三角函数及解三角形练习题81275

1、三角函数及解三角形练习题一.解答题(共16小题)1 .在 ABC中，3sinA+4cosB=6 4sinB+3cosA=1 求 C 的大小.2 .已知 3sin 9 tan Q =8 0< 0< 工(I )求 cos g(n )求函数f (x) =6cosxcos(x- 0)在0,.上的值域.3,已知专|是函数f (x) =2cos2x+asin2x+1的一个零点.(I )求实数a的值；(n)求f (x)的单调递增区间.4 .已知函数f (x)卫2sin (2x匹) +sin2x. 24(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若函数g (x)对任意x R,有g (x) =f (x

2、g-),求函数g (x)在-?, 6&知上的值域.5 .已知函数f (x) =2sinxcos+cos2x(0)的最小正周期为 九.(1)求的值;(2)求f (x)的单调递增区间.6 .已知函数f (x) =/"sin (叶小)(co> 0, -w (|)<-)的图象关于直线x=；对称，且图象上相邻两个最高点的距离为伍(I)求和小的值；(H )若 f (-7-)="§ (乎-< a< 士：),求 COS ( 0+0 )的值. £46 sL7 .已知向量 a= (cosx, sinx), b= (3,一“)，x 0,句.(1

3、)若3/ l>,求x的值;(2)记f (x)=己，匕，求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.8,已知函数F&)二M式门(砧e|巾|哼)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x)的解析式；(2)在 ABC中，角 A, B, C的对边分别是 a, b, c,若(2a-c) cosB=bcosC求爆)的取值范围.9 .函数f (x) =2sin (叶小)(>0, 0< K)的部分图象如图所示，M为lIi最高点，该图象与y轴交于点F (0,近)，与x轴交于点B, C,且4MBC的面积为九.(I )求函数f (x)的解析式；(H )若 f ( a-) J§

4、求 cos2 a的值.4 S一，一 _ .JT10 .已知函数 f(I)=sin2x+sin.H;_'2x)J(I )求f (x)的最大值及相应的x值；(H)设函数式必二,如图，点P, M, N分别是函数y=g (x)图象的零值点、最高点和最低点，求cos/ MPN的化11 .设函数 f (x) =sin ( x；) +sin ( x；),其中 0<3,已知 f (二62&=0.(I)求;(H)将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)， 再将得到的图象向左平移-个单位，得到函数y=g (x)的图象，求g (x)在-3K.上的最小值.12 .

5、在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)国逛比L . cosB cos A(I )证明：a+b=2G(H )求cosC的最小值.13 .如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.(I )证明：ta世一?。0、；2 sink(H)若 A+C=180, AB=6, BC=3, CD=4 AD=5,求 tanA+tan+tan+tan的值.222214 .已知函数 f (x) =ysin2x-/icos2x. d-J(I )求f (x)的最小周期和最小值；(H)将函数f (x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变, 得到函数g (x)的图

6、象.当x 2L,n时，求g (x)的值域.15 .已知函数 f (x) =sin (-7J- x) sinxVScos2x.(I)求f (x)的最小正周期和最大值;(II)讨论f (x)在工，卫！T上的单调性. 6316 .已知函数 f (x) =sin (3x(1)求f (x)的单调递增区问；(2)若a是第二象限角，f (巴)cos ( o+) cos2 %求cos a sin咕勺值.35417 . 设 f (x) =2/3sin (九一x) sinx (sinx- cosx) 2.(I )求f (x)的单调递增区问；(H )把y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不

7、变)，再把得到的图象向左平移2L个单位，得到函数y=g (x)的图象，求g ()的36化18.已知函数 f (x) =sin (x ,万、/、 c +cos (x-), g (x) =2siJ(I )若a是第一象限角，且f ( a)鱼叵，求g ( a)的值;5(n)求使f (x) > g (x)成立的x的取值集合.19.已知向量 3= (m, cos2x), b= (sin2x, n),函数 f (x) =ab,且 y=f (x)的 图象过点(含，石)和点(芸二-2).人二O1(I )求m, n的值；(H )将y=f (x)的图象向左平移 小(0<()<兀)个单位后得到函数y

8、=g (x)的 图象，若y=g(x)图象上的最高点到点(0, 3)的距离的最小值为1,求y=g(x) 的单调递增区间.三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一.解答题(共16小题)1. (2017 遂宁模拟)在 ABC中，3sinA+4cosB=6 4sinB+3cosA=1 求 C 的大小. 【分析】对已知式平方，化简，求出sin (A+B) J,确定A+B的值，利用三角形的内角和求出C的大小.【解答】解：两边平方(3sinA+4cosB 2=36得 9sin (2017浙江模拟)已知 3sin 9 tan 9, =8 0V 9< 九.(I )求 cos gA+16cogB+24s

9、inAcosB=36(4sinB+3cosA 2=1得 16sin2B+9cosA+24sinBcosA=1 + 得：(9sin2A+9cogA) + (16coS2B+16sin2B) +24sinAcosB+24sinBcosA=37即 9+16+24sin (A+B) =37所以 sin (A+B), 2所以A+B"或者工 66若 A+B=,贝U cosA>-3cosA>3-> 1,贝U 4sinB+3cosA> 1 这是不可能的所以A+B因为 A+B+C=180所以C- 6【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题.(n )求函

10、数 f (x) =6cosxcos(x- 0)在0, 2L上的值域.4【分析】(I )利用同角三角函数的基本关系求得 cos 8的化(n)利用三角包等变换化简函数f (x)的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在0,工上的值域.4【解答】解：(I ) .sin 9 tan喧3_±二8,且0V 9砥.cosB0, 8为锐角.cas 9.3-丸/ 日=8,求得 cos 0 或 cos 8 = 3 (舍去)， sin 检迎,cos 633综上可得，cos8 二 .(H )函数 f (x) =6cosxcos (x- 0) =6cosx (cosxL+sinxZ)33=2co$x+

11、4 2sinxcosx=cos2x+1+2 ：sin2x=3 ( cos2x+' ' sin2x)33=3cos (2x- 0),在0,q上，2x- 9 - 9, A- 0, f (x)在此区间上先增后减，42当2x- 9 =0寸，函数f (x)取得最大值为3,当2x- 8= 8时，函数f (x)取得 最小值为 3cos ( - 0) =3cos 0 = 1故函数在0,三上的值域为1 , 3.4【点评】本题主要考查三角包等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题.3. (2017海淀区一模)已知是函数f (x) =2cosx+asin2x+1的一个零点.(I )求实数a的值；(

12、H)求f (x)的单调递增区间.【分析】(I )利用函数的零点的定义，求得实数 a的值.(II)利用三角包等变化化简函数的解析式， 再利用正弦函数的单调性求得f(x) 的单调递增区间.【解答】 解：(I )由题意可知 二即f二Zs-/=十 口二。，J .212=Tsin2x+3 3 E+sin k =sin2x+1 - -=-sin2x+f (x)的最小正周期丁二二二村;JJJ即豆爷)二2 A产匚母之+1力 解得巴=71. Q1七( H ) 由 ( I ) 可 得f r=r函数y=sinx的递增区间为四川T，2kn十日kCZ.由2小胃2肝胃2kn+T，kZ? 得日牛YET.kcZ,所以，f (

13、x)的单调递增区间为 国兀一"，kTT- , kCZ. 36【点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性, 属于中档题.4. (2017 衡阳三模)已知函数 f (x) =sin (2x+-) +sin1 (2) :函数 g (x)对任意 x R,有 g (x) =f (x+),x. 24(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若函数g (x)对任意x R,有g (x) =f (x+)，求函数g (x)在-?, 66知上的值域.【分析】(1)利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f (x),再由周期公式计算得答案;(2)由已知条件求出g (x) -；

14、sin(2x。)/，当xC -n，：时，则 2x匹 z3 z6 z3£此 粤,由正弦函数的值域进一步求出函数 g (x)在-3,三上的值域.3&2【解答】 解：(1) f (x) =sin (2x+-) +sin2x24二2-T 3：I . I c . . 2sin2x+cos2x+sinxg (x)sin2 (x+2L) +L=Lsin (2x+5-) +L, 2 S 2 232当 xC -,三时，贝U 2x+-J- 0, 生, 6233 J则$访(2x+2L) < 1,即 XLxL+!wg (x)工二，解得2r 3 0 g (x) 2_2211 2 I 4<

15、1.综上所述，函数g (x)在-7T2上的值域为:,1【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法， 考查了函数值域的求法，是中 档题.5. (2016北京)已知函数f (x) =2sinxcos+cos2x(>0)的最小正周期为冗.(1)求的值;(2)求f (x)的单调递增区间.【分析】(1)利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得(的值；(2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x的取值范围得f (x)的单调递增区间.【解答】 解：(1) f (x) =2sin xcos+cos2cox=sin2 +cos2 x=2(7sin2 卬 x+-_cos2 =6=/$in(2

16、x +由T/二元,得=1.一 一一TT(2)由(1)行，f(x)='/sin(2x+_) .再由一+Zk冗弓TZk71 ,得-2 +上冗, kE"- f (x)的单调递增区间为卜天，:十k九(kC Z). o6【点评】本题考查y=Asin (+小)型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦, 属中档题._ .i"fl 1 1 F6. (2014重庆)已知函数f (x) =U7sin (叶小)(>0,)的图冗.象关于直线x4对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 31(I )求和小的值；(U )若 f (区)=LL (2L< a<-L),求 cos ( +

17、L)的值.24632【分析】(I )由题意可得函数f (x)的最小正周期为 冗求得=2再根据图象 关于直线x=2L对称，结合-J 小<也可得 小的值.322(H )由条件求得sin ( a-二匚)=.再根据 a-J二的范围求得cos ( a- ) 5466的值，再根据cos ( o+')=sin a =sfn( a-) +-,利用两角和的正弦公式 计算求得结果.阳二 w =2 s再根据图象关于直线x-对称，可得TT2X +(|)=kk e z.结合-dv生可得21. 226【解答】解：(I )由题意可得函数f (x)的最小正周期为Vlsin ( a-) =-,sin ( a- -

18、646再根据0V a-<62cos (cos (一cos-+cos ( a-j爽3mL年医J' 2 FF S【点评】本题主要考查由函数 y=Asin (叶小)的部分图象求函数的解析式，两 角和差的三角公式、的应用，属于中档题.7. (2017江苏)已知向量=(cosx, sinx), b= (3,一百)，xC0,句.(i)若；求x的值；(2)记f (x) =a*,求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的化【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx二一遐,问题得以解决, 3(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1) a= (cosx, s

19、inx),m二(3,-心)，a / b ,一；cosx=3sinx tanx= 一3x 0,句,. x-5 开 x=(2) f (x) =a - b=3cosx- /3sinx=2/3(cosx2sinx) =2j 忑cos (xx 0,句,当x=0时，f (x)有最大值，最大值3,当x=5?时，f (x)有最小值，最小值-2J3. 6【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数 的性质，属于基础题8. (2017锦州一模)已知函数二3皿(心工十力)0>0.|巾|武专-)的部分图 象如图所示.(1)求函数f (x)的解析式；(2)在 ABC中，角 A, B, C

20、的对边分别是 a, b, c,若(2a-c) cosB=bcosC 求f4)的取值范围.v 1【分析】(1)根据图象求出A,和耙即可求函数f (x)的解析式;（2）利用正弦定理化简，求出B,根据三角内角定理可得 A的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）由图象知A=1, 丁二4（至三二）二n，=2126)0）二1，,D代入解析式得sm . f (x) =sin (2x+(|).图象过（ .母1去7吟故得函数-二二计:'(2)由(2a c) cosB=bcosC根据正弦定理，得：（2sinA sin。cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin(B+。,2s

21、inAcosB=sinA.AC （0,九），sinAw 0,即A+C型, gp（KA那么：f得）二Hn吟）,0。令，詈咤写, 263666./ JTO'故得酷1. ritLa【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质， 根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键.同时考查了正弦定理的运用化简.利用三角函数的有界限求范围,属于中档题.9. （2017丽水模拟）函数f （x） =2sin （叶小）（0, 0小-）的部分图象 如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F （0, V2）,与x轴交于点B, C, 且4MBC的面积为 几.(I )求函数f (x)的解析式；(H )若 f ( a-) =

22、2痣,求 cos2 a的值.45【分析】(I )依题意，由$mb*X2X|BC|=|BC| =九可求得其周期丁=2九*, 解得3=1,再由f (0) =2sin(|)V2,可求得耙从而可求函数f (x)的解析式；(n)由f ( a-3)=2sin 血E,可求得sin斗再利用二倍角的余弦即可求得 45COS2 a的值.【解答】解：(I )因为 Sambc=1-X2X|BC|=|BC| =九，所以周期T=2冗空，解得”1,0)由 f (0) =2sin 小鱼,得 sin 小考,因为0<(|)<二",所以小¥, 24所以 f (x) =2sin (x+-)；(H )由

23、 f ( a-) =2sina25 得 sin aji. 455所以 cos2 a =1 2sin2 a 卷.【点评】本题考查由y=Asin (肝小)的部分图象确定其解析式，求得 与小是 关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.10. (2017延庆县一模)已知函数f(冗)二式2工十sinL丁-2幻.(I )求f (x)的最大值及相应的x值；(H)设函数式#二f(二:寞)，如图，点P, M, N分别是函数y=g (x)图象的零值点、最高点和最低点，求cos/ MPN的化【分析】（I ）化简函数（x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它 的最大值以及此时对应的x值；（H）化简函数g

24、 （x）,过D作MD，x轴于D,根据三角函数的对称性求出/PMN=90,再求 cos/ MPN 的值.【解答】解：（I ）函数f （工）二si口-=sin2x+cos2x sin2x （1 分） 22=-.:;.=-一 飞-/. J.JT二厚小巴什天-）;（3分） f （x）的最大值为f （x） max=1,（4分）止匕时n（5分）TT解得Lk兀+"叵.kE?;（6分）JT2x+-）,（7 分） J过D作MDx轴于D,如图所示;PD=DM=1,（II）函数 g （兀）二算）=sin2 （-x） +=sin j!TtJ./ PMN=90 ,（9 分） 计算 PmS, MN=2PM=2/

25、2, PN=./i2+s2=vlo ,（门 分）皿/NFW潞率（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问题,是综合题.11. (2017 山东)设函数 f (x) =sin(cox-工)+sin ( cox-),其中 0V 2c3, 62已知f (马)=0.(I )求；(H)将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移*个单位，得到函数y=g (x)的图象，求g (x)在-三上的最小值.4【分析】(I )利用三角包等变换化函数f (x)为正弦型函数，根据f (三6)=0求出的值;(H)写出f (x)解析式，

26、利用平移法则写出g (x)的解析式，求出x -时g (x)的最小值.【解答】解：(I )函数f (x) =sin (cox-)+sin (6=sin xcos-一cos xs.兀喈 / -sin (- x)平sin co4cos.x 22=。>sin ( x又 f ()=；%in ( 67TR363)=0,-=k, kC Z,解得=6+2, 又0V<3, 3 =2(H )由(I )知，f (x) =71sin (2x ；), J将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，得到 函数y= -sin (x-；)的图象；再将得到的图象向左平移三4,个单位，得

27、到y=/lsin (x+143-三）的图象,二函数 y=g (x) = :;sin (x-JV12,当 x -2L, W2L时, 44.sin （x-工） -返，1, 122；当乂=-工时，g （x）取得最小值是-xV3=-. 422是中档【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题,12.（2016山东）在 ABC中，角A, B,C的对边分别为 a, b, c,已知2（tanA+tanB） =1+eoeB cosA（I ）证明：a+b=2G（H ）求cosC的最小值.【分析】（I）由切化弦公式tonA善辿，十anB二五幽，带入 cosAcosB小叫 JanB 并整理可得 2

28、 （sinAcosB+cosAsinB =sinA+cosB 这样 COST cosA根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC从而根据正弦定理便可得出 a+b=2c；(n )根据a+b=2c,两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2,从而得出a2+b2=4c2 - 2ab,2并由不等式冉心2ab得出c2>ab，也就得到了金A,这样由余弦定理便可空2得出加式上沁-1,从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值. zab行：【解答】解：（I ）证明：由 anAit sgj J5rLCOSD COSA£$inA 十sinBcosA cosB）二sinAs

29、inBcosAcosB casAcoeB ' .两边同乘以 cosAcosB得，2 (sinAcosB+cosAsinB =sinA+sinB； . 2sin (A+B) =sinA+sinB即 sinA+sinB=2sinC(1)；根据正弦定理,sirA sinB slnC二 2R；Si3放dnB暇,Me会带入（1）得:2R 2R 2R.'- a+b=2c(n) a+b=2c-' (a+b) 2=ai2+b2+2ab=4c2；a2+b2=4c2 - 2ab,且 4c214ab,当且仅当 a=b 时取等号;a；由余弦定理,又 a, b>0;:一二二二一'.

30、 ,，；2ab 2ab _2 ab 1卡万cosC的最小值为阳以及三角【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为 函数的诱导公式，正余弦定理，不等式 a2+b2>2ab的应用，不等式的性质.13. （2015四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.（I ）证明：tanA J-cosA .2 sink(H)若 A+C=180, AB=6, BC=3, CD=4 AD=5,求 ta*+ta*+ta,+tag的值.C【分析】（I ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可.(H )通过 A+C=180 ,得 C=180 - A, D=180 - B ,利用(I

31、 )化简tan2+tan+tan+taFrJTh，连结BD,在 ABD中，利用余弦定理求 2222 sinA sinB出sinA,连结AC,求出sinB,然后求解即可.等式成立(H )由 A+C=180 ,得 C=180 A , D=180 - B ,由(I )可知："A"-6*C ,X._._D 1-cosA , 1-cosB , 1-cos (180° -A) , l-cosC1800 -B)3n-+tan-+tan-+tan-=-：b- -：- - I =±+=,连结 BD,在AABD 中，有 BD2=AB2+AD22ABADcosA AB=6,

32、BC=3, sinA sinBCD=4 AD=5,在 BCD中，有 BD1=bC2+CD2 - 2BCCDcosC=6 -F5-3 -4 =3则：cosA="- '所以 AB2+AD2 - 2ABADcosA=B2+Ctf- 2BCCDcosC2(AB-M)+BC-CD) 2 (6 X 5+3X4) 7于是 sinA=-, .=：= r于是sinB=-=eVio-cos B=2(AB-BC+AD-CU) 2(6X345X4) 19连结 AC,同理可得：cosB=，r ' '1 =-：、一.二1所以 tan三+tan+tan+taE=22 sink:2 =* 2

33、驾冲. sinB 2V10 &/103倍角公式、诱导公式、余弦定理.简单的三角包等变换，考 查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用.14. (2015 重庆)已知函数 f (x) =i-sin2x- 6cos2x.(I )求f (x)的最小周期和最小值；(H)将函数f (x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变, 得到函数g (x)的图象.当xn时，求g (x)的值域.【分析】(I )由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f (x) =sin (2x-弓)-等，从而可求最小周期和最小值；(H )由函数y=Asin (叶小)的图象变换可得g (x) =sin (x-

34、三)-苧，由x 句时，可得x-?的范围，即可求得g (x)的值域.【解答】解：(I ) f (x)百一除=sin2x- VScos2x=-sin2x-(1+cos2x) =sin (2x.f (x)的最小周期丁空=砥最小值为：-1巫=弛巨. 222(H )由条件可知：g (x) =sin (x-2L)-苧当xC句时，有x-工|e 2L, ”|,从而sin (x-工)的值域为 山，1, 236332那么sin (x-工)-返的值域为：上屋，生逅, 3222故g (x)在区间斗，句上的值域是【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数 y=Asin (肝小)的图象变换，属于基本知识的考查.15. (2015重庆)已知函数f (x) =sin (JT2-x) sinx-73cos2x.(I)求f (x)的最小正周期和最大值;(II)讨论f (x)在工, &"