计量经济学第6章时间序列分析

1、第六章第六章 时间序列分析时间序列分析u 6.1 时间序列分析的基本概念u 6.2 平稳性检验u 6.3 ARIMA模型u 6.4 协整与误差修正模型u 6.5* 向量自回归（VAR）模型第一节第一节 时间序列分析的基本概念时间序列分析的基本概念 一一、时间序列与随机过程、时间序列与随机过程 XttT，X tXttXtxtT， txtx随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为简记为或。随机过程中的每一个元素都是随机变量。随机过程的一次观测结果称为时间序列，用表示，并简记为或时间序列中的元素称为观测值。时间序列时间序列 随机过程的一次实现称为时间序列，可用xt或xt表示。随机过程与时间序列的

2、关系图示如下：样本空间样本空间12111111212222121121 : : : : :TTTTTTnnnnTTXXXXxxxxxxxxxxxx随机过程： ，.，第1次观测： ，.，第2次观测： ，.，第n次观测： ，.， 比如某河流一年的水位值，比如某河流一年的水位值， x1, x2, , xT-1, xT,，可以看做一个随机过程，每一年的水位记录则是一可以看做一个随机过程，每一年的水位记录则是一个时间序列，如个时间序列，如x11, x21, , xT-11, xT1。 而在每年中同一时刻（如而在每年中同一时刻（如t=2时）的水位记录是不时）的水位记录是不同的，同的， x21, x22,

3、, x2n, 构成了构成了x2取值的样本空间。取值的样本空间。二、平稳性（二、平稳性（StationarityStationarity） 1.1.严平稳严平稳 如果一个时间序列如果一个时间序列xt的联合概率分布不随时的联合概率分布不随时间而变，即对于任何间而变，即对于任何n和和k， x1, x2 ,，xn的联合的联合概率分布与概率分布与x1+k , x2+k , xn+k的联合分布相同，的联合分布相同，则称该时间序列是严格平稳的。则称该时间序列是严格平稳的。2 2、弱平稳、弱平稳 由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们用随机变量 xt （t=1,2,）的均值、方差和协方差代替之。如果满足：

4、则一个时间序列是“弱平稳的”，通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳。22( )( ),1,2,.(2)( )(),1,2,.(3)( ,)()(),1,2,.,k0ttttt ktt kkE xtVar xE xtCov x xE xxt 1 均值方差协方差三、五种经典的时间序列类型三、五种经典的时间序列类型 1.1.白噪声白噪声（ White noise） 白噪声通常用t表示，是一个纯粹的随机过程，满足：（1）E(t) = 0 , 对所有t成立；（2）V ar(t) = 2，对所有t成立；（3）Cov (t, t+k) = 0，对所有t和k0成立。白噪声可用符号表示为：tIID(0,

5、2) （6.1.1） 这里IID为Independently Identically Distributed（独立同分布)的缩写。2.2.随机随机漫步漫步（Random walkRandom walk） 如果一个序列由如下随机过程生成： xt= xt-1+ut ，其中ut是一个白噪声，则该列序被称为随机漫步。容易证得E(xt)= E(xt-1)，Var(xt)= t2，xt的方差与时间t有关而非常数，因此随机漫步序列是非平稳序列。 随机游走序列可以通过差分变换后： xt=ut 。由于ut 是白噪声，所以xt是平稳序列，说明随机漫步可以通过差分变换为平稳序列。 随机游走过程是最简单的非平稳过程，

6、它是 xt=xt-1 +t 的特例，此式通常被称为一阶自回归过程（简记为AR(1)），可以证明该过程在11时是平稳的，其他情况下，则不平稳。 xt=xt-1+t 又是 xt =1 xt-1+2 xt-2+q xt-q+t的特例，即q阶自回归过程（简记为AR(q)），如果其特征方程的所有根的绝对值均大于1，则序列是平稳的，否则为非平稳过程。3.带漂移项的随机漫步带漂移项的随机漫步 (Random walk with drift) 首先考虑如下随机过程： xt =+t+ xt-1+ut其中：ut是白噪声，t为时间趋势。如果=1，=0，则上式为一带漂移项的随机游走过程： xt =+xt-1+ut （

7、1）根据的正负，xt表现出明显的上升或下降趋势，这种趋势称为随机性趋势（stochastic trend）。对于（1）式我们同样可通过差分的方法使其变为平稳的序列，因此（1）式也被称为差分平稳过程（difference stationary process），或称随机趋势非平稳过程。4. 4. 趋势平稳过程趋势平稳过程（trend stationary trend stationary processprocess） x xt t = = + + t+t+t t 根据根据 的正负，的正负，x xt t会表现出明显的上升或下降趋势，会表现出明显的上升或下降趋势，这种趋势称为这种趋势称为确定性趋势

8、确定性趋势（deterministic trenddeterministic trend）。）。 对于确定性趋势，我们无法通过差分的方法消除，对于确定性趋势，我们无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项来消除，使该序列变为平稳，而只能通过除去趋势项来消除，使该序列变为平稳，这样的序列我们称为这样的序列我们称为趋势平稳过程，或称退势平稳过趋势平稳过程，或称退势平稳过程程。其规范表述如下：。其规范表述如下： x xt t = = 0 0 + + 1 1 t t + +tt, , t t = = t-1t-1 + + v vt t , , ( ( 1, ，则接受原假设H0，即Xt非平稳，若t，则

9、拒绝原假设H0，Xt为平稳序列。10 00HH： Dickey和Fuller注意到临界值依赖于回归方程的类型。因此他们同时还编制了与另外两种类型方程中相对应的统计表，这两类方程是： x t=+x t-1+t 和 x t=+t+x t-1+t 二者的临界值分别记为和T。尽管三种方程的临界值有所不同，但有关时间序列平稳性的检验依赖的是Xt-1的系数，而与、无关。2. ADFADF检验检验 在DF检验中，实际上是假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)（见教材式6.3.2）生成的。但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声的，为了保证D

10、F检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验。 ADFADF检验的模型检验的模型1 1 ：ADFADF检验检验的模型的模型2 2 ：ADFADF检验的模型检验的模型3 3： 11pttit itixxx 11pttit itixxx 11pttit itixtxx 三个模型检验的原假设和备择假设都是：H0： =0; H1： p时PACF0的现象。所以，若随机序列的自相关函数是拖尾的，而其偏自相关函数是以p阶截尾，则此序列为AR（p）序列。 而MA(q)的ACF为截尾序列，即当滞后期kq时，ACF0

11、。 MA(p)的PACF为拖尾序列，即无论滞后期k取多大，PACF的计算值均与其1到p阶滞后的自相关函数有关。所以，若随机序列的自相关函数以q阶截尾，而偏自相关函数拖尾，则此序列为移动平均MA(q)序列。 （3 3）AR(pAR(p) )和和MA(q)模型模型的的ACFACF和和PACFPACF（4 4）ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的模型的ACFACF和和PACFPACFARMA(p,q)模型的自相关函数，可以看成是MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性；当q=0时，它具有拖尾性；当p和q都不为0时，它具有拖尾性质。 ARMA(p,q)模型

12、的偏自相关函数也可以看成是MA(q)和AR(p)的偏自相关函数的混合。当p=0时，它具有拖尾性；当q=0时，它具有截尾性；当p,q都不为0时，它具有拖尾性质。 二、二、ARIMAARIMA模型模型1.ARIMA1.ARIMA模型的形式模型的形式 (1)ddtttzxLx tztxd (0)tzItz11221122 tttp t ptttq t qzzzz 对于非平稳序列xt ，如果经过d次差分能够变为平稳序列，即xt是d阶单整的，xtI(d)，则有如下变换： 显然， 为的阶差分后序列，于是对建立ARMA(p,q)模型： （6.3.10） 掌握了ARIMA(p,d,q)模型的形式之后，对于AR

13、IMA(p,d，q)的识别和估计将变得非常简单，对于非平稳的序列xt先通过单位根检验确定d值，然后对差分后平稳的序列zt进行ACF和PACF的计算，进而判断p和q的值，然后对相应的ARMA(p,q)进行估计，求得ARMA(p,q)的参数之后，利用上式将关于zt的ARMA(p,q)还原为关于xt的ARIMA(p,d,q)模型。 2.ARIMA( 2.ARIMA( p,d,q p,d,q ) )模型的建模步骤模型的建模步骤 对于ARIMA(p,d,q)模型的建模步骤具体可以概括为如下几个步骤：第一步，对原序列进行平稳性检验，如果不满足平稳性条件，可以通过差分变换或者其他变换（如先取对数然后再差分）

14、将该序列变为平稳序列；第二步，对平稳序列计算ACF和PACF，初步确定ARMA模型的阶数p和q，并在初始估计中尽可能选取较少的参数；第三步，估计ARMA模型的参数，借助t统计量初步判断参数的显著性，尽可能剔除不显著的参数，保证模型的结构精练。（极大似然估计和最小二乘估计）第四步，对估计的ARMA模型的扰动项进行检验，看其是否是白噪声序列。第五步，对估计的ARMA模型的平稳性进行检验，主要看其特征根的倒数（Inverted ARMA Roots）是否在单位圆之内，不在就意味着ARMA模型不平稳，从而需要重新进行构造。第六步，当有几个较为相近的ARMA模型可供选择时，可以通过AIC或SBC等标准来

15、选择最优模型。 我们仍使用1995-2014年全社会固定资产投资与GDP数据为例全社会固定资产投资（TFAI）的自相关和偏自相关函数图GDP的自相关和偏自相关函数图 从两个序列的自相关和偏自相关函数图看到，二者均为自相关系数拖尾，而偏自相关系数截尾，所以二者均为AR(1)序列。第第四四节节 协整与误差修正模型协整与误差修正模型 经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉及的变量是平稳的。然而，在大多数情况下，宏观经济的实证研究中所使用的变量通常是非平稳的趋势变量，比如收入、消费、货币需求、价格水平、贸易流量等等。

16、因此，以这种假定为基础的估计方法所给出的经典t检验和F检验，会给出产生误导作用的结果。这种现象被Granger 和 Newbold称为伪回归（Spurious Regression）。 考虑到经济学中大多数时间序列是非平稳序列，则我们得到伪回归结果是常见的事。从前，人们认为处理此类趋势变量的恰当方法是使用差分或者其他的变换将它们化为平稳变量。然而，最近越来越多的研究表明有更适合的方法来研究趋势变量。 如果两个变量的漂移趋势之间存在某种联系，如果Xt与Yt都是1阶单整，是否存在 使得 为平稳的，如果存在，那么说这两个变量就是协整的，这样就可以区分两者长期关系和短期关系，长期关系是两个变量一起漂移

17、的关系，短期关系则是两个变量相对于各自长期趋势的偏离之间的关系。ttYX 给出协整的正式定义： 如果Xt=x1t , x2t , xkt 都是d阶单整，存在向量=(1 , 2 , k)，使得Zt= X T I(d-b)(db0)，则认为序列x1t , x2t , xkt 是(d,b)阶协整的，记为XtCI(d,b)，其中CI是协整的符号，构成诸变量线性组合的系数向量称为协整向量（cointegrated vector）。 需要注意的是，在协整的定义中，协整向量是不唯一的，并且各个变量xkt必须都是同阶单整的。 一、协整的概念一、协整的概念下面给出两个特例。1. Yt，XtCI(d，d） 在这种

18、情况下，d=b，使得a1Yt+a2XtI(0），这意味着两时间序列的线性组合是平稳的， 因而Yt，XtCI(d，d)。2. Yt，XtCI（1, 1） 在这种情况下，d=b=1，同样有a1Yt+a2XtI（0），即两时间序列是平稳的，因而Yt，XtCI(1, 1)。 二、协整的检验二、协整的检验 两变量协整关系检验的Engle-Granger法由Engle和Granger于1987年提出，简称EG检验。下面主要介绍EG检验的具体步骤。第一步：用前面介绍的单位根方法求出两变量的单整阶数，若两变量的单整阶数相同，则进入第二步；如果单整阶数不同，则两变量不是协整的；若两变量是平稳的，则检验过程停止，

19、可直接采用前面章节介绍的回归技术进行处理。第三步：用ADF检验et是否平稳。如果为平稳序列，则认为yt，xt为(1,1)阶协整的。这里有两点需要注意：第一，由于残差et的均值为0，所以在进行ADF检验时，应该选择没有截距项的模型进行检验；第二，对残差et的平稳性检验的ADF临界值通常比正常的ADF检验的临界值要小，因此不宜用Eviews中的ADF检验来检验et的平稳性，而应采用给定的ADF临界值进行判断。第二步：若两变量同阶单整，如I(1)，则用OLS法估计长期均衡方程（协整回归）yt =0+1xtt，将残差et作为均衡误差t的估计值。三、误差修正模型（三、误差修正模型（ECM） 协整分析中最

20、重要的结果可能是所谓的“格兰杰表述定理”（Granger representation theorem）。按照此定理，如果两变量yt和xt是协整的，则它们之间存在长期均衡关系。当然，在短期内，这些变量间的关系可以是不均衡的。 两变量间这种短期不均衡关系的动态结构可以由误差修正模型（error correction model）来描述，“误差修正”由Sargen1964年首先提出，而ECM的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，因而也称为DHSY模型。 将两变量的短期和长期行为联系起来误差修正模型模型可由下式给出：1(,)tttttylaggedyxv

21、01 （6.4.1）其中ytI(1)，xtI(1)；yt ,xtCI (1, 1)t= yt01xt I (0)；vt为白噪声；为短期调整系数，反映t-1期末偏差的调整速度；lagged表示yt与xt的滞后项，其中包括xt本期。不难看出，在（6.4.1）中，所有变量都是平稳的。 是否可用OLS估计？事实上不行，因为均衡误差t不是可观测变量，因而在估计该式之前，要先得到这一误差的值。对于对于（6.4.1）的估计，的估计，Engle 和和 Granger建议采用下述两步建议采用下述两步方法：方法：第一第一步，估计协整回归方程步，估计协整回归方程yt =0+1xtt，得到协整向量的，得到协整向量的一

22、致估计值，并得出均衡误差一致估计值，并得出均衡误差t的估计值的估计值et= yt xt。第二第二步，计算步，计算yt和和xt的一阶差分值，然后选择合适的滞后阶，的一阶差分值，然后选择合适的滞后阶，用用OLS法估计下面的方程法估计下面的方程yt = lagged（yt，xt）et-1 + vt 。注意，这里滞后阶的选择可以通过对注意，这里滞后阶的选择可以通过对vt的自相关性的检验来的自相关性的检验来进行判断和筛选，直到找出合适的滞后阶使得进行判断和筛选，直到找出合适的滞后阶使得vt满足基本假满足基本假设为止。设为止。 1. ECM模型的估计：两步法模型的估计：两步法01例 协整分析由于TFAI与

23、GDP序列均为I(1)，两变量同阶单整，存在协整的可能性，则我们用OLS法估计长期均衡方程（协整回归）01tttGDPTFAI然后将残差et作为均衡误差t的估计值。接着，我们用ADF检验et是否平稳，结果如下：Null Hypothesis: E has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=5) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic-1.389334 0.1478Test critical values

24、:1% level -2.692358 5% level -1.960171 10% level -1.607051 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Warning: Probabilities and critical values calculated for 20 observations and may not be accurate for a sample size of 19残差序列非平稳，因此不能认为yt，xt是(1,1)阶协整的。如果二者之间存在协整关系，我们可以尝试估计误差修正模型，大家可以找寻其他宏观经济时间序列数据进行验证操作

25、。第五节第五节* * 向量自回归（向量自回归（VARVAR）模型）模型 传统的计量经济方法是以经济理论为基础来描述变量的关系，但对于变量之间的动态联系，经济理论通常很难给出一个较好的说明。Sims于1980年提出了向量自回归模型（vector autoregressive model，简称VAR模型），VAR模型不以经济理论为基础，采用多方程联立的形式，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，进而估计全部内生变量的动态关系。VAR模型常用于预测相互联系的时间序列系统，也常用于分析随机扰动对变量系统的动态冲击，进而解释各种经济冲击对经济变量形成的影响。 一、一、VAR

26、VAR模型模型VAR模型可以表述如下： 其中yt为k维内生变量；A1，,Ap 为kk维待估计的系数矩阵； tIID(0,) （其中为k维向量t的方差协方差矩阵）；t可以同期相关，但通常不与自己的滞后值相关，也不与等式右边的变量相关；p为滞后阶。11.,1,2,.,ttptptyA yA ytT （6.5.1） 对于VAR模型的理解和特点，我们在这里给出一些简单解释。 首先，VAR模型不以经济理论为依据，在建模过程中只需要把那些相互有关的变量包括进VAR模型，同时确定滞后阶p即可； 其次，VAR模型对待估参数不施加零约束，即参数估计值不管显著与否，都保留在模型中； 再次，VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，预测是VAR模型的重要应用之一。 VAR 模型方法有以下几个明显的优点模型方法有以下几个明显的优点： 第一，它非常简单，模型工作者无需为某个变量是内生还第一，它非常简单，模型工作者无需为某个变量是内生还是外生操心。是外生操心。 第二，模型估