第一章逻辑代数基础-嘉应学院

1、第一章 逻辑代数基础一、常用的数制一、常用的数制 1. 十进制十进制：2. 二进制二进制：用用0，1的组合表示一个数，逢的组合表示一个数，逢二进一二进一 D= Ki2i例：例：1101.101B=1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 2-1 + 0 2-2 + 1 2-3=13.625D 1.1.1 数制数制 1.1 数制和码制数制和码制3. 八进制八进制: 4. 十六进制十六进制：用用09，A,B,C,D,E,F的组合表示一个数的组合表示一个数 一般，一般，16进制数用进制数用H（Hexadecimal）；八进制数）；八进制数用用O（Octal）;十进制数用十进制数用D

2、（Decimal）;二进制数二进制数用用B（Binary）表示。）表示。二、二、 数制间的转换数制间的转换三、原码、反码和补码三、原码、反码和补码1. 带符号数的原码、反码、补码带符号数的原码、反码、补码 按位取反按位取反 原码数值原码数值 反码反码按位取反加按位取反加1原码数值原码数值 补码数值补码数值1. 带符号数的原码、反码、补码带符号数的原码、反码、补码 按位取反按位取反 原码数值原码数值 反码反码按位取反加按位取反加1原码数值原码数值 补码数值补码数值例例1：设机器码长度为：设机器码长度为16，求十进制数，求十进制数 +65、-65的原码、的原码、反码和补码。反码和补码。1.先求（先

3、求（65）10（ ？ ）22232216余余08422余余0余余0余余0余余0低位低位652余余121余余12. 将得到的二进制码用将得到的二进制码用0补足数补足数值位的位数值位的位数 这里为这里为15，得到：得到：（65）10（000000001000001 ）23.对正数来说，符号位（最高位）补对正数来说，符号位（最高位）补0，且其原码反码补码，则：且其原码反码补码，则： （65）10 的原码反码补码的原码反码补码 00000000010000014. 对负数来说，符号位（最高位）补对负数来说，符号位（最高位）补1，则：则： （65）10 的原码的原码1000000001000001 （6

4、5）10 的反码的反码1111111110111110（65）10 的补码的补码1111111110111111例例2：设机器码长度为：设机器码长度为8，则：，则：1. （11110110）原码原码（ ？）？）真值真值 v 因为是原码，去掉符号位后直接将数值部分转换为十进制数据：因为是原码，去掉符号位后直接将数值部分转换为十进制数据：（1110110）2（64321642）10（118）10v 符号位为符号位为1，说明为负数，所以：（，说明为负数，所以：（11110110）原码原码（118）真值真值2. （11110110）反码反码（ ？）？）真值真值v 先将反码转换成原码先将反码转换成原码

5、符号位不变，数值部分按位取，得：符号位不变，数值部分按位取，得：（11110110）反码反码（10001001）原码原码v 按按1中步骤将该原码转换为十进制数：中步骤将该原码转换为十进制数：（10001001）原码原码（9）真值真值3. （11110110）补码补码（ ？）？）真值真值v 对负数而言，数值部分相同的补码比反码小对负数而言，数值部分相同的补码比反码小1，得：，得：（11110110）补码补码（10）真值真值练习：先将补码转换为原码，再求其所对应的十进制数；练习：先将补码转换为原码，再求其所对应的十进制数；8 位 二 进 制 数 的 不 同 解 释8位二进制数据位二进制数据十六进制

6、数十六进制数无符号十进制数无符号十进制数原原 码码反反 码码补补 码码0000000000H00000000000101H11110000001002H2222011111007CH124124124124011111017DH125125125125011111107EH126126126126011111117FH1271271271271000000080H128 0 127 1281000000181H129 1 126 1271000001082H130 2 125 12611111100FCH252 124 3 411111101FDH253 125 2 311111110FEH2

7、54 126 1 211111111FFH255 127 0 1（3） 补码表示法是计算机中最普遍采用的数据表示方法。用补码补码表示法是计算机中最普遍采用的数据表示方法。用补码表示的数据符号位可以参与运算，从而表示的数据符号位可以参与运算，从而可以使减法运算转换为加法可以使减法运算转换为加法运算，简化了机器的运算器电路；同时，在补码表示法中，运算，简化了机器的运算器电路；同时，在补码表示法中，0的表的表示形式是唯一的示形式是唯一的。不过在补码表示法中，负数的表示范围比正数的。不过在补码表示法中，负数的表示范围比正数的表示范围要宽（能多表示一个最负的数）。字长为表示范围要宽（能多表示一个最负的数

8、）。字长为N的补码表示的的补码表示的真值范围为真值范围为 (2N1 ) (2N11)。 2. 原码、反码、补码的比较：原码、反码、补码的比较：（1） 原码表示法的优点是直观，但因为这种表示法表示的数据原码表示法的优点是直观，但因为这种表示法表示的数据符号位和数值位是不等同的，所以实现加减运算的规则比较复杂。符号位和数值位是不等同的，所以实现加减运算的规则比较复杂。长度为长度为N的原码表示的真的原码表示的真 值范围为值范围为 (2N11) (2N11)。（2） 反码表示法将符号位和数值位等同看待，即符号位可以和反码表示法将符号位和数值位等同看待，即符号位可以和数值位一起参加运算，因此比原码表示法

9、的运算规则简单。但用反数值位一起参加运算，因此比原码表示法的运算规则简单。但用反码表示法表示的码表示法表示的0和和0 仍然是不同的。字长为仍然是不同的。字长为N的反码表示的真的反码表示的真值范围同原码一样，为值范围同原码一样，为 (2N11) (2N11)。 1.1.2 码码 制制一、一、BCD代码：用位二进制数码表示位十进制代码：用位二进制数码表示位十进制数的数的十个状态，称这些代码为二十进制代码，十个状态，称这些代码为二十进制代码，即即BCD(Binary Coded Decimal)代码。代码。二、格雷码二、格雷码三、字符编码三、字符编码 一、二一、二 十进制编码：十进制编码：BCD码码

10、 1. BCD码的特点码的特点2. BCD码的种类码的种类常常 用用 的的 几几 种种 BCD 码码 十进十进制数制数8421BCD码码2421BCD码码5121BCD码码余余3码码余余3循环码循环码00000000000000011001010001000100010100011020010001000100101011130011001101100110010140100010001110111010050101101110001000110060110110010011001110170111110110101010111181000111010111011111091001111111

11、11110010101.8421码是码是BCD代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个四位二进制数，各位的权依次为个四位二进制数，各位的权依次为8，4，2，1。另外，每个代码。另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。2.2421BCD码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一（如十进制数一（如十进制数“5”可以编码为可以编码为“1011”或或“0101”）；）；09、18、27等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运等数字编码互为

12、按位取反结果，这有助于十进制的运算简化；算简化；3.余余3码被看成码被看成4位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制数码多数码多3。如果将两个余。如果将两个余3码相加，所得的和将比十进制数和所对码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多应的二进制数多6。因此，在用余。因此，在用余3码作十进制加法运算时，若两码作十进制加法运算时，若两数之和为数之和为10，正好等于二进制数的，正好等于二进制数的16，于是从高位自动产生进位，于是从高位自动产生进位信号。信号。4.余余3循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有循环码是一种无权码，其特点

13、是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误；一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误；3. BCD码的存放：组合码的存放：组合BCD码与非组合码与非组合BCD码码上述编码方式是针对上述编码方式是针对 “一位一位” 十进制数字而言的，一个多位的十进制数与十进制数字而言的，一个多位的十进制数与相应的相应的8421BCD码之间的转换关系如下例所示：码之间的转换关系如下例所示：00110000100100013091十进制数：十进制数：对应的对应的8421BCD码：码： 组合组合BCD码格式：每位十进制数字对应的码格式：每位十进制数字对应的BCD编码

14、以编码以四个四个二进制位来存放；二进制位来存放；（3091）10（0011 0000 1001 0001）BCD 非组合非组合BCD码格式：每位十进制数字对应的码格式：每位十进制数字对应的BCD编码以编码以八个八个二进制位来存放，二进制位来存放，其中低四位存放真正的其中低四位存放真正的BCD码，高四位根据具体应用的不同定义为不同的码，高四位根据具体应用的不同定义为不同的值值 如无特殊要求，高四位通常为全如无特殊要求，高四位通常为全0； （3091）10（00000011 00000000 00001001 00000001）BCD注意：如无特别说明，本课程中的注意：如无特别说明，本课程中的BC

15、D码一概指组合的码一概指组合的8421BCD码。码。这样得到的这样得到的BCD码在存放或处理时有两种格式：码在存放或处理时有两种格式：二、格雷码（二、格雷码（GrayGray） 格雷码的特点是：格雷码的特点是：v 任意两个相邻码组之间只有一位码原不同（任意两个相邻码组之间只有一位码原不同（0和最大和最大数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循环码；这种编码在形成和传输时不易出错；环码；这种编码在形成和传输时不易出错；v 最高位的最高位的0和和1只改变一次。若以最高位的只改变一次。若以最高位的0和和1的交的交界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一界

16、为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一特点可以很容易地构成位数不同的格雷码；特点可以很容易地构成位数不同的格雷码；v 格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以很容易地与二进制进行换算；很容易地与二进制进行换算；v 格雷码有许多形式，如余格雷码有许多形式，如余3循环码等；循环码等；一 种 典 型 的 格 雷 码两位格雷码两位格雷码0 00 11 11 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01

17、1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0三位格雷码三位格雷码四位格雷码四位格雷码0 00 11 11 01 01 10 10 00110 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0三、字符代码三、字符代码 数字系统处理、存储及显示的信息，包括数字，文数字系统处理、存储及显示的信息，包括数字，文字符号，字母和特殊符号等都必须用二进制数进行编字符号，字母和特殊符号等都必须用二进制数进行编码。码。 目前

18、常用的是目前常用的是ASCII码（美国标准信息交换码）和码（美国标准信息交换码）和Unicode码码。1. 常用字符编码：常用字符编码：ASCII码码 ASCII码即码即 “美国国家标准信息交换码美国国家标准信息交换码” 的英文缩写，常用的有两种的英文缩写，常用的有两种： （1）ASCII-7 编码用编码用7 位二进制编码表示一个字符，共可表示位二进制编码表示一个字符，共可表示 128 个个不同的字符。通常使用时在最高位添不同的字符。通常使用时在最高位添 0 凑成凑成 8 位二进制编码，位二进制编码，或根据或根据 实际情况将最高位用做校验位。实际情况将最高位用做校验位。 （2）ASCII-8

19、编码用编码用 8 位二进制编码表示一个字符，共可表示位二进制编码表示一个字符，共可表示 256 个个不同的字符。不同的字符。 本课程中不加声明时都指本课程中不加声明时都指 ASCII-7 码。注意：码。注意： ASCII-7 编码中编码中 09 十个数字对应的编码为十个数字对应的编码为 30H 39H，该编码实，该编码实际就是一种非组合际就是一种非组合BCD码。码。 一般字符的一般字符的ASCII码表靠查表方式获取。但除数字的码表靠查表方式获取。但除数字的ASCII外，最好外，最好也能记住以下对应关系：也能记住以下对应关系：AF 的的ASCII码为码为41H46H，a f 的的ASCII码为码

20、为61H66H；2. 另一种常用字符编码：另一种常用字符编码：Unicode码码互联网的迅速发展，要求进行数据交换的需求越来互联网的迅速发展，要求进行数据交换的需求越来越大，而且多种语言共存的文档不断增多，不同的编越大，而且多种语言共存的文档不断增多，不同的编码体系越来越成为信息交换的障碍，于是码体系越来越成为信息交换的障碍，于是 UNICODE 应运而生。应运而生。 UNICODE 的双重含义：的双重含义：v 首先首先UNICODE是对国际标准是对国际标准ISO/IEC 10646编码的一编码的一种称谓。种称谓。ISO/IEC 10646是一个国际标准，亦称大字符是一个国际标准，亦称大字符集

21、，它是集，它是ISO于于1993年颁布的一项重要国际标准，其年颁布的一项重要国际标准，其宗旨是全球所有文种统一编码；宗旨是全球所有文种统一编码；v另外它又是美国的另外它又是美国的 HP、Microsoft、IBM、Apple 等等大企业组成的联盟集团的名称，成立该集团的宗旨就大企业组成的联盟集团的名称，成立该集团的宗旨就是要推进多文种的统一编码；是要推进多文种的统一编码；UNICODE是一个是一个16位二进制编码的字符集，它可位二进制编码的字符集，它可以移植到所有主要的计算机平台并且覆盖几乎整个世以移植到所有主要的计算机平台并且覆盖几乎整个世界。界。 A B Y0 0 00 1 01 0 01

22、 1 1逻辑代数基础逻辑代数是英国数学家乔治.布尔（Geroge.Boole）于1847年首先进行系统论述的，也称布尔代数。 所研究的是两值变量的运算规律，即0，1表示两种不同的逻辑状态，称这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系为二值逻辑。 算术运算：两个表示数量大小的二进制数码之间进行的数值运算。 逻辑运算：两个表示不同逻辑状态的二进制数码之间按照某种因果关系进行的运算。12 三种基本运算一、 与运算:开关闭合为1，断开为0。灯亮为1，灯灭为0。ABY某个事件受若干个条件影响，若所有条件成立，其因果关系才成立，这样的逻辑关系称逻辑乘（与）。即YAB。二、 或运算 一个事件的成立与否有许多条件，只

23、要其中一个或几个条件成立，事件便成立，这样一种逻辑关系称逻辑加（或）。即YAB实现逻辑乘的逻辑电路称为与门，与门的逻辑符号为：&ABYABYABY0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1ABYABY0000111011110 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1三、 非运算:“条件不具备时，事件才发生”逻辑非实现这种逻辑关系的电路称或门，或门的逻辑符号为：1ABY+ABYABY完成非运算的电路称为非门。非门的逻辑符号是：AF 1AYAYAY四、几种导出（复合）运算 工程上常用的有：与非、或非、与或非、异或、同或。1.与非：“先进行与运算，

24、再将结果求反”表达式： 逻辑符号：真值表：A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 02.或非：“先进行或运算，再将结果求反”表达式： 逻辑符号：真值表： A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0ABY &ABYABYABYBAY1ABY+ABYABY4.异或：“A，B不相同，Y为1；A， B相同，Y为0”表达式： 真值表： A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0逻辑符号：3.与或非：“先进行与运算， 再进行或非运算”表达式： 逻辑符号：CDABYBABABAY5.同或：“ A，B相同，Y 为1；A， B不相同，Y为0”表达式：Y=A

25、 B=AB+ 真值表：A B Y 逻辑符号： 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1BA=1ABYABYABY=ABYABYABYYABCD&11.逻辑代数的基本公式和常用公式 一、逻辑代数的基本公式：. 0，1律：0A=0 0+A=A 1A=A 1+A=1 . 重叠律：（可由公理推出） AA=A A+A=A. 互补律： A A=0 A+A=1. 交换律：AB=BA A+B=B+A.结合律： (A+B)+C=A+(B+C)；(AB) C=A (B C).分配律： A (B+C)=AB+AC；A+B C=(A+B) (A+C).反演律： 1001BAABBABA8. 还原律：例证

26、：A+BC=(A+B)(A+C)证:右式=AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC=左式例证： ,证明：用真值表A B 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 AABAABBABAABBABABA二、常用公式：（1）AABA （2）A B B（3）ABA A （4）AB CBCAB C（5）常用公式（4）称为冗余律，我们用文字描述如下：在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以消去。AABAAABBABABA 下面我们通过真值表来看同或和异或之间的

27、关系: 从真值表可见，两个变量的异或和同或是互反的。结论：偶数个变量的异或和同或是互反的，奇数个变量的异或和同或是相等的。1. 逻辑代数的基本定理一、 代入定理：二、 反演定理：例1：已知Y=A(B+C)+CD,求 解：例2： 求解：三、对偶定理：对偶式：对任一逻辑式Y，将其中的“”换成“”，“”换成“”，“”换成“”，“1”换成“0”，得到Y,Y称为Y的对偶式。（1) 若一个定理是正确的，则其对偶式也一定正确。 （2) 若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 （3) 对对偶式再求对偶得原函数本身。 利用对偶式，有时可以简化对等式的证明。Y)()(DCCBADCCBAYDCBDACBCACB

28、DACACDCBAYYCDCBACDCBAY)()(CDCBA)(1.5逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数及逻辑函数间的相等. 逻辑函数的定义（1）逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1。（2）函数和变量之间的关系由“与、或、非”三种基本运算决定。 设某一逻辑电路的输入变量为A1,A2An，输出函数为F，当A1,A2An的值确定后，F的值就唯一的确定了。则称F为A1,A2An的逻辑函数。记为： Ff（A1A2An）. 逻辑函数的相等 设有逻辑函数F1f1(A1A2An) 、 F2f2(A1A2An)，若对应A1An的任一组取值，F1和F2的值都相等，则称F1和F2相等。记为F1F2。 判断两逻辑函数

29、是否相等的方法有：1、列真值表法2、利用逻辑代数的公理、定理和规则来证明。二、 逻辑函数的表示方法.真值表（便于直观的观看变量与函数之间的关系）。.逻辑表达式：表达逻辑函数的输入与输出关系的与、或、非等逻辑运算的组合式。.逻辑图：将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等运算关系用相应的逻辑符号表示出来，即画出能表示函数关系的逻辑图。例：对一个举重裁判电路，规定必须有一名主裁判和任一名副裁判同时认定运动员动作合格，试举才成功，即灯亮。主裁判掌握按钮A，两名副裁判分别掌握按钮B和C，裁判认为动作合格才按钮。ABCL以A=1,B=1,C=1表示三按纽按下状态，A=0,B=0,C=0表示没有按下，Y=1

30、表示灯亮，Y=0表示灯不亮，得逻辑函数： Y=F(A,B,C)(1) 逻辑真值表：(2) 逻辑函数式：A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1Y=(B+C)A =A (B+C)(3)逻辑图：&1YABC例：试证明ABC(A+B)(A+C)证：令 Y1ABC Y2(A+B)(A+C)求对偶: Y1A(B+C)ABAC Y2ABAC因为Y1Y2 所以 Y1Y2 得证三、逻辑函数的两种标准形式1、最小项和最大项：）最小项：在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式

31、在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。 以三变量的逻辑函数为例，以下为三变量最小项的编号表。 可见三变量逻辑函数的最小项有8个（23），四变量逻辑函数的最小项有16个（24），则 n变量逻辑函数的最小项有2n个 若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例： 和 ，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。 ABC0000m 00011m 10102m 20113m 31004m 41015m 51106m 61117m 7编号对应十进制数 最小项使最小项为1 的变量取值CBACBACBABCACBACBACABABCCBACABCBAACBCABCBA)(最小项性质：在

32、输入变量的任何一取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。任意两个最小项的乘积为0。全体最小项之和为1。具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一项并消去一个因子。2） 最大项：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量的和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。 三变量最大项的编号表如下：以A，B，C取值所对应的十进制数给最大项编号可见：三变量逻辑函数的最大项有23个，四变量逻辑函数的最大项有24个，n变量逻辑函数则有2n个最大项，其数目与最小项数目是相等的。最大项性质：在输入变量的任何取值下，必有一个，而且只有一个最大项的值是0。ABC0000M 00

33、011M 10102M 20113M 31004M 41015M 51106M 61117M 7最大项对应十进制数编号是最大项值为0的变量取值CBACBACBACBACBACBACBACBA任意两个最大项之和为1。全体最大项之积为0。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。对比可知：最大项和最小项存在如下关系：3、逻辑函数的最小项之和形式：利用基本公式 可把任一逻辑函数式展开为最小项之和的形式。这种形式在逻辑函数的图形化简法中以及计算机辅助分析和设计中得到广泛应用。例1：例2：iimM 1 AABCCABY)7 , 6 , 3()(imBCAABCCABBCAACABYiCDBA

34、BCDADCBABBACBBCDADCBAY)()(ACCDADCBAYABCDCDBABCDADCBADDCBADDABC)()()15,14,11,10, 9 , 7 , 3(imDCBACDBADABCi4、逻辑函数的最大项之积形式：如果已知逻辑函数为Y=mi时，定可将它化成编号为i以外的最大项之积。由 ，Y =mi又 例：将逻辑函数 化为最大项乘积的形式。解：)7 , 6 , 3(imBCCABYiBCCABY54210MMMMMMYiKK)()()()(CBACBACBACBACBA1120niim1YYiKKmYiKKiKKiKKMmmY5、最小项与最大项之间的关系：1. 或2.某

35、函数F若用P项最小项之和表示，则该函数的反函数 可用P项最大项之积表示，而P项最大项及最小项的标号完全一致。例：F=m1+m3+m6+m73.一个n变量函数，当用积之和的标准型表示时，最小项的下标号正好不是用和之积标准型表示时的最大项的下标号，反之亦然，而且最小项与最大项的下标号的总和为2n。例： F=m(0,1,3,6)可转换为：F= M(2,4,5,7)iimM iiMm F763176317631MMMMMMMMmmmmF1.6逻辑函数的公式化简法一、逻辑函数的最简形式：同一个逻辑函数可以写成不同形式的逻辑式，逻辑函数式越简单，它所表示的逻辑关系越明显，也有利于用最少的电子器件实现这个逻

36、辑函数。逻辑函数的八种表达式：“与或”式：例“或与”式：例“与非与非”式：例“或非或非”式：例“与或非”式：例CBBAF1)(2CBBAFCBBAF3)()(4CBBAFCBBAF5“或与非”式：例“或非或”式：例“与非与”式：例最常用的为“与或”、“或与”两种逻辑表达式最简“与或”式的标准：.含的“与”项最少；.各与项中含的变量数最少。最简“或与”式的标准：.含的“或”项最少； .各或项中含的变量数最少。以后主要讨论“与或”式的化简)()(6CBBAFCBBAF7CBBAF8例.试将与或函数式 化为“与非与非”式。解：利用反演定理，得只要将“与或”式两次求反，就转换为“与非与非”式例. 试将

37、“与或”函数式化为“与或非”式。 解：BDCBCABYYY BDCBCABBDCBCABYCBCAABYCBACBACBABCACABABC)7 , 6 , 4 , 3 , 1 , 0(imi又CBACBAmmmYiKK52CBCAABY二、逻辑函数的公式化简法：（用基本公式和常用公式消去多余的逻辑变量和多余的与项和或项）1.并项法：运用公式：消去B和两个因子。例：或2.吸收法：利用公式：消去AB项。例：ABAABBACDBACDBAY1CDBCDBACDBACDABAACDBAY)()(2CBABACBACCBACBCACBAY)()(3)()(4DDBCDDCBBCDDCBDBCDCBYB

38、BCCBBDCBDCBBCDDCBDBCDCBY)()(4AABAADADBCBAADADABDCBAY)()(13.消项法：利用公式： 消去BC项。CAABBCCAABBAACCBBAACCBBAACY1EDCEBADCBAEDCBEEADCBAY)(2EBADCBAEDCEBADCBA)(2DCABABDCABABYABDCDCAB)1 (BCDCBABCAAY)(3BCADCBABCABCA)(4.消因子法：利用公式：，消去因子。例:5.配项法：利用配项：例: 利用配项：例:BABAAACBABCBY1CBCDACBCDAACBACDAAY)(2DCBACBADCBAY3DACDACAC

39、DCAACDCDAACY)(4AAAABCBCABCACBAABCBCACBAYBCBAAABCCCBA)()(1 AACBAACBCCBABACBCBBABAY)()(CBACBACBCBABCABAACACBBABCACBAACBCAB)()1 ()1 (化简时应灵活运用以上方法例：DEBADBCACBADCDBCBBAY)(DEBACBADCDBCBACDEBACBADBCBACDEBADBACBAC1.7 逻辑函数的卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示：1.用卡诺图表示最小项: 任一逻辑函数均可写成最小项形式。 F(A,B,C)=逻辑函数的卡诺图是一个特定的方格图。图中的每一个小方格代

40、表了逻辑函数的最小项，且任意两个相邻小方格所代表的最小项只有一个变量之差。首先建立一个二变量卡诺图CBACBACBABCABACAA B010m0m11m2m3图形两侧标准的0和1表示使对应小方格内最小项为1的变量取值，处在任何一列或一行两端的最小项也具有逻辑相邻性。卡诺图是上下，左右闭合的图形。三变量卡诺图：四变量卡诺图：A BC 00 01 11 100m0m1m3m21m4m5m7m6AB CD0001111000m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9m11m10建立多于二变量的卡诺图，则每增一个逻辑变量就以原卡诺图的右边线（或底线）为对称轴作一对称

41、图形，图中变量列（或行）的变量不变，变量行（或列）因增加变量其取值应以旋转对称轴为准来填写，对称轴左面（或上面）原数字前面增加一个0，对称轴右面（或下面）原数字前增加一个1。2. 用卡诺图表示逻辑函数：卡诺图中，每一小方格代表了一个最小项，变量取值为1的代表原变量，为0的代表反变量。对任何一个最小项逻辑函数表达式，可将其所具有的最小项在卡诺图中相应的方格中填1。一般与或表达式可直接填写在卡诺图中。例：ABCDDCBADCBADCBAFAB CD 00011110000000011100110010101000二、 用卡诺图化简逻辑函数相邻小方格的合并规则：在卡诺图中，凡紧邻的小方格或与轴线对称

42、的小方格都叫做逻辑相邻，它们之间只有一个变量不同，可圈在一起，利用对和律： 进行合并。两个相邻的小方格可以合并成一个乘积项，且消去一个变量。4（22）个相邻的小方格可合并为一个乘积项，且消去二个变量。ABAABA BC 00 01 11 10011111N（2k）个相邻小方格可合并为一个乘积项，且消去k个变量。AB CD 000111100011011111111110AB CD 0001111000110111101111AB CD 0001111000110111111111101111. 化简步骤：将逻辑表达式换成与或式，填写对应小方格。将相邻的2K个为1的小方格圈在一起，应尽可能圈进多

43、的小方格。先圈孤立的单个小方格，再圈2个，4个，8个，能合并的小方格。所画圈必须包含一个新的最小项，否则得到的是多余项。根据所画的圈写出对应乘积项，再将其逻辑相加，得到最简表达式。例1.化简解：CBCBCACAYA BC 00 01 11 1001111111CBCABAY例2.化简BCDBCADABCBADCBADCBAYDCBABABCDBDCAY4.卡诺图最大项化简法：即合并0格，将函数化为或与式用0表示最大项，对0格画圈可得到最简或与式。例：用卡诺图将函数F(A,B,C,D) = M(0,2,5,7,13,15)化为最简或与式。AB CD 00011110001011111111111

44、01AB CD 00 01 11 1000000100110010)(),(DBDBADCBAF5.表格法化简：奎埃恩-麦克拉斯基法，简称QM法实质上是不断地重复 来合并最小项6.多输出函数的整体化简:实际逻辑设计中，常有多个输出端，若单独化简每一个输出函数后再拚凑在一起，结果未必会得到最简的逻辑图。对多输出函数的简化，需找出各函数间所有可能的共用项。则对于多输出函数的化简有下列要求：第一，每个输出函数的积项（和项）要求最少，任何一个积项（和项）的输入变量也要求最少。第二，各个以被简化了的输出函数，应尽可能地共用积项（和项），这样有利于减少使用门的个数。ABAAB用卡诺图化简多输出逻辑函数的步

45、骤：分别对每个函数进行化简。观察比较各函数的卡诺图，若有共同的圈则将它们标出来，这些共同的圈就是共用的积项（和项）。从共用积项（和项）的思路出发，改变卡诺图的圈法，找出各函数间可以共用的新圈，改圈时以不增加新项为原则，若改圈后，确实能够节省整个设备的元器件（首先是节省门的数量，其次是减少输入端数量），则把它定下来，否则恢复原方案。例：化简多输出函数)15,13,12, 8 , 7 , 6 , 5 , 2(),(1mDCBAF)13, 6 , 5 , 2(),(2mDCBAF)15,12, 8 , 7 , 4 , 0(),(3mDCBAF1.8具有无关项的逻辑函数及其化简一、约束项，任意项和逻辑

46、函数式中的无关项以上所讨论的逻辑函数，其函数值是完全确定的，1或0 然而当：由于外部条件的限制，输入变量的某些组合不会在电路上出现，即不允许出现；电路输入的变量的某些组合值对输出没有影响。第种情况中，对输入变量取值的限制称为约束，把这一组变量取值等于1的那些最小项称为约束项。第种情况中，在这些变量取值下等于1的那些最小项称为任意项。我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项。 * 把约束项写入逻辑函数式中是无关紧要的 * 在真值表中和卡诺图中用表示无关项，可以取值为1，也可取值为0，对逻辑函数是无影响的。二、具有无关项的逻辑函数的化简： 在卡诺图中，究竟将作为1（即认为函数式中包含有这个最

47、小项）还是作为0（即认为函数式中不包含这个最小项）对待，原则上：应以得到的相邻最小项矩形组合最大，而且矩形组合数目最少。例：A,B,C三个逻辑变量，A=1表示电动机正转，B=1表示它反转，C=1表示停止。因为这三个命令只能执行其中一个，所以ABC只能取值001，010，100，而其余最小项则为约束项。约束条件为：0ABCCBACABBCACBA例1 化简：约束条件为：解：例2 化简：约束条件为：解：Y=DDCBADCBADCAY0ABCDDABCDCABDCABCDBADCBAAB CD 00011110000001011001111010DCDADBYDCBADBABCDADCAY0 ACA

48、BAB CD 00011110000110010110111001作业1.21.41.81.13 例、用卡诺图化简逻辑函数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1AB0 0L1CD0 11 11 00 00 11 11 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB0 0L2CD0 11 11 00 00 11 11 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1AB0 0L3CD0 11 11 00 00 11 11 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1AB0 0L1CD0 11 11 00 00 11 11 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1AB0 0L1C

49、D0 11 11 00 00 11 11 0L1=AC+AD+BC+BD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB0 0L2CD0 11 11 00 00 11 11 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1AB0 0L2CD0 11 11 00 00 11 11 0L2=AD+BD+ABC+ABC+ABD+ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1AB0 0L3CD0 11 11 00 00 11 11 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1AB0 0L3CD0 11 11 00 00 11 11 0L3=B+C+D 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1AB0 0L3CD0 11 11 00 00 11 11 0L3=BCD求函数的反函数化简法L3=L3=BCD=B+C+D二、具有无关项的逻辑函数的化简v无关项： 约束项 任意项 A0A1A2A3A4A5A6A7A