，则有，个事件如果独立也相互与，与，与相互独立，则、若）（，）（相互独立，、（相互独立性的性质三n注：事件的独立性往往由实际情况自然判定注：事件的独立性往往由实际情况自然判定第一章随机事件与概率例2.书P26例1.27例3.书P32习题33 41ABCP42CP42BP42AP41ABP,:CBA）（）（）（）（）（则有黑色掷到：掷到白色，：掷到红三色，解：第一章随机事件与概率不独立、相互独立、CBACPBPAPABCPBA

26、BPAPABP)()()()()()()(例4.某科研项目由三个小组独立进行研究，三个小组成功完成该项目的研究的概率分别为0.25，0.3，0.4，求该项目研究成功的概率。）（）（）（）（相互独立、且）（）（）（则研究成功分别表示三个小组各自、解：321321321321321APAPAP-1AAAPAAA0.4AP0.3AP0.25APAAA第一章随机事件与概率例5.甲、乙、丙独立地向同一飞机射击，飞机被他们击中的概率分别为0.4，0.5，0.7，求1）飞机被击中的概率；（2）已知丙没有击中飞机的条件下，飞机被击中的概率。22244321432143214321432143214321432

27、143214321)1 (C24APAPAPAPAAAAPAAAAPAAAAP6AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA24AP,4 , 3 , 2 , 1A43210pppiiii次正面的概率为次恰好掷出即）（）（）（）（）（）（）（种，且共、次正面的可能情况为：次恰好掷出）（则次正面出现表示第、能是解：正面出现的次数可第一章随机事件与概率四.贝努利概型引例.掷硬币一次，正面出现的概率为1/2，问连续掷4次硬币，正面出现几次？22244321432143214321432143214321432143214321)1 (C24APAPAPAPAAAAPAAAAPAAAAP6AAAAA

28、AAAAAAAAAAAAAAAAAAA24AP,4 , 3 , 2 , 1Apppiiii次正面的概率为次恰好掷出即）（）（）（）（）（）（）（种，且共、次正面的可能情况为：次恰好掷出）（则次正面出现表示第解：第一章随机事件与概率例6.某人看管10台同样类型的机器，依实践经验知一台机器出故障的概率为0.06，求；（1）恰有两台机器出故障的概率；（2）至少有两台机器出故障的概率。书P28定理1.4 pqpkgkk 1),(A概率为次实验中才首次发生的在事件第一章随机事件与概率例7.书P28例1.28例8.书P28例1.291176. 0)06. 0 ,10; 1 ()06. 0 ,10; 0(1

29、)06. 0 ,10;10()06. 0 ,10; 3()06. 0 ,10; 2()06. 0 ,10;(209875. 0)06. 0 ,10; 2() 1 (94. 0,06. 0,10101022102210bbbbbkbqpCbqpnk概率为）至少有两台出故障的（率为恰好有两台出故障的概重贝努利概型，即解：本题为第一章随机事件与概率例9.某类电灯泡使用时数在1000小时的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。104. 0)2 . 0()8 . 0()2 . 0()8 . 0()8 . 0 , 3 ; 1 ()8 . 0 , 3 ; 0(10002 . 08 . 010003321133003CCbbqpn率为小时最多有一个坏的概使用小时损坏关注的事件是：使用重贝努利概型，解：第一章随机事件与