线面垂直的判定和性质定理(习题课)

1、线面垂直的判定和性质定理（习题课）A 组 1 C 2 B 3 D 4 D 5 C 6 7 8 a 或 2a9 (2) d=10 (2) V = V3(3)乎4 33B组 1 D 2 3 (2) -3- (3)万A 组 基础训练一、选择题1 .已知平面a与平面B相交，直线m a,则（）A. B内必存在直线与 m平行，且存在直线与 m垂直B. B内不一定存在直线与 m平行，不一定存在直线与 m垂直C. B内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D. B内必存在直线与 m平行，不一定存在直线与 m垂直【解析】如图，在平面B内的直线若与 内B的交线a平行，则有m与之垂直.但却不一定在B内有与m平

2、行的直线，只有当a，B时才存在.【答案】C2已知两个平面垂直，下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是()A 3B 2C 1D 0【解析】根据面面垂直的性质定理知，命题 正确；两平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题 正确， 命题 错误【答案】B3. (2013广东高考)设m, n是两条不同的直线，a, 0是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若社机 m? a

3、, n? B ,则 mXnB.若 a/ 机 m? a , n? 0 ,则 m / nC.若 mn, m? a , n? B ,则 a, BD.若 m，% m / n, n / B ,则 0【解析】 如图，在长方体ABCD AiBiCiDi中，平面BCCiBi,平面ABCD, BCi?平面BCC1B1, BC?平面ABCD,而BCi不垂直于BC,故A错误.平面 AiBiCiDi/平面 ABCD, BiDi?平面 AiBiCiDi, AC?平面 ABCD,但 BiDi和AC不平行，故B 错误AB AiDi, AB?平面 ABCD, AiDi?平面 AiBiCiDi,但平面 AiBiCiDi/平 面

4、ABCD,故C错误.故选D.7 5 104. （2014大连模拟）如图7 510,四棱锥S ABCD的底面为正方形，SD，底面ABCD,则下列结论中不正确的是（）A. ACXSBB. AB/平面 SCDC. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【解析】:四边形ABCD是正方形，；AC，BD.又SD，底面 ABCD, . .SDIAC.其中SDH BD = D,.AC，面SDB,从而ACSB.故A正确；易知B正确;设AC与DB交于O点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为/ ASO, SC与平面 SBD所成的角为 /CSO,又 OA

5、=OC, SA= SC,SO= / CSO.故 C 正确;D.【答案】D5. （2014郑州模拟）设m, n是不同的直线，a, B是不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若m/a,np,min,则0B.若m/a,np,ml. n,则all0C.若m/a,np,mi/ n,则apD,若m/a,np,mil n,则all0【解析】C中，当m / a, m /n时，有n / a或n? a,当n, 0时，有a &故 C 正确【答案】C二、填空题图 7 5 136 .如图 7511,在三棱锥 D ABC 中，若 AB = CB, AD = CD, E 是 AC的中点，则下列命题中正确的有（填序号）平面A

6、BC，平面ABD;平面ABD，平面BCD;平面ABC，平面BDE,且平面 ACD，平面BDE;平面ABC，平面ACD,且平面ACD，平面BDE.【解析】 由AB=CB,AD = CD知AC，DE,AC，BE,从而AC，平面BDE,故 正确【答案】7 .如图7512,在直角梯形 ABCD中，BCXDC, AEXDC, M, N分别是 AD ， BE 的中点，将三角形ADE 沿 AE 折起，下列说法正确的是（填上所有正确的序号）不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN /平面DEC;不论D折至何位置都有 MNXAE;不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN / AB.【解析】取AE的中点F

7、,连接MF, NF,则MF/DE, NF /AB/CE,从而平面MFN /平面DEC,故MN /平面DEC,正确；又AEMF, AEXNF,所以AEL平面MFN,从而 AEXMN,正确；又 MN 与 AB 是异面直线，则 错误【答案】8 .如图75 13,在直三棱柱 ABCAiBiCi中，底面是/ABC为直角的等 腰直角三角形，AC=2a, BBi = 3a, D是A1C1的中点，点F在线段AAi上，当 AF =P寸，CF，平面 BiDF.【解析】BiD，平面 AiACCi,CFBiD, .为了使 CF，平面 BiDF,只要使 CFLDF（或 CFXBiF）,设 AF = x, WJ CD2=

8、DF2+FC2, . x2-3ax+2a2 =0, -x= a x=2a.【答案】a或2a解答题图 7 5149 . （2013江西高考）如图7514,直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AB/ CD, ADXAB, AB = 2, AD = V2, AAi = 3, E 为 CD 上一点，DE=1, EC= 3.证明：BE,平面BBiCiC;求点Bi到平面EAiCi的距离.【解】（1）证明 过点B作CD的垂线交CD于点F,则BF=AD = V2, EF = ABDE=1, FC = 2.在 Rt9FE 中，BE=43.在 RtBFB 中，BC = &.在4BEC 中，因为 BE2+ BC

9、2=9=EC2,故 BEBC.由 BBi,平面 ABCD,得 BEXBBi,所以BE,平面BBiCiC.1连接BiE,则三棱锥 E AiBiCi的体积V= ,AAi SaiBiCi = &.3在 Rt9iDiCi 中，AiCi=qAiD2+DiC2=3V2.同理，ECi = qEC2+CC2 =3也，AiE ; AiA2+AD2+DE2 =2*,故 S必CiE=3.5.设点Bi到平面EAiCi的距离为d,则三棱锥Bi EAiCi的体积i 一V二,dS 正AiCi = V5d, 3i05图 7 5i510 . （20i4青岛模拟）在如图7 5i5所示的多面体 ABCDE中，ABL平面ACD, D

10、E，平面 ACD,且 AC = AD= CD = DE = 2, AB=1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF/平面ACD,并证明 这一事实；(2)求多面体ABCDE的体积；(3)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值.【解】(1)如图，由已知 AB，平面ACD, DE，平面ACD,. AB/ED,设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，1 .连接FH,则FH 沟ED,. FH AB,一四边形ABFH是平行四边形，.BF/AH,由BF?平面ACD内，AH?平面ACD,BF/平面 ACD;取AD中点G,连接CG.ABL平面 ACD, .CGIAB又CGAD,.CG，平面ABE

11、D,即CG为四棱锥的高,“二、，1 (1+2)八仁仁CG =3, .,.VC-ABED = - :22个3 =3.32(3)连接EG,由(2)有CG，平面ABED,zCEG即为直线CE与平面ABED所成的角.CG 36在 RtBEG 中，sin/CEGMCE：.B组能力提升1.如图 7 516 所示，四边形 ABCD 中，AD/BC, AD = AB, / BCD = 45 , /BAD = 90 .将4ADB沿BD折起，使平面 ABD，平面BCD,构成三棱 锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()图 7 516A. AD，平面 BCD B. AB，平面 BCDC,平面BCD，平

12、面 ABC D,平面ADS平面 ABC【解析】 在四边形 ABCD 中，AD/BC, AD = AB, /BCD=45 , EAD=900 , BDXCD,又平面ABD，平面BCD,且平面 ABD n平面BCD = BD, CD，平面 ABD, ,CDIAB,又ADLAB,故AB,平面ADC,从而平面 ABC,平面ADC.【答案】 D图 7 5172 .如图7517所示，PAL圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：AFPB; EFPB;AFLBC;AEL平面 PBC.其中正确结论的序号是 .【解析】 由题意知PAL平面ABC,

13、 ；PA，BC,又 ACBC, PAAAC = A,BC，平面 PAC. BCXAF. VAFXPC, BCAPC = C,. AFL平面 PBC, . AFXPB, AFXBC.又 AEPB, AEAAF = A,.PB，平面 AEF.PBEF.故正确.【答案】图 7 5183 . (2013浙江高考)如图7518,在四棱锥P-ABCD中，PA，平面ABCD, AB=BC = 2, AD=CD = g, PA=/3, /ABC=120 , G 为线段 PC 上的点.(1)证明：BD,平面APC;(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；PG -(3)若G满足PC,平面BGD,求左的值.GC【解】(1)证明 设点。为AC, BD的交点.由AB=BC, AD = CD,得BD是线段AC的中垂线，所以。为AC的中点,BDXAC.又因为PA，平面ABCD, BD?平面ABCD,所以PAXBD.所以BD，平面APC.(2)连接OG.由可知，OD，平面