浙江中考数学复习练习：专题十一几何、代数最值问题

1、专题几何、代数最值问题类型1利用对称、线段公理求最小值1. (2017临沂)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y = k(x>0)的图象与边长是 6x的正方形OABC的两边AB , BC分别相交于 M, N两点， OMN的面积为10.若动点P在x轴上，则 PM + PN的最小值是(C )A. 6V2 B. 10 C. 2V26 D. 2a解：由已知得 M(6,k), N(k, 6), BN =6-k, BM =6-k, -.OMN 的面积为：6X6 6666-X 6xk-X6Xk-1X(6-k)2=10, .k=24,M(6 , 4), N(4, 6),作 M 关于 x 轴的26 26

2、 26对称点 M ,连接NM交x轴于P,则NM的长=PM + PN的最小值，= AM = AM = 4,BM= 10, BN =2, NM =1BM 2+ BN2 =102 + 22 = 2726.22. (2017枣庄)如图，直线y=gx+4与x轴、y轴分别交于点 A和点B,点C、D分别 为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+ PD值最小时点P的坐标为(C )A. (-3, 0) B. (-6, 0)3_5C. (-2, 0) D. (-2, 0)解：(方法一)作点D关于x轴的对称点D',连接CD交x轴于点P,此时PC + PD值最 小，如图1所示.可求点 B(0, 4)

3、; A(-6, 0).点C、D分别为线段 AB、OB的中点，点 C( 3, 2),点D(0 , 2).二点D'和点D关于x轴对称，点 D'的坐标为(0, 2).设直线CD的解析式为y=kx+b, 直线CD44过点C(-3, 2), D' (0 2),可求CD的解析式为y= §x2.令y=1一2中y=0,则0=4x 2,解得：x=3，点P(-|, 0).(方法二)连接CD,作点D关于x轴的对称点322D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小，如图2所示.A3. (2017贵港)如图，在 RtA ABC中，Z ACB =90 °

4、,将 ABC绕顶点C逆时针旋转得 到B',CM是BC的中点，P是A' B勺中点，连接 PM.若BC=2, Z BAC =30°,则线段 PM的最大值是(B )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解：如图连接 PC在RtABC中，,一/ A=30°, BC=2,，AB = 4,根据旋转不变性可1一知，AB=AB = 4,AP=PB, . PC=2AB= 2, / CM = BM = 1 ,又PM W PC +CM ,即PM<3,PM的最大值为 3(此时P、C、M共线).4. (2017荷泽)如图，矩形 ABOC的顶点A的坐标为(一4, 5), D是OB

5、的中点，E是OC上的一点，当 ADE的周长最小时，点 E的坐标是(B )A. (0, 4) B- (0，5) C. (0, 2) D. (0,斗解：作A关于y轴的对称点 A',连接A'D交y轴于E,则此时， ADE的周长最小，.四边形 ABOC 是矩形，AC/OB, AC = OB, .A 的坐标为(一4, 5),，A' (4 5), B(4, 0), D是OB的中点，D(-2, 0),设直线DA的解析式为y=kx+b,可求直线DA的解析式为 y=|x + 5,当 x=0 时，y=5,E(0, 5).63335. (2017天水)如图所示，正方形 ABCD的边长为4,

6、E是边BC上的一点，且 BE=1, P是对角线AC上的一动点，连接 PB、PE,当点P在AC上运动时， PBE周长的最小值 是 6.解：连接DE于AC交于点P',连接BP,则此时 BP E的周长就是 PBE周长的最小 值， BE=1, BC = CD=4, CE=3, DE = 5, . BP + P'肚 DE=5, .PBE 周长的最 小值是5+1 = 6.6. (2017徐州)如图，将边长为 6的正三角形纸片 ABC按如下顺序进行两次折叠，展 平后，得折痕 AD , BE(如图1),点。为其交点.(1)探求AO与OD的数量关系，并说明理由;(2)如图2,若P, N分别为BE

7、, BC上的动点.当PN + PD的长度取得最小值时，求 BP的长度；如图3,若点Q在线段BO上，BQ=1,则QN+NP + PD的最小值=恒B D C BN D C END Cffil图2图3解：(1)AO =2OD,理由：. ABC 是等边三角形，./BAO =/ABO =/ OBD = 30°, .AO = OB, BD = CD, AD ± BC, . . / BDO = 90°,，OB = 2OD, . . OA = 2OD ;(2)如图2,作点D关于BE的对称点 D',过D'作D' N± BC于N交BE于P,则此时PN

8、+ PD的长度取得最小值， BE垂直平分 DD ,，BD = BD, ,/ABC =60°,， BDD 是等边三角形，BN=1BD = 3, . / PBN=30°, -BN=, .PB = V3;22PB 2B N D 图之，涉。匚 图3(3)如图3,作Q关于BC的对称点Q',作 的长度即为 QN + NP+PD的最小值.D关于BE的对称点D',连接Q' D'则D' Q'在 RtAD' BQ中,D' QJ，32+ 12 =木0. . QN + NP+PD 的最小值= 巾0.类型2利用函数性质求最值7. (20

9、17济宁)已知函数y= mx2 (2m 5)x+ m 2的图象与x轴有两个公共点.(1)求m的取值范围，并写出当 m取范围内最大整数时函数的解析式;(2)题(1)中求得的函数记为Ci,当nW xw 1时，y的取值范围是1 w yw 3n,求n的值;函数C2： y=m(x h)2+k的图象由函数 C1的图象平移得到，其顶点 P落在以原点为 圆心，半径为 乖的圆内或圆上，设函数 。的图象顶点为 M,求点P与点M距离最大时函 数C2的解析式.解：(1)二.函数图象与x轴有两个交点，mw0且(2m 5)24m(m2)>0,解得:252m<72且mw0m为符合条件的取大整数，m=2.，函数的

10、解析式为 y=2x+x. b 11(2)抛物线的对称轴为 x=石=4nwxw14, a= 2>0,，当 nWxW1 时， y随x的增大而减小.，当x= n时，y= 3n. 2n2+ n= 3n,解得n = 2或n = 0(舍去).，n 的值为一2.y=2x2+x= 2（x + ：）211, . M（ 1, 一 $ .如图所示:当点P在OM与。O的交点处时，PM有最大值.设直线 OM的解析式为y = kx,将点M的坐标代入解得：k= 2. -. OM的解析式为y=/x.设点P的坐标为(x, %).由两点间的距 离公式可知：OP=Ax2+ (%) 2 =5,解得：*=2或*=一2(舍去).点

11、P的坐标为(2, 1). .当点P与点M距离最大时函数 C2的解析式为y = 2(x 2)2 + 1.8. (2017毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A( 1, 0),B(4, 0), C(0, 4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P,使 POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时， PBC面积最大，求出此时 P点坐标和 PBC的最大面 积.解：(1)抛物线解析式为y=x2-3x-4;(2)作OC的垂直平分线 DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点 P,如图1, PO = PC,此时P点即为满足条件的点，丁 C(0, - 4), D(0, 2), P点纵坐标为一2,代 入抛物线解析式可得 x2-3x-4=-2,解得x：322严(小于0,舍去)或xrH7，存 在满足条件的P点，其坐标为(3d1卢，一2);图1图2t-4),PF= (t-4)-(t2- 3t- 4)