(新教材)人教A版必修第一册3.1.2函数的表示法

1、3.1.2函数的表示法最新课程标准：（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 .知识点一函数的表示法隼析?A用数学表达式表示两个变量之间的对应黄系状元随笔函数的&示法象可A用甦表达两个变闿之间的对应美系列出衣拉来邮;两个变量之间的对应关系1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.2.由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或 一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的 唯一的函数值y.

2、知识点二分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的 对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.状元随笔1 .分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数.2 .分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.如1, -2<x<0, =5x, 0<xW3,其“段”是不等长的.教材解难教材P68思考（1）三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析一是简明、全面地概括了变量不够形象、直观，而且并不是法间的关系；二是可以通过用解 析式求出任意一个自变量所对 应的函数值所有的函数都可以用解析式表 示列表 法不通过计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值它只

3、能表水自变量取较少的有 限值的对应关系图象 法直观形象地表不出函数的变化 情况，有利于通过图象研究函 数的某些性质只能近似地求出自变量所对应 的函数值，有时误差较大(2)并不是所有的函数都能用解析式表示(事实上，图象法也不适(0, x6 Q,用于所有函数，如D(x) = 列表法虽在理论上适用于所1, x6 ?rQ.有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段).基础自测1 .购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析 法将y表示成x(x 6 1,2,3,4)的函数为()A. y=2xB. y=2x(x R)C. y=2x(x61,2,3,) D. y=2

4、x(x 1,2,3,4)解析：题中已给出自变量的取值范围，x6 1,2,3,4,故选D.答案：D2.已知函数f(x)=x+ 1'' 则f(2)等于()1, x>1,A -1A. 0 B- 3C. 1 D. 2解析：f(2) = /2-1 = 1.答案：C3.已知函数f(2x+1) = 6x+ 5,则f(x)的解析式是()A. 3x+2 B. 3x+1C. 3x- 1 D. 3x+ 4t1解析：方法一令2x+1=t,则x=r £t 1 .f(t) = 6X-2-+5 = 3t+2. . f(x)= 3x + 2.方法二vf(2x+ 1) = 3(2x+ 1) +

5、2. . f(x)= 3x + 2.答案：A4.已知函数f(x), g(x)分别由下表给出.xg(x)1_23-2xf(x)则f(g(1)的值为.当 g(f(x) = 2 时，x=.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1) = 3,f(g(1) = f(3) = 1.由于 g(2) = 2, .f(x) = 2, .7=1.答案：1 1课堂探究题型一 函数的表示方法经典例题例1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下 的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则 较符合该学生走法的是()(2)已知函数f(x)按下表给出，满足 f(f(x)>f(3)

6、的x的值为f(x)【解析】(1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为 0.【答案】(1)D由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律【解析】(2)由表格可知f(3)=1,故f(f(x)>f(3)即为f(f(x)>1.f(x)=1 或 f(x) = 2,j=3 或 1.【答案】(2)3或1观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3),进而求出f(f(x)的值，再与 f(3)比较.方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种 方式表示函数，

7、都必须满足函数的概念.(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否 满足函数的定义.(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三 种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.跟踪训练1某商场新进了 10台彩电，每台售价3 000元，试求 售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、 图象法、解析法表示出来.10解析：(1)列表法：x/台y/元30006000900012000150001800021000240002700030000图象法：如图所示.AOOOOw元 . .3 000Q(3)解析法:y=3 000x, x£ 1,2,3

8、,，10.状元随笔本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线.另外，函数的解析式应注明定义域.题型二 求函数的解析式 经典例题例2根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(2)f(x)是二次函数,且 f(2)= 3, f(2)= 7, f(0)= 3,求 f(x).八，1【解析】(1)设t= 1, x1八、则x=1(t?0),代入f-卜1 x2'得 f(t)4 4a+2b+ c= 3,a= 2,所以 4a 2b+ c= 7,解得d b=1.1'-L_ 1(2 J'x故 f(x) = (x#0 且 x# 与). x2- 12(2)设 f(x)

9、=ax +bx+c(a#0).因为 f(2)= 3, f( 2)= 7, f(0)= 3.，1c= - 3.c= 3.1 。所以 f(x) = 2x +x3.-_ 1(1)换元法：设=3汪意新兀的范围. x(2)待定系数法：设二次函数的一般式 f(x) =ax2+ bx+ c.跟踪训练 2 (1)已知f(x2+ 2) =x4+4x2,则f(x)的解析式为,(2)已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x) = 4x1,则 f(x) =解析：(1)因为 f(x2 + 2) = x4 + 4x2=(x2 + 2)2 4,令 t = x2+2(tA2),则 f(t)=t2-4(t>2),所以 f

10、(x) = x2 4(x>2).(2)因为 f(x)是一次函数,设 f(x) = ax+b(a#0),2则 f(f(x) = f(ax+b) = a(ax+b) + b=a x+ ab+ b.又因为 f(f(x) = 4x 1,所以 a2x+ ab+ b=4x 1.a2 = 4,a = 2，a= 2,所以 解得1或lab+b=1,| b= lb=1.31 ,、一所以 f(x) = 2xw或 f(x)= 2x+1. 3答案：(1)f(x) = x2 4(xA2)1 ,、 一(2)2x鼻或2x+ 1 3(1)换元法设 x2 + 2 = t.(2)待定系数法设 f(x) =ax+b.题型三求分

11、段函数的函数值经典例题nx-1i-2(|x|<1),例 3(1)设 f(x)= 1 “一、iRx|>1)，A；B.413C- -5D.2541n-3, n>10,(2)已知 f(n) = 则 f(Lf(f(n + 5), n<10,解析(1).吗!= ；2-1 2= 3, m r 3i 14 .f金犷fc 2>矛=而故选B.判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解.(2)因为 8<10,所以代入 f(n) = f(f(n+5)中,即 f(8)=f(f(13).因为13>10,所以代入f(n) = n 3中，得f(13)=10, 故 f(8)=f(10

12、)=10-3=7.【答案】(1)B (2)7方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代 入相应的解析式求得.(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序, 层层处理.(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解.X x+ 1跟踪训练3已知f(x) =(x>0), (x= 0), (x<0),求 f(1), f(f(-1), f(f(f(1).解析：一KO, 、(一 1) = 0, .& 1) = f(0)= %-f(f(f(-1)=f(兀手兀 + 1.根据不同的取值代入不同的解析式.题型四函数图象教材P68例6例 4 给定函

13、数 f(x) = x+ 1, g(x) = (x+1)2, x6R,(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x), g(x)的图象；(2)? x R,用 M(x)表示f(x), g(x)中的较大者，记为 M(x) = maxf(x), g(x).例如，当 x=2 时,M(2)=maxf(2), g(2) = max3,9 =9.请分别用图象法和解析法表示函数M(x).【解析】(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x), g(x)的图象(图 1).(2)由图1中函数取值的情况，结合函数 M(x)的定义，可得函数 M(x)的图象(图2).由(x+1)2=x+1,得 x(x+ 1)=0.解得 x=1,或

14、x= 0.结合图2,得出函数M(x)的解析式为1r (x+ 1x< 1 ,M(x)= x x+ 1, 1<x<0, x (x+ 1x>0.状元随笔1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x);2 .结合图象，图象在上方的为较大者;3 .写出 M(x).教材反思(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线.(2)画二次函数y = ax2+bx+ c的图象时，先用配方法化成y=a(xhy+k的形式产中2a，k=竺c,确定抛物线的开口方向(a>0开口向上，a<0开口向下)、对称轴(x= h)和顶点坐标(h, k),在 对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画

15、出抛物线.(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者.跟踪训练4作出下列函数的图象：(1)y= x+1, x6 Z;(2)y= 2x2-4x- 3,0< x<3;(3)y=|1-x|.解析：(1)函数y= x+1, x£ Z的图象是直线y= x+ 1上所有 横坐标为整数的点，如图(a)所示.(2)由于0Wx<3,故函数的图象是抛物线y=2x24x3介于0Wx<3之间的部分，如图(b).x 1, x> 1 ,(3)因为y= |1-x|= <故其图象是由两条射线组成11x, x<1,的折线，如图(c).阅制©(2)先求对称轴

16、及顶点，再注意x的取值(部分图象).(3)关键是根 据x的取值去绝对值.解题思想方法数形结合利用图象求分段函数的最值例 求函数y= |x+1|+|x1|的最小值.2x, x<-1,【解析】y=|x+1|+|x1|=< 2, 1<xwi,2 2x, x>1.作出函数图象如图所示：由图象可知，x6 1,1时，ymin=2.【反思与感悟(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定 义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的 端点需不重不漏.(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪 一段的解析式.(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则

17、，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.遁时训口学独达标一、选择题1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图 象可知，A.这天15时的温度最高B.这天3时的温度最低C.这天的最高温度与最低温度相差 13 CD.这天21时的温度是30 C解析：这天的最高温度与最低温度相差为 36 22=14 C,故C 错.答案：C12 .已知f(x1)=丁，则f(x)的解析式为()x十11 _ _1+xA- f(x)= 1T B. f(x) = = 1十xx一，1，C. f(x) = 0 D. f(x) = 1+x11解析： 令 x1=t,则乂=1+1,.f

18、(t)=t+1+1 2 + t.f(x) = .x+ 2答案：Cx2,3.函数y=x；的图象的大致形状是(|x|x 角牛析：: f(x) 2* x) = 2x,x, x>0,所以函数的图象为选项A.解析：因为y=7j=冈 Ix, x<0,答案：A2x, x>0, 一一一一4.已知函数f(x) = S且 f(a) + f(1)=0,则 a 等于lx+ 1, x<0,()A. 3 B.C. 1 D.解析：当 a>0 时，f(a) + f(1) = 2a + 2=0? a=1,与 a>0 矛盾;当 aW0 日寸，f(a)+f(1) = a+1 + 2= 0? a= 3,符合题意.答案：A二、填空题x, x60, 1，值域为5 . f(x) = 的定义域为12 x, x6 (1, 2解析：函数定义域为0,1 U (1,2 =0,2.当 x6 (1,2时，f(x)60,1),故函数值域为0,1) U 0,1 = 0,1.答案：0,2 0,16 .已知函数 f(2x+1) = 3x+ 2,且 f(a)=4,则 a =.31 31解析：因为 f(2x+1) = 2(2x+1) + 2,所以 f(a)=2a+.又 f(a)=4,31a = q.3所以 2a + a= 4, 答案：317 .若 f(x) 2f( x) = 2x(x6