二次函数经典解题技巧

1、欢迎阅读龙文教育学科教师辅导讲义课 题二次函数知识点总汇教学目标介绍一些些能加快速度的计算公式教学内容o尸 b ' 4ac - bb 4ac - b3求抛物线的顶点、对称轴的万法( 1)公式法： y = ax +bx + c = a x+ i +,:顶点是(,),< 2a J 4a2a 4a对称轴是直线x - - b .2a2(2)配万法：运用配万的万法，将抛物线的解析式化为y = a(x h J + k的形式，得到顶点为(h , k),对称轴是直线 x = h .(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴

2、与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ; ;9.抛物线y=ax2 +bx+c中，a,b,c的作用2(1)a决定开口万向及开口大小，这与 y=ax中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线又东轴的位置.由于抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是直线b二二:：bbx =,故：b = 0时，对称轴为y轴；一> 0 (即a、b同万)时，对称轴在 y轴左侧：一<0(即a、b开 2aaa号)时，对称轴在 y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线 y = ax2 +bx+c与y轴交点的位置.<工;71VL;二.2当x=0时，y=c,：

3、抛物线 y = ax +bx+c与y轴有且只有一个交点(0, c)：| |2I- 1, /C=0,抛物线经过原点；c >0,与y轴交于正半轴；c<0,与y轴交于负半轴.b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 b <0.a11 .用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y =ax2 +bx + c.已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：y = a(x h 2 + k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .(3)交点式：已知图像与 x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式： y = a(xx1 jx x2 )

4、.12 .直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线 y=ax2+bx+c得交点为(0, c).(2)与y轴平行的直线x = h与抛物线y = ax2 + bx + c有且只有一个交点(h , ah 2 + bh + c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y =ax2 +bx +c的图像与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2,是对应一元二次方程 ax2 +bx + c= 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点U AA0U抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在 x轴上)u A=0u 抛物线与x轴相切；没有交点 u < 0 u 抛物线与x轴相离.(

5、4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有 0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是ax2 +bx +c = k的两个实数根.(5)一次函数y=kx+n(k#0)的图像l与二次函数y = ax2 +bx +c(a # 0 )的图像G的交点，由方程组y = kx n，2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时u l与G有两个交点；方程组只有一组解时 u l与Gy = ax +bx +c只有一个交点；方程组无解时 u l与G没有交点. 2'(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax+bx+c与x轴两交点为 A(x1

6、,0 ) B(x2,0 ),由于x1、x2是方程2ax +bx +c =0的两个根，故6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到x轴的距离等 卜| (2)点P(x,y)到y轴的距离等于 w (3)点P(x,y)到原点的距离等于 Jx2+y25、反比例函数中反比例系数的几何意义; I 1k-如下图，过反比例函数y = (k 0 0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线 PM , PN,则所得的矩形PMON的面积xks=pm pn= y| x =|xy| ° 丁 y = 一 ,.'. xy = k, S = k|°x考点三、二次函数

7、的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)b l4ac-b，即当x =-时，y最值=2a4ab如果自变量的取值范围是 x1 Ex Wx2，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 X1 w xE x2内，若在此范围内，则当2ab4ac - b2x=时，y最值=;若不在此范围内，则需要考虑函数在x1 WxWx2范围内的2a4a2、函数平移规律(中考试题中，只占 3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间)b为直线在y轴上的截距3、直线斜率：、/、/k 二 tany2 - y1x2 - Xi4、直线方程:1, 一般一般直线方程一般两点斜截

8、距ax+by+c=02,两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式-最最常用，记牢3,点斜知道一点与斜率y _必=k(x _ x)斜截式方程，简称斜截式：y=kx+ b( kw o)由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距4,斜截5 ,截距式方程，简称截距式:5、设两条直线分别为,11 ： y = ki xbiI2:y = k2Xb26、点 P (xo, yo)/ l 2 ,则有 11若 l1 - I2/l2=k 2 且 b1k1水2 二-1到直线y=kx+b(即:kx-y+b=0)的距离：对于点P (Xo, yo)到直线滴一般式方程ax+by+c=0滴距离有b2。kxoyo+b|k

9、x0yo+b2(-1)2k2 1记牢可大幅提高运算速度2、2如图，已知二次函数 y =ax 4x -c,常用记牢axo by。 c a2 b2解：(1)根据题意，得;二次函数的表达式为2=x -4x -5 . 4分(2)令y=0,得二次函数2y =x -4x5的图象与x轴B(o, -5).(1)求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的又轴上存在一点P,使得4ABP的周长最小.请求出点P的坐标._2o =a (-1) -4 (-1) c,小2分2_5=aM。-4mo+c解得a =1,IC - -5.k =1, b =-5.的另一个交点坐标 C (5, 0). 由于P是对称轴X =2上一点,连

10、结 AB,由于 AB =VOA2 +OB2 =J26,要使 ABP的周长最小，只要PA +PB最小.由于点A与点C关于对称轴x=2对称，连结BC交对称轴于点P,则PA+PB = BP+PC =BC,根据两点之间，线段最短，可彳导PA+PB的最小值为BC.因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点. 一b = -5设直线BC的解析式为y =kx+b,根据题意，可得 彳 , 解得J=5k+b.所以直线BC日勺解析式为y =x _5 .因此直线BC与对称轴x=2的交点坐标是方程组所求的点P的坐标为（2, -3）压轴题中求最值此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值, 典型例题：x 21一

11、2 的解，解得y =x -510分最后求出最值。x = 2,y = 3BC向右匀速移动.已知F1 如图，在梯形 ABC计，AD/ BC, / B= 90° , BC= 6,A又3, / DCB= 30° .点E、F同时从B点出发，沿射线点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边 EFG设E点移动距离为x （x>0）. EFG勺边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在若 EFGW梯形ABCD1叠部分面积是y,求当0<x<2时，y与x之间的函数关系式；当2Vx<6时，y与x之间的函数关系式；探求中得到的函数 y在x取含

12、何值时，存在最大值，并求出最大值当0<x<2时， E分两种情况:线段BC上,I .当2Vx<3时，如图EFGf梯形ABCD1叠部务为西边形 EFNM34:乙 FNC= / FCN= 30° , .FN= FC= 6-2x. . . GN= 3x6. 由于在 RtANMGJ, / G= 60° ,3,3所以，此时 y= l3x2-3 (3x-6) 27 3 x29 3 x-9 3口 .当3<x<6时，如图2,点E在线段BC上，点F在射线CH上, EFGf梯形ABCD1叠部分为 ECPEC= 6-x,A图1-3x2 -3-3x,3 2当0Vx<

13、;2时，丁 y= -3x在x>0时，y随x增大而增大,4x= 2 时,y最大当2<x<3时y一逑x2十还x返在x8、3 r当 3<x<6 时，. y= x823 39.3x 2218 n,时,7y最大y最大C图2在x< 6时，y随x增大而减小,8综上所述：当x=18时，y最大=9几 77,一 一3 八如图，直线y = x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y = 4x与AB交于点C,与过点A且平行于y轴的直线交于点 D.4S （平方单位），点E的运动时间为t （秒）.D0点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线

14、AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与4ACD重叠部分（阴影部分）的面积为（1）求点C的坐标.（2）当0<t<5时，求S与t之间的函数关系式.（3）求（2）中S的最大值.(4)当t>0时，直接写出点(4, 9)在正方形PQMN内部时t的取值范围.【参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(b 4ac-b4a2一).】. .3、，”y _ _ x 6 6, 解：(1)由题意，得44y=%'x=3,解得J15丫二 4C (3,15_).4(2)根据题意，得 AE=t, OE=8-t.:点Q的纵坐标为5一乩，一 (8-t),点P的纵坐标为45*'* PQ=一4(8-t)- 3 t=10-2t.4当 MN 在 AD 上时，10-2t=t,101=3当 0vt01£ 时