三角函数知识点归纳(填空型)

1、三角函数知识点归纳(填空型)华侨中学数学组1、角的概念的推广后，包括、.与角口终边相同的角P可以表示为.(1)象限角：角«的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a为第几象限角.(用集合表示)终边在x轴上；终边在y轴上;第一象限角 ;第二象限角 ;第三象限角 ;第四象限角 ;终边在坐标轴上；终边在直线 y = x上;终边在直线y =J3x ±.(2)区间角：将角a|l20Ck+30°<a <1201k+60'kw Z在坐标系中表示出来，并在坐标系中作好必要的标记；把坐标系中终边在阴影部份的角用集合表示出来是 .2

2、、弧度制：把叫做1弧度白角.公式:;换算：180；=弧度；1弧度=扇形：弧长 l =3、任意角的三角函数：(1)定义：以角口的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角a的终边上任取一个异于原点的点P(x, y),点P到原点的距离记为r ,则sina =；costan =二(2)三角函数的符号：一全，二正弦，三切，四余弦(取正)(3)三角函数线：正弦线MP(sin;MP余弦线OM(cos：OPOMOP= MP) “站在x轴(起点在x轴上)”；= OM) “躺在x轴上(起点是原点)AT 正切线 AT(tano( =dA = AT) "站在点A(1,0)处(起点是 A)” .比

3、较xw(0,±), sinx, tanx, x的大小关系：2(4)特殊角的三角函数：a0冗6JI4n3JI万n32sin acos atana4、同角三角函数的关系：(1) 平方关系： (sin2c( =1 -cos2a,cos2c( =1-sin2a );商式关系：.同角三角函数的基本关系式的主要应用是：已知一个角的三角函数，求此角的其它三角函数值.在应用平方关解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数 时，一般可不用同角三角函数的基本关系式，而是利用三角函数定义直接求值5三角函数的诱导公式：角xsinxcosxtanx角xsi

4、nxcosxtanx冗CtJI-a2ji +an+ct2a3n_a22n -a3n+a22kn +a推导以上公式的工具：助记口诀同角三角函数的关系与诱导公式的运用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值 注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象取加以讨论求任意角的三角函数值：步骤：公式二、 四、五、 六、七、 八、九已知三角函数值求角：注意，所得的解不是唯一的，而是有无数多个 步骤：i )确定角a所在的象限；ii)如函数值为正，先求出对应的锐角0(1;如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角U1;iii)根据角a所在的象限，得出 0 2n间的角一一如果

5、适合已知条件的角在第二限；则它是 n -£1 ;如果在第三或第四象限，则它是+口1或2n一口1 ;iv)如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合3 二 、.15：,如 tana =m，则 sinot =， cos a =； sin(-a) =； cot(a)=22注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：(3, 4,5);(6, 8, 10); (5,12,13);(8,15, 17)等等.6、和角与差角公式、二倍角公式、升降哥公式：(1)和、差角公式：sin(a ±P) =；cos(a 土 P) =tan(a ± P) =

6、.(2)二倍角公式(升塞公式)：sin 20t =; cos2a =:=(3)倍角公式的变形(降哥公式)：.22sinacosct =; sin a =； cos a =2(sin a ± cos a) = 7、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：(1)角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：3： 一 .、： 一 ： 一

7、2口是口的一倍；4口是2口的一倍；口是一的一倍； 一是一的一倍；3ot是的一倍； 一是一的一224236倍；±2«是土土a的二倍。24o-：-： 15 =45 -30 =60 -45 =；问：sin =; cos=;21212 ot=(ot + P)_p； 2L+a4 2a =(豆 + P) +(口 _ P) =(+a) -(-a)；等等.(2)函数名称变换二三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。一.(-3)赏数代换二.在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：1

8、 =sin2-i ；cos2 1二sec2 1 - tan2： = tan-： cot： = sin 90o = tan 45o(4)哥的变换：降哥是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降哥处理的方法。常用降哥公式有： ; 。降哥并非绝对，有时需要升哥，如对无理式J1十cosa常用升哥化为有理式，常用升塞公式有： ; ;（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。珈 1 tan ;如：=；1 -tan 二1 - tan 二=;1 tan 二tan a +tan P =；1 - tan a tan P =；tan « -tan P =

9、；1 + tan tan P =；2 tana =；21 - tan a =;tan 20o +tan 40o + V3tan 20o tan 40o =；sin a + cosot =；asina +bcosa =；（其中tan中=；）1 + cosot =； 1 -cosa =;.（.61.三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、哥”四方面入手；.基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化.基本思路：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之

10、间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构.基本技巧有：i）巧变角，已知角与特殊角的变换，已知角与目标角的变换，角与其倍角的变换，两角与其和差角的变换等等；ii ）三角函数名互化（切弦互化）；iii ）公式变形使用；iv ）三角函数次数的升降；v）式子结构的转化（对角、函数名、式子结构化同）；vi ）常值变换主要指"1”的变换（1 = sin2 a + cos2« = tant=sin，= cos0等等）；42vii ）正余弦基本对称式“sin a+cosa,sin a -cosa,sin久cosa ”的内在联系，知一可求二.8、辅助角公式的应用：asina +bcos

11、a = Ja2 +b2 sin（u +日）（其中日角所在的象限由a、b的符号确定，日角的值由tan8 =也 a确定）在求最值、化简时起着重要作用.9、三角函数的性质定义域值域最值当 x = 2kn(k w Z )时，ymax =123 x=2kT 2(kw Z )时，ymin=-1.当 x=2kn(kwz )时，ymax =1 ；当 x = 2kn +n(kt )时，ymin=-1.既无:最大值也无:最小值周期性奇偶性单调性在-|2kn 一上,2kn +!22(kZ是增函数；在(k工壮:是减函数.在上是增函数；在t2kn ,2 E + 冗(kZ )上是减函数.在 1 kn - , kn + 1

12、I 22 J(ZZ )上是增函数.对称性对称中心(kn,0 /代2 )冗对称轴 x = kn (k w Z )(冗、对称中心kn + ,0 l(kw Z )12 ，对称轴x = kn(kw2 )对称中心fk,0)(kwZ)无对称轴(2)有关三角函数的最值的类型： y = asin x+bcosx型； y =asin2 x+bsin x+c型；关于 sinx、cosx 的齐次式型；asin x c 利y =型.bcosx d10、函数y = Asin(cox +中)的图像和性质(函数 y = Acos(切x +中)与y = tan(co x+中)的性质类似给出)(1) 作图：五点法，依次取 sx

13、+华=;(2)周期：T=；(3)单调区间：当3 A0时，增区间由解不等式 <©x + <P <而得到；减区间由解不等式<0x + <P <而得到；当0<0时，增区间由解不等式 E(0x+中)E 而得到；减区间由解不等式 E (GOx十中)<而得到；(4)最大值：当 A>0时，cox+5=时，y取最大值 A.最小值：当 A<0时，sx”=时，y取最小值A.(5)对称轴由解等式 xX +中=而得到.(6)对称中心由解等式 6x +邛=而得到.（7）奇偶性：当_ 时，函数是奇函数；当 _ 时，函数是偶函数.（8）振幅,周期T_,频

14、率f _,初相,相位.（9）根据图像求函数 “*）=人$冶（0*+中）+8的解析式：1 1i）由周期求6 ； H ） A =3（ymax ymin ）, B = Q （ Ymax + Ymin ）；酒）由某个点的坐标求 中的值（一 般最高或最低点）11、三角函数变换（A>0,o>0/P>0）：（1）将函数y =sinx的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数y =sin（x+5）的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函 数 的图象；再将函数 y = sin（x+中）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不

15、变），得到函数y=Asin（cox +中.勺图象.（2）函数y = sin x的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y =sin xx的图象；再将函数y =sinccx的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数y =sin（cox +中）的图象；再将函数 y = sin（x +甲）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数y = Asin （cox +邛/勺图象注意：在对横坐标进行伸缩或平移时，只对 进行变换. 12、正余弦定理：（1）正弦定理，在 ABC中有,sin A sin B sin C=2R （ R为 ABC的外接圆半径）；a =2Rsin A正弦定理的变形：<b =2Rsin B ,c = 2R