函数图象与性质的综合应用(一)

1、一、教学内容 函数图象与性质的综合应用一二、学习指导 1函数性质是函数的重点内容，它包括函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性，函数图象是研究函数性质的直观工具，函数问题已成为高考永恒的热点、重点考查的内容之一，在选择题、填空题和解答题三种题型中每年都有试题.主要考查的内容有函数、反函数的概念及性质，函数的图象及变换和以根本初等函数出现的综合题及应用题等，同时考查根本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，表达了课改的方向.2理解映射、一一映射、函数、反函数的有关概念及其联系.映射是一种多对一和一对一的对应，函数是一个特殊的映射，只有当确定函数的映射是一一映射时，

2、函数才具有反函数，反函数的定义域、值域是原函数的值域和定义域，且有fabf1ba.3掌握根本初等函数的图象，能熟练地运用函数图象的平移、对称、伸缩等变换画函数的图象，会自觉运用图象研究函数的性质如定义域、值域、蛋调性、奇偶性等，讨论方程的解的个数及解不等式等.三、典型例题【例1】 2005年湖南设P是ABC内任意一点，SABC表示ABC的面积，1，2，3，定义fp1，2，3.假设G是ABC的重心，fQ，那么 A A点Q在GAB内 B点Q在GBC内 C点Q在GCA内 D点Q与G重合【解析】 利用特殊值法，假设ABC是边长为1的正三角形，易判断点Q在GAB内.【评析】 此题考查了映射的定义及运用“

3、新定义分析、解决问题的能力.在正确理解“新定义的根底上，通过特殊三角形，运用筛选法求解.变式题 由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4，定义映射fa1，a2，a3，a4b1+b2+b3+b4，那么f4，3，2，1 A10 B7 C1 D0【例2】2005年天津设f1x是函数fxaxaxa1的反函数，那么使f1x1成立的x的取值范围为 A A，+ B， C，a Da，+【分析】 思路一：先求f1x，再解不等式f1x1.思路二：利用反函数的定义，转化为求fxx1的值域.解法一：先求得f1xlogax+a1，由f1x1得lo

4、gax+logaa，x+a，解得x.解法二：a1，fxaxax为增函数，根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，由f1x1，即在x1的条件下求fx的值域.fxf1aa1.【评析】 此题考查反函数的概念以及解不等式的能力.解法二巧妙地利用函数与反函数定义域、值域的关系，以及函数的单调性，起到了事半功倍的效果.变式题 设f1x是函数fx的反函数，那么以下不等式中恒成立的是 Af1x 2x1 Bf1x 2x+1Cf1x 2x1 Df1x 2x+1【例3】2005年湖北函数yelnxx1的图象大致是 D 图121【解析】 法一：当x1时，y1，根据图象排除C，取x时，y1，排除A，B，应选D.法二：

5、由得y= 结合图象选D.【评析】 处理选图问题，通常有两种方法：方法一是采用选特殊点或利用函数性质排除，方法二直接作函数的图象.变式题 2005年辽宁一给定函数yfx的图象在以下图中，并且对任意an0，1，由关系式an+1fan得到的数列an满足an+1annN*，那么该函数的图象是 A B C D 图122【例4】 2005年上海对定义域分别是Df，Dg的函数yfx，ygx.规定：函数hx1假设函数fx，gxx2，写出函数hx的解析式；2求问题1中函数hx的值域；3假设gxfx+，其中是常数，且0，请设计一个定义域为R的函数yfx及一个的值，使得hxcos4x，并予以证明.h(x)=【分析】

6、 先仔细审题，理解题意.其中12问写出hx的解析式是关键，第3问联想相关三角函数求解.【解】 1由得2当x1时，hxx1+2假设x1，那么hx4，其中等号当x2时成立.假设x1，那么hx0，其中等号当x0时成立.函数hx的值域是，014，+解法一：令fx= sin2x+ cos2x，那么gx= fx+= sin2x+ cos2x+= cos2x sin2x于是解法二：令fx1+sin2x，那么gxfx+1+sin2x+1sin2x，于是hxfxfx+1+sin2x1sin2x12sin22xcos4x.【评析】 此题主要考查分段函数、三角函数、函数的值域等根底知识，以及运用构造法解题的能力.解

7、此题的关键是要准确得出函数的解析式.*【例5】 2005年全国函数fx，x0，1.1求fx的单调区间和值域；2设a1，函数gxx33a2x2a，x，假设对于任意x10，1，总存在x00，1，使得gx0fx1成立，求a的取值范围.【解】 1对函数fx求导，得fx 令fx0，解得x或x舍去当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x00，11fx0+ fx43所以，当x0，时，fx是减函数；当x，1时，fx是增函数.当x，1时，fx的值域为4，3.2对函数gx求导，得gx3x2a2.因为a1，当x0，1时，gx31a20.因此当x0，1时，gx为减函数，从而当x0，1时，有gxg1，g0.又g112

8、a3a2，g02a，即当x0，1时，有gx12a3a2，2 a.任给x10，1，fx14，3，存在x00，1使得gx0fx1，那么12a3a2，2 a4，3即 解式得a1或a，解式得a. 又a1，故a的取值范围为1a.【评析】 此题主要考查函数的性质、导数、不等式等根底知识，考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力.运用导数求值域的一般步骤是：求导，令导数等于0，求y0的根，求出最值点，写出范围值域.方法技巧提炼1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原那么.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，防止忽略实际意义对定义域的影响.2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3对于含参数的函数，研究其性