2018年中考常见几何模型分析

1、中考直通车数学广州分册第八章专题拓展模块分值20172016201520142013因动点产生的线段和差、周长最值问题和面积问题77与四边形有关的压轴问题1414因动点产生的等腰三角形问 题和直角三角形314因动点产生的相似问题17141714与圆有关的压轴题141417动态几何之定值最值问题141414常见几何模型173第24讲常见几何模型年份题 量分值考点题型201431全等的性质和判定（手拉手模型）选择题2016172全等的判定及其性质、旋转模型填空题、解答题【考点解读】常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几 何压轴题为主。几何模型类型较多，综合性强，

2、属于中考中重点但同样是难点的一个考点。 【考点分析】2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。2014年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质2016年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的 旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。【模型介绍】手拉手模型:1、【条件】 如图两个等边三角形 AABD与ABCE,连结AE与CD , 【结论】(1) ABEE=DBCC(2) AE = DC'(3) AE与DC之间的夹角为60 口(4) AE与DC的交点设为H,BH平分 AHC2、【条件】如图两

3、个等腰直角三角形ADC与EDG，连结 日AG,CE,二者相交于点H o I【结论】(1)AADG主ACDE是否成立？<(2) AG=CE(3) AG与CE之间的夹角为90：(4) HD是否平分/AHE ?旋转模型： I / 1一、邻角相等对角互补模型.44F【条件】如图，四边形 ABCD中，AB=AD,.BAD =. BCD =90【结论】/ACB=/ACD =45。BC+CD = &AC ABBC角含CG B eCD角含半角模型：全等笔角要旅转：构造两次全A【条件】：如图，点 E、F分别是正方形 连接EF ;AABCD 的边 BC、CD 上的点，/EAF=45口，【结论】（1）

4、 aage三匕afe(2) EF = BE +FD ;一线三等角模型：【条件】 一条直线同一侧三个相等的角（如图）；【结论】/XABCs/XCDE1、锐角形一线三等角2、直角形一线三等角3、钝角形一线三等角【真题拾遗】1. （2014?广州）如图，四边形 ABCD CEFGTB是正方形，点 G在线段CD上，连接BG DEL, DE和FG相交于点 Q 设AB=a CG=b（a>b）.下列结论：4 BC8 DCEBGL DE nrn=;（a-b） 2?SAEF0=b2?SA DGQ其中结论正确的个数是（）GC CEA. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. (2016?广州)如图，正方形

5、ABCD勺边长为1, AC BD是对角线.将 DCB绕着点D顺时针旋转45°得到 DGH HG AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论：四边形 AEGF菱形 AE阴 GED/ DFG=112.5° BC+FG=1.5三、解答题3. (2011广州中考)如图 1,。中AB是直径，C是。上一点，/ ABC=45 ,等腰直角三角形DCE中/ DC比直角，点 D在线段AC上.(1)证明：B、C、E三点共线；(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=5OM(3)将4 DC璘点C逆时针旋转a (0° V a <90° )后，记

6、为 D1CE1 (图2),若 M1是 线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM健否成立？若是，请证明；若不是， 说明理由.图1图24. (2016广州中考)如图，点 C为4ABD的外接圆上的一动点(点 C不在位上，且不与点 B, D 重合),/ ACB4 ABD=45(1)求证：BD是该外接圆的直径；(2)连结CD求证： 亚 AC=BC+CD(3)若 ABC关于直线AB的对称图形为 ABM连接DM试探究DM, AM, bM三者之间满参考答案一、选择题1、C考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.分析：由四边形ABC加四边形CEF兆正方形，根据正方形的

7、性质，即可得 BC=DC CG=CE / BCDW ECG=90 ,则可根据 SAS证得BC0 DCE然后根据全等三角形的对应 角相等，求得/ CDE+Z DGH=90 ,则可得BHL DE,由 DGF与 DCE相似即可判定 错误，由 GOLD! FOE相似即可求得.解答：证明：二,四边形 ABCDf口四边形CEFG正方形，BC=DC CG=CE / BCDh ECG=90 , / BCGW DCE在 BCG DCE 中， rBC=DCtCG=CE.BC摩 DCE(SAS ,. BC8 DCtE .CBGh CDE 又/ CBG廿 BGC=90 , ./ CDE+ DGH=90 , . . /

8、 DHG=90 ,. BH! DE;四边形 GCE陛正方形，GF/ CE,的 误错, 是GOCEGOCE一一 一一DGDCDGGC DC/ EF, / GDO=OEF. 2=坐2=(22hEF 审/ GOD= FOE 1 OGDo OFEb ) 2=, ( a b) ?SAEF(=b ?SaDGO 故应选BJyeg空 口点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直 角三角形的判定和性质.二、填空题2、考点：三角形全等、三角形内角和、菱形分析：首先证明 AD段4GDE再求出/ AER/AFE/GEF/GFE勺度数，推出AE=EG=FG=AF 由此可以一一判断.

9、解答：证明：四边形 ABC比正方形，AD=DC=BC=ABZ DAB4 ADC= DCB= ABC=90 , / ADB玄 BDCh CAD= CAB=45 ,. DHG 由 DBCI 转得到，DG=DC=ADZ DGE=/ DCBW DAE=90 ,在 RTAADE和 RTA GDE中，f限DE ,DA=DG .AEN"ED 故正确,，/ ADEh EDG=22.5° , AE=EG /AEDh AFE=67.5° , . . AE=AF 同理 EG=GF AE=EG=GF=FA 四边形AEGF是菱形，故正确， / DFGh GFC廿 DFC=/ BAC+Z D

10、AC廿 ADF=112.5° ,故正确. AE=FG=EG=B GBE小, AE, . BE> AE,AE<, . CB+FR 1.5,故错误点评：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三 角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型.三、解答题3、考点：（1）三点共线 （2）中位线、全等三角形（手拉手性质）（3）同（2）分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角得到/BCA=90 , /DCE是直角，即可得到/ BCA+/ DCE=90 +90° =180° ;（2）连接B

11、D, AE, ON 延长BD交AE于F,先证明 RtBC里RtAACE得到BD=AE/ EBDhCAE则/ CAE+Z ADF=Z CBD廿BDC=90 ,即 BD± AE,再利用三角形的中位1 工线的性质得到 ON=BD OM=：AE, ON/ BD, AE/ OM 于是有 ON=OM ONL OM 即 ONM 为等腰直角三角形，即可得到结论；（3）证明的方法和（2） 一样.解答：（1）证明：.AB是直径， ./ BCA=90 ,而等腰直角三角形 DCE中/ DCN直角， ./ BCA吆 DCE=90 +90° =180° ,B、C、E三点共线；（2）连接BD,

12、 AE, ON延长BD交AE于F,如图1, CB=CA CD=CE Rt BCtD RtAACEBD=AE / EBD=Z CAE ./CAE吆 ADF=/ CBD吆 BDC=90 ,即 BF± AE, 又二 M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而 O为AB的中点，一11 一ON = - BD , OM = - AE , ON/ BD, AE/ OM 22 .ON=OMONL OM即 ONM等腰直角三角形，MN= OM（3）成立.理由如下：如图 2,连接 BD1, AE1, ON1, /ACB- / ACD14 D1CE1- / ACD1 / BCD1至 ACE1 又 CB=CA

13、 CD1=CE1 .BCDH ACE1,与（2）同理可证 BD1XAE1, ON1M伪等腰直角三角形，从而有 M1N1= -：OM1国2图1点评：本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质，熟练掌握手拉手模型，作为本题切 入点，可以非常顺利的解决本题。4、考点：圆的相关概念、等腰三角形、截长补短（旋转模型性质）、勾股定理分析：（1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明/BAD是直角即可，又因为/ABD=45 ,所以需要证明/ ADB=45 ;（2）在CD延长线上截取DE=BC连接EA只需要证明 EAF是等腰直角三角形 即可得出结论；（3）过点M作MN M叶点M,过点A作AF± MA

14、于点A, MF与AF交于点F,证明 AMF等腰三角形后，可得出AM=AF MF=巧AM然后再证明 ABFADMP得出BF=DM最后根据勾股定理即可得出DM2 AM2 BM2三者之间的数量关系.解答：解：（1） AE=AE,，/ACB4 ADB=45 , ,/ABD=45 ,Z BAD=90 ,BD是 ABD7卜接圆的直径（2）在CD的延长线上截取 DE=BC 连接 EA,/ ABDh ADBAB=AD . /ADE+/ ADC=180 ,Z ABC-+Z ADC=180 , . . / ABC4 ADE在ABC与 ADE中，fAB=AD, ZABC=ZADEBC=DE ,.ABe ADE （S

15、AS, ./BACWDAE / BAC-+Z CADh DAE+Z CAD，/ BAD= CAE=90 ,， T=AE，/ACDhABD=45 ,. CAE是等腰直角三角形，比 AC=CE比AC=CD+DE=CD+BC（3）过点M作MFL MB于点M,过点A作AF± M-点A, MF与AF交于点F,连接 BF, 由对称性可知：/ AMB=ACB=45,/ FMA=45 , AMF是等腰直角三角形，AM=AF MF= ' AM/ MAF吆 MAB= BAD吆 MAB./ FAB=Z MAD在AABFA ADM43,'AE 二 AM, ZFAB=ZlIADAB = AD,

16、.ABF ADM (SAS),BF=DM 在 Rt BMF中，BM2+MF2=BF2 BM2+2AM2=DM2点评：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与 判定，勾股定理等知识，熟练掌握旋转模型的特征和性质，作为本题切入点，构造出 等腰直角三角形，方向明确，减小了本题的难度。【模拟演练】一、选择题1、 （2014番禺华附一模）如图 2,在矩形ABC由，E为AD的中点，EFL EC交边AB 于F,连FC,下列结论不正确 的是（D ）.A. AB>AE,AAEF DCEC. AEfF ECFD.AAEF与BFCT可能相似2、（2017十六中一模）如图，边长

17、为1的正方形ABCM对角线AC BD相交于点O.有直角/ MPN使直角顶点P与点O重合，直角边 PM PN分另1J与OA OB重合，然后逆时针旋转 /MPN旋转角为0 （0° < 0 <90° ） , PM PN分别交AR BC于E、F两点，连接 EF交OB 于点G,则下列结论中正确的是 （C ）.(1) EF= OE（2） S四边形oebE S正方形abc=1： 4;(3)BE+BF= OA;在旋转过程中，当BEF与 COF勺面积之和最大时,AE=(5)OGBD=AE+cF2.A. (1) (3)(4) (5)B.(2) (3) (4)(5)C. (1) (2

18、) (3) (5)D.(1) (2) (3)(4)二、填空题3、（2016黄埔区一模）如图6,已知AABC和AAED均为等边三角形，点 D在BC边上,DE与AB相交于点F ,如果AC =12 , CD =4 ,那么BF的长度为 .刃图6 U三、解答题4、（2016荔湾区一模）如图，正三角形 ABCft接于。O, P是弧BC上的一点（P不与点 已C重合），且PB<PC, PA交BC于E,点F是PC延长线上的点，CF =PB , AB = JT3,PA =4.(1)求证 MBP 色 MCF ;(2)求证 AC2 = PA AE ；(3)求PB和PC的长.5、(2016海珠区一模)已知正方形

19、ABCDF口正方形 CEFG连接AF交BC于。点，点P是AF的中点，过点 P作PHL DG于H , CD=2 CG=1(1)如图1,点D、C G在同一直线上，点 E在BC边上，求PH得长；(2)把正方形 CEF凝着点C逆时针旋转。(0° va<180° )如图2,当点E落在AF上时，求CO勺长；如图3,当DG*7时，求PH的长。36、(2017 一中一模)已知抛物线 G: y = ax + bx -3(a # 0)经过点 A (1, 0)和 B (-3, 0(1)求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；(2)如图1,把抛物线Ci沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物

20、线 G,此时点A C分别 平移到点D, E处.设点F在抛物线C1上且在x轴的上方，若 DEF是以EF为底的等腰直角 三角形，求点F的坐标；(3)如图2,在(2)的条件下，设点 M是线段BC上一动点，ENI± Eg直线BF于点N,点 P为线段MN中点，当点M从点B向点C运动时：tan /ENM勺值如何变化？请说明理由； 点M到达点C时，直接写出点 P经过的路线长.参考答案1、D考点：相似三角形、三角形内角和(一线三直角)分析：利用等角的余角相等得到/ AFE=Z DEC则根据有两组角对应相等的两个三角形相似得至ij RtAAEF RtA DCtE 由相似的性质得 CD AE=DE AF

21、,而 CD=AB DE=AE 贝U AB: AE=AE AF,即 AE2=ABAF,利用 AF< AB,得到 AB> AE;再利用 RtAAEF RtDCE得 至ij EF: EC=AF DE把 DE=AER；入彳导至U EF: EC=AF AE,根据比例性质得 EF: AF=ECAE,加上/ A=Z FEC=90 ,则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到 AEF AECF;由/EFCw 90°可判断 AED BFC相似不成立，而当/ AFE二 / BFC时，可判断 AED BCF解答：，/AEF吆 DEC=90 , / AEF+/ AFE=90

22、76;, . . / AFE=Z DEC RtAAEF Rt DCE; . CD:AE=DE:AF -E 为矩形 ABCM 边 AD 的中点，CD=AB DE=AEAB:AE=AE:AF,即 AE2=AB>AF,而 AF?AB, . .AEPAE; RtAAEF RtDCE，EF:EC=AF:DE 而 DE=AE . EF:EC=AF:AE 即 EF:AF=EC:AE : / A=/ FEC=90 , . .AEM ECF;EFO 90°AEF BFC相似不成立，但当/ AFE=Z BFC 日f, AED BCF.故选 D.点评：此题为非常明显的考查相似三角形知识点，根据一线三

23、等角模型特征快速得出答案。2、C考点：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质分析：由四边形 ABC虚正方形，直角/ MPN易证得 BO瞌 COF(ASA ,则可证得结 论；1-由(1 )勿证信 S四边形OEBF = SA BOC = - SH边形ABCD ,4则可证得结论；首先设 AE=x,则BE=CF=1-x, BF=x,继而表示出 BEF与 COF勺面积之和，然后 利用二次函数的最值问题，求得答案；易证得 OEaAOBE然后由相似三角形的对应边成比例，证得 OGOB=OE2再禾1J 用OB与BD的关系，OE与EF的关系，即可证得结论.解答：二.四边形 AB

24、C虚正方形，OB=OC/ OBE= OCF=45, / BOC=90,. / BOF-+Z COF=90 ,. / EOF=90 , .BOF叱 COE=90, . . / BOE= COF在 BO臣口 COF中，/ BOEW COF OB=OC/ OBEW OCFBO®COF(ASA),. OE=OF BE=CFEF=2 .2 OE;故正确；. G二G 4.Q 二 G u-Q 二 G 二1 G 一°S四边边 OEBF SZBOE +SABOESABOE + SACOFSABOCS正万形 ABCD4SI边边OEBF ： S正方形ABCD = 1： 4 ；故正确;过点 O作

25、OHL BC,BC=1,OH=12BC=12设 AE=x,贝U BE=CF=-x, BF=x,111111 o 9-1 SABEF + SACOF =_ BE*BF + -CF*OH = - x(1-x) +-(1 -x)X- = (x-14)+,22222 232a二-12<0,当 x=14 时，SABEF + S/xcof 最大；即在旋转过程中,当4 3£5与 COF勺面积之和最大时，AE=14;故错误； / EOGW BOE,/ OEG=OBE=45, . OED OBEOE:OB=OG:O EOG OB = OE2, .- OB=1 BD,OE=2 2 EF,2OG B

26、D = EF2, .在 BEF中，EF2 = BE2 + BF2,2_ 22 EF =AE +CF , OG BD = AE 2 + CF2.故正确。故选C.点评：从图形上看是一个比较复杂的题，但是实际题目难度并不是很大，利用对角互补旋转 模型结论再结合个够定理就能解决此题。3、83考点：相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质分析：先利用等边三角形的性质得到/C=Z ADEM B=60° , AB=BC=AC=12再利用三角形外角性质证明/ BDF=/ CAD则可判断 DBD AACED然后利用相似比计算 BF的长.解答：，/C=/ ADE4 B=60 , AB=BC=AC=12

27、/ ADBh DAC廿 C,而/ ADB= ADE+ BDF / BDF4 CAD . DBS ACDBF:CD=BD:AC即 BF:4=8:12,解得 BF=8.3故答案为8 .3点评：此题利用对角互补旋转模型推导过程得到应结论，再利用相似解决第(2) (3)问4、考点：圆周角定理，等边三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角对于（1）,先根据等边三角形的性质得到AB=AC再利用圆的内接四边形的性质得/ACF=/ABP,根据“ SAS'即可得证；对于（2）,先根据等边三角形的性质得到/ ABCWACB=60 ,再根据圆周角定理得 /APChABB=6

28、0 ,加上/ CAE=Z PAC于是可判断 AC匕 APG然后利用相似比 即可得到结论；1332,对于（3）,先利用AC = PA AE计算出AE= 4 ,则PE=AP-AE=4 ,再证 APF为等边三角形，得至IJ PF=PA=4贝U有PC+PB=4接着证明 ABW4CEP得至U2PB- PC=PE- AP=3,然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x -4x +3 = 0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长.解答：（1）证明：二.正三角形 ABC内接于。0, AB=AC.2 .四边形ABPE圆的内接四边形， ./ ACF= / ABP.在 ABP和 ACF中，AB = AC

29、ABP = / ACFBP = CF.AB国 ACF.（2）证明：二.正三角形 ABC内接于。0,/ ABC= / ACE=60 ,/ APC= / ABC=60 ,3 / ACE= APC/ CAE= PAC . AC曰 APCAE:AC=AC:APAC2 = PA *AE .(3) ac2=pa，ae , ab=ac13AE = AB ,AP = 一，4133PE = AP-AE =4- - =,44AB国 ACF / APB4 F=60° .而/ APC=60 , . APF为等边三角形，PF=PA=4PC+CF=PC+PB=4. / BAP4 PCE / APB=Z APC

30、. ABS CEPPB:PE=AP:PCPB- PC=PE- AP=3 X 4=3.4 PB+PC=4 . PB和PC可看作方程x24x+3=0的两实数解，解此方程得 x1=1,x2=3. PB< PC,PB=1, PC=3点评：此题为标准手拉手模型，所以除了相似三角形得出答案，还能利用手拉手模型性质解 决。5考点：梯形中位线、相似三角形、勾股定理、全等三角形(一线三直角)分析：先判断出四边形 APGF梯形，再判断出 PH是梯形的中位线，1PH = 1 (FG +AD)得到 2；(2)先判断出 CO9 AOtB得到AO是CO的2倍，设出CQ表示出BQ AO再 用勾股定理计算，先找出辅助线

31、，再判断出AR里 DSC CS(GGTF，求出AR+FT最后用梯形中位线即可.解答口 (1)PH ±CD, AD±CDPH/ AD/ FG 点P是AF的中点,，PH是梯形APGF勺中位线，1 -3PH = (FG +AD)=-, 22(2). / CEO= B=90° , / COEW AOB . COP AOBCOAO=CEA BCOAO=12设 CO=xAO=2x BO=2x,在 ABO43,根据勾股定理得，4+ (2 - x)2 = (2x) 2 ,2,7 -2-2 7 -2（舍），x =或 x = " CO=x=x =2<7 -23如图3,

32、分别过点A, C, F作直线DG的垂线，垂足分别为 / ADR它 CDS=90, / CDS廿 DCS=90 , / ADRh DCS / ADRh CSD=90 , AD=CD .ARN DSCAR=DS同理： CS8AGTF,SG=FTAR+FT=DS+SG=DG7同（1）的方法得，PH是梯形ARTF的中位线, PH = 1(AR + FT)= 722点评:此题利用梯形中位线性质解决第(1)问，第(2)利用相似结合勾股定理这中常用方 法求长度，第(3)问构造一线三直角模型解决问题。6、考点：分析：二次函数、等要直接三角形、相似三角形(一线三直接)、三角函数、中位线 (1)根据解析式求出坐标；(2)根据等腰三角形的性质，EF=J2DF求出EF的长度，再根据抛物线与直线纵坐标差值求出答案。(3)根据答案需要求的正切值转换为相似比，再根据已知的两个直角构造出一线 三直接模型，相似比为定值，初中能解决的路径不是线段就是弧长，有关键位置分 析可知轨迹为三角形中位线。23解：(1) .抛物线 G: y =ax2 +bx-(a #0)经过点 A (1, 0)和 B (-3 , 0),3,a b - 二 01a =一2 解得2 ,39a -3b - - =0 b=12