材料力学课件：平面应力状态理论 （第一章）

1、同一点各个方位上的应力大小和方向各不相同。某一点各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称为一点的应力状态一、一点应力状态二、单元体概念剪应力等于0的截面称为主平面；作用在主平面上的应力称为主应力。在构件内部取一个微分六面体，代表一个点，分析 6 个微面上的应力，这个微分六面体称为单元体yxzyxyzzyzxxzxy9-1 9-1 一点应力状态的概念一点应力状态的概念三、应力状态分类三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力都不等于0;yxzyxyzzyzxxzxyyxyxxyxyyxxy二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力都不等于0;xx单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等

2、于09-2 9-2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法平面初始应力状态包括xyxyyx表示yxyxxyxyyxxy平面应力状态的简化表示yxyxxyxyyxxy一、任意斜截面上的应力从 x 轴方向逆时针为正拉应力为正；压应力为负绕单元体顺时针为正，反之为负设斜截面上的应力为yxyxxyxyyxxynt斜截面上的各参量的正负号规定nxxxyyyxt对三角形单元体建立平衡方程0nF (cos)cos(cos)sin(sin)sin(sin)cos0 xxyyxydAdAdAdAdAnxxxyyyxt0tF (cos)sin(cos)cos(sin)cos(sin)sin0 xxyyx

3、ydAdAdAdAdAcos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy整理后二、主应力、主方位 由斜截面上的应力表达式可知 随 角度不同而变化， 都是 的函数，由此可求正应力和剪应力的极值。、2sin2cos202xyxydd 主平面、 将 的表达式对 求导： 0=可见在 的截面上，正应力具有极值（最大或最小）0主应力0212xyxyarctg22maxmin022212xyxyxyxyxyarctg即平面应力状态主应力、主方位表达式0=令sin2cos202xyxy即022xyxytg 得将上式带入 的表达式： 将 的表达式对 求导： 三、剪应力极值、剪应力极值平面()cos22s

4、in20 xyxydd122xyxytg1122xyxyarctg将上式带入 的表达式： 22maxmin12122xyxyxyxyarctg即剪应力极值、剪应力极值平面表达式由主应力方位角和剪应力极值方位角可知 022xyxytg 122xyxytg0122tgtg 01222014即：剪应力极值平面和主平面夹角为45 9-3 9-3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法斜截面应力解析表达式cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy将公式的结构进行变换将公式的结构进行变换cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy222222xyxyxy一、应力圆方

5、程222222xyxyxy发现此方程为圆方程，圆心发现此方程为圆方程，圆心 半径半径,02xy222xyxy观察方程观察方程称此圆为称此圆为应力圆应力圆。2xy222xyxyRO1O由于应力圆最早由德国工程师莫尔（otto.mohr,1835-1918）提出，故又称为莫尔圆。RAB二、应力圆作法(1)在坐标系内画出A1( )xxy,(2)在坐标系内画出B1( )yyx,O1(,)xxyA yxyxxy1(,)yyxB二、应力圆作法O1(,)xxyA yxyxxy1(,)yyxB(3)A1 B1连线与 轴交点即圆心O1(4)以O1为圆心，以O1A1 为半径画圆1O例题2：已知某点应力状态如图，用

6、解析法求 并用图解法验证。oomaxmax3030minmin、40302522maxmin51.7()MPa36.722xyxyxymaxminmaxmin44.2 MPa2 30cos60sin6049.7MPa22oxyxyooxy40 MPa;25;30 MPa;xyxy 解：解析法求解30cos60sin6013.1MPa2oxyooxyo30o30O1( 25,30)B 1O1(40, 30)AABQQ图解法验证 403025Ko30(49.7,13.1)Coo3030， 作应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。查Q点和Q点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为 44.2 MPa 过K点作直线与x轴呈30角，与圆的交点的坐标即查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为51.7 MPa和-36.7 MPa9-4 9-4 三向应力状态简介三向应力状态简介只有主应力的三向应力状态称为三向主应力状态21321123一、三向主应力状态的应力圆O1231二、三向主应力状态的最大剪应力2max2o45最大剪应力由 和 决定1313maxmin2 最大剪