自考-线性代数 第一章行列式

1、教材教材：线性代数线性代数（经管类）（经管类）课程代码：课程代码：4184刘吉佑刘吉佑 徐诚浩徐诚浩 主编主编武汉大学出版社武汉大学出版社题型 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共10小题，每小小题，每小题题2分，共分，共20分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共10小题，每小题小题，每小题2分，分，共共20分）分） 三、计算题三、计算题 （本大题共（本大题共6小题，每小题小题，每小题9分，分，共共54分）分） 四、证明题四、证明题 （本大题共（本大题共1小题，小题，6分）分）第一章第一章 行列式行列式1.1 行列式的定义行列式的定义从最简单的二元线性方程组出发，探从最

2、简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式. .【例【例1】二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 求解公式为求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 1221221112

3、21221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.其求解公式为其求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 引进新的符号来表示引进新的符号来表示“四个数分四

4、个数分成两对相乘再相减成两对相乘再相减”. .1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa记号记号 11122122aaaa数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中， 称为称为元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原则：横行竖列原则：横行竖列1.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式二阶行列式的计算二阶行列式的计算 1112212

5、2aaaa11221221a aa a主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积。即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积。 对角线法则对角线法则 二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa

6、 aD 【例【例2】 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 1212232121xxxx【解【解】 因为因为 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 【练习【练习1】 若 ，则k= 0211k21012211kk21k【解【解】【练习【练习2】 行列式 的值为_.03282972【解【解】229280327032829272【练习【练习3】 行列式 的值为_.3522【解【解】1625)3(23522-16三阶行列式三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则

7、：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231

8、a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号. .三阶行列式的规律三阶行列式的规律111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a规律：规律：1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项，即项，即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的

9、三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积12-4-221-34-2D 【例【例3】 计算行列式计算行列式 【解【解】 按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 方程左端方程左端【解【解】由由 得得2111230.49xx 【例【例4】 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或【练习【练习4】 计算行列式D= 的值243121312【解【解】5241211323341311222243121312【练习【练习5】 3阶行列式 _ 32

10、15306525【解【解】550322)5() 3(166021)5(53) 3(2321530652【练习【练习6】 3阶行列式 = _ 16111246416361.1.2 n 阶行列式阶行列式1. n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 思考题：思考题： 成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶

11、行列式，则若理解成一阶行列式，则 . .11 1 11 11 注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 所以必须写清楚，如一阶行列式所以必须写清楚，如一阶行列式|2| = 2，或者，或者D=|2| = 2。11 余子式与代数余子式余子式与代数余子式122331111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331

12、213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232123111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. .思考题思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？例如例如 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式 1ijijijAM ij

13、a在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . ijijMijaija结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. .【练习【练习7】 行列式 中 元素的 代数余子式 _1694432351) 3 , 2(32A111194511)(3232A【解【解】【练习【练习8】 3阶行列式 中元素 的代数余

14、子式 （ ） A2B1 C1D2211101110|ija12a12AB12111) 1(2112A【解【解】【练习【练习9】 设3阶行列式 的第2行元素分别为 对应的代数余子式分别为 ，则 _ 3D3, 2 , 11 , 2, 3 3D101)3()2(23) 1(2323222221213AaAaAaD10【练习【练习10】 已知3阶行列式 中元素 的代数余子式 ，求元素 的代 数余子式 的值4150231xx12a812A21a21A 由 ， 得 ， 所以【解【解】84450) 1(2112xxA2x5)38(4132) 1(1221A1.2 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与

15、三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 ijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414

16、244aaaaaaaaaa iijaija11212221200nnnnnaaaaDaaa 即有即有1111.Da M 又又 1 11111111,AMM 从而从而1111.Da A 下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,ija行列式按行（列）展开法则定理定理1.2.1（行列式展开定理）（行列式展开定理） 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 1112131112132122232

17、12223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa 111213212223212223212223313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111a A 1212a A 1313a A 212122222323a Aa Aa A313132323333a Aa Aa A同理可得同理可得111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 【例【例5 5】 计算行列式计算行列式142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112

18、122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 【解【解】112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a 14233341a a a a 12,11nnnaaDa

19、 1122nnaaDa 四个结论：四个结论：(1) (1) 对角行列式对角行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）nnaaa2211 计算3阶行列式112403211D【例【例6 6】【解【解】用对角线法】用对角线法3438614113)

20、1(20224) 1(13210111240321132543211122101243) 1(D3894402121121311401D用按行或按列展开法用按行或按列展开法按第一列展开得到按第一列展开得到按第二列展开得到按第二列展开得到33126031111211412032D按第三列展开得到按第三列展开得到3129121141221011213D3654120321243) 1(11401D用按行或按列展开法用按行或按列展开法按第一行展开得到按第一行展开得到按第二行展开得到按第二行展开得到3328031114321140212D按第三行展开得到按第三行展开得到 计算4阶行列式12013001

21、01121201D【例【例7 7】12)6226(121301121121301121) 1() 1(22【解【解】行列式的第二列只含有一个】行列式的第二列只含有一个非零元素非零元素a22=1，其他元素均为，其他元素均为0，按第二列展开计算量最小，得按第二列展开计算量最小，得1201300101121201D1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质与计算与计算1.3.1 1.3.1 行列式的性质行列式的性质111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . TDD若记若记 ，则，则 .det(), det()Tiji

22、jDaDb ijjiba 记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .性质性质2 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.

23、 . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 . .ki()iirk ck1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk 推论推论 行列式的某一行（列

24、）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 . .ki()iirk ck 计算3阶行列【例【例8 8】180)6(30)1542564(301211231525325215235523215631046552D【解【解】 计算3阶行列式00b0cbcaaD【例【例9 9】【解【解】在行列式】在行列式D中的每一行都提中的每一行都提出公因数（出公因数（1），并用行列式性），并用行列式性质质1，可以得到，可以得到DDcbcabacbcabaDT

25、000) 1(0003因为行列式因为行列式D是一个数，所以由是一个数，所以由D=D,可得可得D=0。性质性质3 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . DD 0D 备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .ji()ijijrr cc2122

26、23242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零 计算3阶行列式1042652521D【例【例1010】【解【解】因为行列式中第一行与第三】因为行列式中第一行与第三行成比例，所以行成比例，所以05)2(2)2(1)2(6525211042652521D性质性质5 若行列式的某一列（

27、行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如例如：121222221113212331332323aaDaaabababaa 则则111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pabaa 123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba1113111321232

28、12331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则1.DD 验证验证122211132123313323,aaDaaaaaaa 我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第

29、行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 . .ki().ijijrkr ckc j定理定理1.3.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即 11221,2,iiiiinina Aa Aa AD in 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 1122,0,niinijjjDija Aa Aa Aij 1122,0,

30、ijijinjnDija Aa Aa Aij 综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例. . 111213111112121313212223313233aaaa Aa Aa Aaaaaaa把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应

31、元素，则行的对应元素，则 0. 1.3.2 行列式的计算行列式的计算计算行列式常用方法计算行列式常用方法： （1）利用运算把行列式化为上三角形（或下三角利用运算把行列式化为上三角形（或下三角形）行列式，从而算得行列式的值形）行列式，从而算得行列式的值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值。通常是利用运算式的阶数降低，再求出它的值。通常是利用运算 在某一行或某一列产生很多个在某一行或某一列产生很多个0元素，再按包含元素，再按包含0最多的最多的行或列展开，以减少计算量。行或列展开，以减少计算量。ijrkr ijrk

32、r 【例【例11】2101044614753124025973313211 D1.3.2 行列式的计算行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值ijrkr 3 2101044614753124025973313211 D3 【解【解】2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 222002010

33、0140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例12 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 【解【解】 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 11(1

34、)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 【例【例13】 设设 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明 【证明【证明】1111110;kkkkkpDpppp对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 1Dijrkr 1D设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDq

35、qqp设为设为对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故计算计算4 4阶行列式阶行列式 11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1abcd 已已知知【例【例14】111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 【解【解】dddcccbbbaaaabcd1111111111112

36、222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 【例【例15】3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 5312017252023100414002350D 【例【例1616】计算行列式计算行列式【解【解】5312017252023100414002350D 2 5531202311204140235 23110 072066 7210 ( 2)66 20 ( 4212)1080. 2312 541423

37、5 53204140132021352152 31rr 21( 2)rr 例例1717 设设 , , 的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析 利用利用3521110513132413D D( , )i jijMijA11121314AAAA及及11213141.MMMM111213142122232411111212131314143132333441424344aaaaaaaaa Aa Aa Aa Aaaaaaaaa125202100 【解【解】111213141111105134311321AAAA 43rr 31rr 111111052

38、2021100 115222110 21cc 2502 4. 1521110513131413 105105113 43rr 1521110513130100 121105113 132rr 0. 1121344111213141MMMMAAAA 【证明【证明】 用数学归纳法用数学归纳法21211Dxx 21()ijijxx 【例【例1818】 证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (1)所以所以n=2时时(1)式成立式成立.21xx21311221331122222133

39、11111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：1x按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有1()ixx 213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式【练习【练习11】若 则行列式 =_, 3 , 2 ,

40、 1, 0ibaii332313322212312111bababababababababa0【解【解】根据】根据 性质性质4 行列式中如果行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式为零 【练习【练习12】 计算3阶行列式 767676545454323232【解【解】07600065400043200027670065450043230027676765454543232323221cccc【练习【练习13】【解【解】D【练习【练习14】C【解【解】9303334443332312322211312113331312321211311111Daaaa

41、aaaaaaaaaaaaaaD【练习【练习15】 已知3阶行列式 则 _2796364232333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2【解【解】2732323232323296364232333231232221131211333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2333231232221131211aaaaaaaaa【练习【练习16】 设行列式设行列式 =2， 则行列式则行列式 =（ ） A.12B.24 C.36 D.4833323123

42、2221131211aaaaaaaaa333231232221131211333222aaaaaaaaaA【练习【练习17】 设行列式设行列式 =3， 则行列式则行列式 =（ ） A.-18B.-12 C.12 D.18D111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233232323aaaaaaaaa【练习【练习18】 设行列式 =6， 则 =（ ） A12 B 18 C18 D12111213212223313233aaaaaaaaa111213313233213122322333333aaaaaaaaaaaaC【练习【练习19】 设A为3阶方阵， 且

43、 ，则 （ ） A4B1 C1D42121A | AD2121A【解【解】21|213A4|A【练习【练习20】 行列式 中第4行各元素的代数余子式之和为_.42350010111104030【解【解】0111100101111040344434241AAAA【练习【练习21】 计算行列式D=3512453312012034【解【解】48930212) 1(0930131302122341313111) 1(2342000113134111343021021335421533213D【练习【练习22】 设行列式 其第3行各元素的代数余子式之和为_.304222 ,532D 0【解【解】0111

44、222403333231AAA ( (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位, , 凡是对行成立的性质对列也同样成凡是对行成立的性质对列也同样成立立).). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)(1)利用定义利用定义;(2);(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值小结小结行列式的行列式的6 6个性质个性质1.4 克拉默法则二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baD

45、ab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa122123,. (2)nnDDDDxxxxDDDD其中其中 是把系数行列式是把系

46、数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的常列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjn111,11,111,1,11jjnjnn jn jnnnaaaaDaaaabb 那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式( (2) )给出给出. .这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . 应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论. .关于克拉默法则的等价命题定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零.