一线三等角问题探究

1、一线三等角问题探究动点一一动中取静运动，直角边分别与射线BA中，哪些关系保持不变？证明：矩形ABCDB= Z C=90 °.Z 2+7 3=90°e. / EMF=90 °2+/ 1=90°1 = /3 . EBMA MCFE1、射线CD交于E、F,在运动过程BCA, D3MCAD板演：四边形 ABCD是矩形，三角板的直角顶点 M在BC边上BC边上ABC练习1 （2010沈阳）在等边/ ABC中，D为BC边BD=3 , CE=2,则 ABC 的边长为（）A BC二一点，E为AC边上一点，且/ ADE=60角和45。角分别在等边三角形和等腰直角三角三角形的

2、类比上述做法，用 60。运动，得到哪些结论？并证明A 9 B 12 C 15 D2如图所示，四边形 OABC是一 在Y轴上，将边BC折叠，使点AEB DC一张在直角坐标系中的矩形纸片，点A在X轴上，点CB落在边OA的点D处，已知折痕 CE=5j5 ,一3且 tan / ADE=4判断 OCD与 ADE是否相似？请说明理由（2）求直线CE与X轴交点P的坐标3 （2010南通）如图，在矩形 ABCD中，AB=m（m 是大于0的常数），BC=8,E为线段 BC上的动点（不与BC重合）.连接DE,作EF，DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y, （1）求y关于x的函数关系式（2）若m=8,

3、求x为何值时，y有最大值，最大值是多少？12（3）右y =，要使 DEF为等腰三角形，m的值应为多少石128答案：（1） y = -x + x m m如图正方形ABCD的边长为4,点p是BC边上一动点（点 p不与点B、C重合），连接 AP,过点P作PQXAP交DC于点Q,设BP的长为x, CQ的长为y,求y与x的函数关系 式，并写出自变量 x的取值范围（2011南充）如图，点 E是矩形ABCD中CD边上一点, 点F落在AD上 BCE沿BE折叠为ABFE,BC求证：ABFsDFE1若 sin/DFE= 3，求 tan/EBC 的值(东城一模)24.等边4ABC边长为6, P为BC边上一点，/ M

4、PN=60° ,且PM、PN分 别于边AB、AC交于点E、F.(1)如图1,当点P为BC的三等分点，且 PELAB时，判断4EPF的形状；(2)如图2,若点P在BC边上运动，且保持 PEXAB,设BP=x,四边形 AEPF面积 的y,求y与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(3)如图3,若点P在BC边上运动，且/ MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE 的长.828自变量x的取值范围为 3<x<6.4 分(3)可证 EBPA PCF.BP BE CFCP24.(本小题满分7分)(1) EPF为等边三角形.1分(2)设 BP=x,则 CP=6-x.3 2由题

5、意可 BEP的面积为 -x . CFP的面积为 (6 -x)2.2 ABC的面积为9J3.设四边形AEPF的面积为y.y =9,3 x2 -(6 - x)2=-I3x2 6 3x -9.3.设 BP=x ,则 x(6x)=8.解得 x=4,X2=2.PE的长为4或2，3.(延庆一模)25.在 RtzXABC 中，/BAC=90, AB = AC =2, 直线上运动，作 NADE=45，(A, D, E按逆时针方向).(1)如图1,若点D在线段BC上运动，DE交AC于E .求证：AABDADCE ;当4ADE是等腰三角形时，求 AE的长.E4点D在BC所在的AB D(2)如图2,若点D在BC的延

6、长线上运动， DE的第25题图1反向延长线与 AC的延长线相交于点 E',是否存在点D ,使 ADE '是等腰三角 形？若存在，写出所有点 D的位置；若不存在，请简要说明理由；第25题图325.证明：在 RtzXABC 中，NBAC=90, AB = AC =2如图3,若点D在BC的反向延长线上运动， 是否存在点D ,使4ADE是等腰三 角形？若存在，写出所有点 D的位置；若不存在，请简要说明理由./ B=Z C=45° 又 / ADE=45 / ADB吆 EBC4 EBC+Z DEC=135 / ADBh DEC ABDsdce 当ADE是等腰三角形时，分以下三种情

7、况讨论 第一种情况：DE=AE DE=AE / ADEh DAE=45/AED=90 ,此时，E为AC的中点，1 3 分AE=- AC=1.2第二种情况：AD=AE( D与B重合) AE=2第三种情况 ：AD=AE如果 AD=DE 由于ABDs/XDCE , AABtD DCE, BD=CE,AB=DC BD=CE=X在 RtABC 中， /BAC =90，, AB = AC =2,. BC=2 '.2 , DC= 2 .2 - x2金-x=2 ,解得，x=2j22 ,AE= 4 -2,2综上所述：AE的值是1, 2, 4 2负 4分(2)存在。当D在BC的延长线上，且 CD=CA寸，

8、ZXADE'是等腰三角形. 5分证明：. / ADE=45 =/ACBh DCE , / ADC吆 EDCh EDC吆 DEC=135 , / ADCW DEC又 CD=CA , / CADW CDA , / CADW CED , DA=DE , ADE,是等腰三角形. 6分不存在.因为 Z ACD=45 > / E , /ADE=45 . / ADg / E.ADE '不可能是等腰三角形。 7分（朝阳一模）23.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC, / B=90° , AB=8, tanZCAD =-3CA=CD,E、F分别是线段 AD、AC上的动

9、点(点E与点A、D不重合)，且/ FEC=/ACB,设 DE=x , CF=y .(1)求AC和AD的长；(2)求y与x的函数关系式；(3)当 EFC为等腰三角形时，求 x的值.23.解：（1） AD / BC, / B=90°,/ ACB= / CAD.4 AB 4 . tan/ ACB =tan / CAD= =.3 BC 3 AB=8 ,BC=6.则 AC=10. 1分过点C作CHXAD于点H,CH=AB=8,贝U AH=6. CA=CD,AD=2AH=12. . 2分 CA=CD, . CAD= / D. / FEC= / ACB , / ACB= / CAD , ./ FE

10、C= ZD. / AEC= / 1 + / FEC=/ 2+ ZD,1 = / 2.AEFA DCE. 3分.DECD x 10.=,即 =.AFAE10-y 12-x1- y = x2 - x +10 . 4105（3）若a EFC为等腰三角形.当 EC=EF 时，此时 AEF DCE , AE=CD.由 12-x= 10,得 x=2.当 FC=FE 时，有/ FCE= / FEC= / CAE ,CE=AE=12-x.2_2_2 .一 11在 RtACHE 中，由（12 -xf =（6 -x +8 ,解得 x = 3当 CE=CF 时，有/ CFE=/CEF=/CAE, 此时点F与点A重合

11、，故点E与点D也重合，不合题意，舍去7八， ,，-一 一，,11综上，当 EFC为等腰三角形时，x=2或x = 3例1.已知：如图，在正方形 ABCD ,E为BC上任意一点(与B、C不重合) /AEF=90 .观察图形：(1) AABE与4ECF是否相似？并证明你的结论。(2)若E为BC的中点，连结AF,图中有哪些相似三角形？练习:（图1）1.矩形ABC师，把AD沿DQ寸折,8,使A与BC边上白t点P重合，若AD=10, AB=求PQ的长例 2.如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC , AB = DC=AD=6, /ABC =60, 点E, F分别在线段AD, DC上（点E与点A, D不

12、重合），且/BEF =120 , 设 AE =x, DF =y .求y与x的曲数表达式； 当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？作业：1.已知如图，B是AC点，AD ±AB,EC±E 求证：ABDs"EB.3C,/DBE=90°.2.已知：等边 ABOt ,。为BCJ点 求AF的长。EABC:,/B= ZC=Z EDF=60 ,BE=6,CD=3,CF=4,FBDC3 .如图，梯形 ABCD 中，AD / BC , AB = DC =AD=6 , ZABC =70，点 E, F 分别在线段 AD, DC上，且/BEF =110,若AE=3, 求DF长.4 .已知在等腰三角形 ABC中，AB = BC =4,AC =6,D是AC的中点，E是BC上的动点(不与B、C重合)，连结DE ,过点D作射线DF ,使/EDF =/A ,射线DF交射线EB于点F ,交射线AB于点H .(1)求证：ACEDsAADH;(2)设 EC =x,