一元二次方程提升专题培训(含问题详解)

1、实用文档第三讲：一元二次方程的综合应用（10月5日）1.如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设 a=1,则b=（augusi & 9文案大全2 .如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3X3个位置相邻的9个数（如6, 7, 8, 13,14, 15, 20, 21, 22）.若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为（）A. 32B . 126 C . 135 D . 1443 .如图，矩形ABCD勺周长是20cm,以AB, AD为边向外作正方形 ABE林口正方形 ADGH若正方形 ABEF2和ADGH勺面积之和68cm,那么矩形ABCD

2、勺面积是（A. 21cm2B . 16cm2C . 24cm2D . 9cm24 .如果关于x的方程（m- 2） x2-2 （mr 1） x+m=0只有一个实数根，那么方程 mX- （ m+2 x+ （4-m =0的根的情况是（）A.没有实数根B .有两个不相等的实数根C有两个相等的实数根D .只有一个实数根5 .若a, b, c为三角形三边，则关于x的二次方程x2+ （a-b） x+c2=0的根的情况是（）4A.有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C没有实数根D .无法确定6 .已知民,B是关于x的一元二次方程x2+ （2m+3 x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1 +，= 口

3、 P-1,则m的值是（）A. 3B . 1 C.3 或-1 D 3或 17 .若4ABC的一边a为4,另两边b、c分别满足b2 - 5b+6=0, c2 - 5c+6=0,则AABC的周长为（）A. 9B . 10 C . 9 或 10 D . 8 或 9 或 108 .已知 a + a 1=0, B + B 1=0,且则 aB+a+B 的值为（）A. 2C . - 1 D . 09.若 a?且有 2a2+5a+1=0, b2+5b+2=0,则 2+也+”但的值为(10.设a, b是方程x2+x- 2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为(A. 2006 B . 2007C. 2008

4、 D. 200911.设B 是方程 x2+9x+1=0 的两根，WJ (a 2+2009 a +1) ( B 2+2009 P +1)的值是(A. 012.若A. 1C . 1 或-7 D . 7 或-113.如果关于x的方程x2-2 (1-k) x+k2=0有实数根B ,则a+B的取值范围是(A. aB. a.解答题(共3小题)14.等月gABC的直角边AB=BC=10cm点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t , PCQ勺面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式;(2)

5、当点P运动几秒时，Sapc(=SABC?B . 1 C . 2000 D . 4 000 000Xi、x2是关于x的方程x2+bx3b=0的两个根，且xi2+X22=7.那么b的值是(3)作P已AC于点E,当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.15 .某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了 200件；第 二个月如果单价不变，预计仍可售出 200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查， 单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩 余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40元，设第二个

6、月单价降低x元.（1）填表：（不需化简）时间第一个月第二个月清仓时单价（元）8040销售量（件）200（2）如果批发商希望通过销售这批 T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元?16 .已知x1，X2是一元二次方程4kx2- 4kx+k+2=0的两个实数根.（1）是否存在实数k,使（2x1-x2）（x1-2x2）二-,成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由.（2）求使红2-2的值为整数的实数k的整数值.17 .已知关于 x 的方程 x2 (2k+1) x+4 (k-1) =0.2(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为

7、相反数？若能找到，求出 k的值；若不能，请说 明理由.(3)当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求 ABC的周长.18 .阅读材料: 已知p2-p-1=0, 1-q-q2=0,且pqwl,求生旦的化解：由 p2p1=0及 1 q q2=0,可知 pw0, qw0. 又pqw 1, . . q1-q-q2=0可变形为己-)2-(与-1=0的特征.所以p与工是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数 q qQ根. 贝=1,pq+二根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m2-5mi- 1=0,且 nrn n.求：的值.nz nUi n参考答案与试题解析1

8、.如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设 a=1,则b=(图1ABC222【分析】根据左图可以知道图形是一D.【I个正方形，边长为(a+b),右图是一个长方形，长宽分别为(b+a+b)、b,并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b) 2=b (b+a+b),而a=1,代入即可得 到关于b的方程，解方程即可求出b.【解答】解：依题意得(a+b) 2=b (b+a+b),而 a=1,.b2- b- 1=0,土产,而b不能为负,2.b=l*5 .2故选B.【点评】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系,然后利用数量关系列出方程解决问题.2.如

9、图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3X3个位置相邻的9个数(如6, 7, 8, 13,14, 15, 20, 21, 22).若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为( ) Augusi 0 9A91il1?答?2X苒联22|<7« tt21T llaalg 就JJ19A. 32 B. 126 C, 135 D. 144实用文档【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的 9个数，最大数与最小数的差为16,以及利用最大数与 最小数的积为192,求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可.【解答】解：根据图象可以得出，圈出的 9个数，最大数与最

10、小数的差为16,设最小数为：x,则最 大数为x+16,根据题意得出：x (x+16) =192,解得：x1二8, x2=-24,(不合题意舍去)，故最小的三个数为：8, 9, 10,下面一行的数字分别比上面三个数大 7,即为：15, 16, 17,第3行三个数，比上一行三个数分别大 7,即为：22, 23, 24,故这 9 个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144故选：D.【点评】此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的 差为16是解题关键.3.如图，矩形ABCD勺周长是20cm,以AB, AD为边向外作正方形 ABE林口正方形

11、 ADGH若正方形 ABEF和ADGH勺面积之和68cm2,那么矩形ABCD勺面积是()E B CA. 21cm2 B. 16cmC. 24cm2 D. 9cm2【分析】本题可设AB=xcm AD= (10-x) cm,则正方形ABEF勺面积为x2cm2,正方形ADGH勺面积为 (10-x) 2cm2,进而结合题意，可列出方程，求得答案.【解答】解：设AB=xcm AD=(10-x) cm,则正方形ABEF勺面积为x2cm,正方形ADGH勺面积为(10-x) 2cm2,根据题意得x2+ (10-x) 2=68整理得 x2- 10x+16=0解之得Xi=2, x2=8所以 AB=2cm AD=8

12、cmm£ AB=8cm AD=2cm2综上可求矩形ABCD勺面积是16cm.故选B【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，在利用一元二次方程解决实际问题时，要根据实际问 题对解进行取舍.4.如果关于x的方程(m- 2) x2-2 (m- 1) x+m=0只有一个实数根，那么方程 mX- ( m+2 x+ (4-m =0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等白实数根 D.只有一个实数根【分析】由关于x的方程(m- 2) x2-2 (m- 1) x+m=0只有一个实数根，则它为一元一次方程，所以m- 2=0,即m=2把 m=2代入方程 m>2 - (m

13、+2 x+ (4-m =0得2x2- 4x+2=0,并且可计算出 =0,由此可判断根的情况.【解答】解：二,关于x的方程(m- 2) x2 - 2 (m-1) x+m=0只有一个实数根，m- 2=0,即 m=2则方程 mx- (m+2 x+ (4-项=0 变为：2x2 - 4x+2=0,.2_ =4 -4X 2X2=0,所以方程有两个相等的实数根.故选C.【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0, a, b, c为常数)根的判别式.当4> 0,方 程有两个不相等的实数根；当 =0,方程有两个相等白实数根；当< 0,方程没有实数根.也考查 了一元一次方程和一元二

14、次方程的定义.5.若a, b, c为三角形三边，则关于x的二次方程x2+ (a-b) x+c2=0的根的情况是(4A.有两个相等白实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【分析】先求出 =b2-4ac,再结合a, b, c为三角形的三边，即可判断根的情况.【解答】解：= x2+ (a - b) x+c2=0,A=b2 - 4ac=Q-b) 2-4X J= (a- b) 2- c2= (a- b- c) (a - b+c). a, b, c为三角形三边, . b+c>a, a+c>b a- b- c<0, a- b+c>0(a-b-c) (a-b+c)

15、<0, 文案大全即二次方程la2+ (a-b) x+c2=0无实数根. 4故选C.【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系.6.(非课改)已知a, B是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3 x+m=0的两个不相等的实数根，且 满足2_+_= - 1,则m的值是()A. 3 B. 1 C 3 或-1 D. - 3或 1【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得4> 0,由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数 的关系和一+-=-1,可以求出m的值，最后求出符合题意的 m®.a p【解答】解：根据条件知：2a+B =- ( 2m+3 , a B =m,

16、1，P + Q -(加+3)_ 1.石干，=2=7，尸 L ID即 m2 2m 3=0,r 2_/日 印 一2m一3二0所以，得，二(2时3 产-4m，>0解得m=3故选A.【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力.一元二次方 程根的情况与判别式的关系：(1) A>0?方程有两个不相等的实数根；(2) A=0?方程有两个相等的实数根；(3) < 0?方程没有实数根.2、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根与系数的关系为：xI+x2=-上，x1？ x2. aa7 .若AABC的一边a为4,另两边b、c分别满足b2 - 5b+6=0

17、, c2 - 5c+6=0,则AABC的周长为()A. 9 B. 10 c 9 或 10 D. 8 或 9 或 10【分析】由于两边b、c分别满足b2 - 5b+6=0, c2- 5c+6=0,可求出b, c的值，而 ABC的一边a为4,由此即可求出 ABC勺一边a为4周长.【解答】解：二,两边b、c分别满足b2- 5b+6=0, c2 - 5c+6=0,解得：b=3或2, c=2或3,实用文档 ABC的一边a为4,若b=c,则b=c=3或b=c=2, 1 2+2=4,所以三角形不成立，故 b=c=3.ABC的周长为 4+3+3=10若bwc,. ABC的周长为4+5=9.故选C.【点评】此题

18、主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周长结合起来，利用三角形三边关系得出 是解题关键.8 .已知 a + a 1=0, B + B 1=0,且则 aB+a+B 的值为（）A. 2 B, - 2 C. - 1 D. 0【分析】由于a2+a- 1=0,-1=0,且a WB,所以a, B是方程x，x-1=0的两个根，则a+0 = - 1, a0=- 1 ,代入a 0 + a + 0即可求出其值.【解答】解：: a之+/ 1=0, B 2+B 1=0,且a W B ,. a , B是方程x2+x - 1=0的两个根，贝U a + B =- 1 ,a B =- 1 ,代入 a 0 + a + 0= -

19、 1-1 = - 2.故选B.【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.9.若 a? bw1,且有 2a2+5a+1=0, b2+5b+2=0,贝U 2心+后的值为（）A.- B -C.- D 2233【分析】根据已知条件“若 a? bw1,且有2a2+5a+1=0, b2+5b+2=0"知，-> b可以看成是关于x的 a一元二次方程x2+5x+2=0的两根；然后根据韦达定理求得 x1? x2=2,即工？ b=2, . a4；再将其代入a2所求的代数式求值即可.【解答】解：V 2a2+5a+1=0,+5X +2=0;/ a又 = b2+5b+2=0

20、,> b可以看成是关于x的一元二次方程x2+5x+2=0的两根； a由韦达定理，得文案大全Xi? X2=2,即-? b=2, aa=22 .2故选A.【点评】此题主要考查了根与系数的关系、 二次根式的化简求值.解答此题时，不要忽视了条件a? b wl.若在方程2a2+5a+1=0的两边同时乘以2时，那么2a、b可以看成是关于x的一元二次方程 x2+5x+2=0 的两根，则 a? b=1.10.设a, b是方程x2+x- 2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为()A. 2006B. 2007 C. 2008 D. 2009【分析】由于a2+2a+b= (a2+a) + (a+b)

21、,故根据方程的解的意义，求得(a2+a)的值，由根与系数 的关系得到(a+b)的值，即可求解.【解答】解：: a是方程x2+x 2009=0的根, 2 a +a=2009;由根与系数的关系得：a+b=- 1,a2+2a+b= (a2+a) + (a+b) =2009 - 1=2008.故选：C.【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代 数式进行恒等变形.11 .设 a, B 是方程 x2+9x+1=0 的两根，WJ (a 2+2009 a +1) (6 2+20090 +1)的值是()A. 0B. 1C. 2000D. 4 000 000【分析】欲

22、求(a 2+2009a +1) (0 2+20090 +1)的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的 形式(a 2+2009a +1) ( 0 2+20090 +1) = ( a 2+9 a +1+2000a ) (6 2+9 0 +1+20000 ),再利用根与系 数的关系代入数值计算即可.【解答】解：=* B 是方程x2+9x+1=0的两个实数根，(a 2+2009 a +1) (0 2+20090 +1) =(a 2+9 a +1+2000a ) (6 2+9 0 +1+20000 )又.a, B是方程x2+9x+1=0的两个实数根， .a 2+9 a +1=0, B2+9B +1=

23、0.(a2+9a +1+2000a ) (6 2+9 0 +1+20000)文案大全实用文档=2000 a ? 2000 B=2000X 2000 a 0 ,而 a ? B =1,(a2+9a +1+2000a ) (6 2+9 0 +1+20000 ) =4 000 000.故选D.【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.12 .若xi、X2是关于x的方程x2+bx3b=0的两个根，且x；+x22=7.那么b的值是()A. 1B. - 7 C. 1 或-7 D. 7或1【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可.设 x1, x2是关于x的

24、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a*0, a, b, c为常数)的两个实数根，贝 乂什乂2=/，x%4.根据x，+x22= 3 a(x1+x2)2-2x1x2代入数值列出方程解即可.【解答】解：x1、x2是关于x的方程x2+bx-3b=0的两个根，得x1+x2= b, x1x2= 3b.又 x12+x22=7,贝U ( x1+x2)2 2x1x2=b2+6b=7,解得 又一7 或 1,当b=-7时，z=49-84<0,方程无实数根，应舍去，取 b=1.故选A.【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法.13 .如果关于

25、x的方程x2-2 (1-k) x+k2=0有实数根a、B,则a+B的取值范围是()A. a+B > 1B. a+B&1C. +>' D. a+厂一22【分析】由于关于x的方程x2-2 (1-k) x+k2=0有实数根a、B,则判别式学0,由此可以确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定a+B的取值范围.2【解答】解：= a=1, b=- 2 (1 k), c=k , =b2-4ac= -2 (1-k) 2-4X1 x k2> 0,k w ,2. a+B =2 (1-k) =2- 2k,而" k 0 ,2，. a + 01 .文案大全实用文档故选A

26、.【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.14.等月gABC的直角边AB=BC=10cm点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度 作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运 动时间为t , PCQ勺面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式；(2)当点P运动几秒时， Sk PCC=Sa ABC?(3)作PH AC于点E,当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s, S=1QCX PB,所以 2求出QC PB与

27、t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在 B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答.【解答】解：(1)当t<10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t, PB=10- t1. 一 、 1 , 一 九- 1 - 1 当t >10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t, PB=t- 101 195t) (4分)2 2） SaabcABC=50 （5 分） 当 t <10 秒时，SaPc=y（10t-t2） = 50整理得t2- 10t+100=0无解（6分）当 t >10 秒时，SaPc=

28、-（t2-10t）=50整理得t2-10t - 100=0解得t二5 ±5'*（舍去负值）（7分）:当点P运动5+氏用秒时， Sa PCC=Sa ABC （8分）文案大全实用文档(3)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.证明：过Q作QMLAC,交直线AC于点M 易证4AP草AQCM.AE=PE=CM=QM=t ,四边形PEQM1平行四边形，且DE是对角线EM的一半.又 = EM=AC=1CT . .DE=5 二 当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.同理，当点P在点B右侧时，DE=5/2综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.【点评】做此类题应首先找出未

29、知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就 会迎刃而解.15.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了 200件；第 二个月如果单价不变，预计仍可售出 200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查， 单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩 余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40元，设第二个月单价降低x元.(1)填表：(不需化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元)8040销售量(件)200(2)如果批发商希望通过销售这批 T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析

30、】(1)根据题意直接用含x的代数式表示即可；(2)利用“获利9000元”，即销售额-进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实 际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍.【解答】解：(1) 80-x, 200+10X, 800-200- (200+10X)时间第一个月第二个月清仓时单价(元)8080 -X40销售量(件)200200+10X800 - 200- (200+10X)(2)根据题意，得200X (80- 50) + (200+10X)义( 80- X- 50) + (400- 10X)(40-50) =9000整理得 10X2- 200X+1000=0,即 x2-20x+1

31、00=0,解得 X1=X2=10当 x=10 时，80-x=70>50答：第二个月的单价应是70元.【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.有关销售问题中的等量关系一般为：利润 =售价-进价.16【分析】(1)根据已知方程有两个实数根，那么学 0,可得k的范围，由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得 X1+X2=1, X1X25+2 ,然后把X1+X2、X1X2代入(2x1-X2)(X1-2x2)=- 4k2中，进而可求k的值；(2)由X1, X2是一元二次方程4kx2-4kx+k+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示

32、出X1+X2与X1X2,将立+卫-2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表示出x2 X1X1+X2与X1X2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数k的整数值.【解答】解：(1) X1> X2是一元二次方程4kx2-4kx+k+2=0的两个实数根，=16k2-4 4k k+2 =-32k 0 4k 0,解得k<0；xi> X2是一元二次方程4kx2- 4kx+k+2=0的两个实数根，Xi+X2=1, X1X2二1+, 4k(2xi X2)(Xi 2X2)=2xi2- 4xiX2 X1X2+2X22=2(X1+X2) 2 9xiX2=2X 12-

33、 9? k+2 =-卜IE：4k 4k若一k T g二一成立曲 2解上述方程得，ki,5k< 0,则k=迈不成立，5不存在这样k的化(2) xi, X2是一元二次方程4kx2- 4kx+k+2=0的两个实数根，.Xi+X2=1, X1X2=-,且 16k216k (k+2) >0,即 k<0, 4k3 . 2上t - 2上！X 2也口工2 盯 叼篮2X/zk+1k+1由此式子的值为整数，得到k=-5, - 3, - 2, 0, 1, 3.,.k<0,.k=-5, -3, -2.【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关 系、以及完全平方公式的使用.17.已知关于 x 的方程 x2 (2k+1) x+4 (k-) =0.2(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 k的值；若不能，请说 明理由.(3)当等腰三