高中数学-必修1A课件-2.3-幂函数

1、2.3 幂函数 y=xn运算的完美性32831828log32我们来看看由我们来看看由8、2、3、 这四个数这四个数运用数学符号可组成哪些等式？运用数学符号可组成哪些等式？31我们知道：N=ab 如果a一定，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y=ax 如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y=log a x设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是否也应该可以确定一个函数呢？函数的完美追求问题引入：函数的生活实例问题问题1：如果如果李四李四购买了每千克购买了每千克1元的苹果元的苹果w千克，千克，那么她需要付的钱数那么她需要付的钱数p = 元，元， 。问题问题2：如果正方形的边长为

2、：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，那么正方形的面积 是是S = ， 。问题问题3：如果正方体的边长为：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积，那么正方体的体积是是V = ， 。问题问题4:如果正方形场地的面积为如果正方形场地的面积为S，那么正方形的，那么正方形的边长边长a= ， 。问题问题5：如果某人：如果某人t s内骑车行进了内骑车行进了1km，那么他骑，那么他骑车的平均速度车的平均速度v = ， 。 w这里这里p是是w的函数的函数a这里这里S是是a的函数的函数a 这里这里V是是a的函数的函数21S这里这里a是是S的函数的函数这里这里v是是t的函数的函数t-1 km/s 若将它们的自

3、变量全部用若将它们的自变量全部用x来表示来表示,函数值用函数值用y来来表示表示,则它们的函数关系式将是则它们的函数关系式将是:xy y = xx21x1以上问题中的函数有什么共同特征？以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；）指数为常数；（4）自变量前的系数为）自变量前的系数为1。上述问题中涉及的函数，都是形如上述问题中涉及的函数，都是形如y=x的函数。的函数。(1)y=x (2)y=x2 (3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-1定义定义,yxx一般地 函数叫做幂函数 其是变量中自是常数。思考：幂

4、函数与指数函数有什么区别？思考：幂函数与指数函数有什么区别？ 式子式子 名称名称 a x y 指数函数指数函数: y=a x 幂函数幂函数: y= x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值看看自变量看看自变量x是是指数指数还是还是底数底数函数函数幂函数幂函数1.判断下列函数哪些是幂函数？判断下列函数哪些是幂函数？ （1） (2) (3) (4) (5) 2yx2yx0.2xy 12yx1yx2.若幂函数若幂函数yf(x)的图象经过点的图象经过点(3, 27 ) 则则f(x)概念剖析概念剖析待定系数法221,mmxm 已知f(x)=（m +2m）当 为何值时，f(x)是：（1）正

5、比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数？3. 对于幂函数，我们只讨论对于幂函数，我们只讨论=1，2，3， ，1 时的时的情形。情形。21幂函数性质的探究：幂函数性质的探究：探究探究1：结合前面研究指数函数与对数函数的方法，我们应结合前面研究指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢？如何研究幂函数呢？作具体幂函数的图象作具体幂函数的图象观察图象特征观察图象特征总结函数性质总结函数性质12132,xyxyxyxyxy即即：2121312132,2xyxyxyxyxyxyxyxy填表：下列幂函数的图象，并：在同一坐标系内作出探究 性质 y=x y=x2y=x3 y=x1/2

6、y=x1/3y=x-1y=x-2y=x-1/2定义域值域奇偶性单调性公共点定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：RR上是奇函数在R上是增函数在Rxy 函数函数 的图像的图像定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：R), 0 上是偶函数在R上是增函数在), 0 上是减函数在0 ,(函数函数 的图像的图像2xy 定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：0 xx上是奇函数在0 xx上是减函数在), 0( 上是减函数在)0 ,(0yy函数函数 的图像的图像1 xy?213的图像呢和如何画xyxyx-2-101234y=x3y=x1/2

7、-8-10182723010 xy1234-1-2-32468-2-4-6-8y=x3/6421x定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：RR上是奇函数在R上是增函数在R函数函数 的图像的图像3xy 定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：), 0 非奇非偶函数上是增函数在), 0 ), 0 函数函数 的图像的图像21xy 4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)在第一象限内，在第一象限内，a a 0, 0,在在(0,+)(0,+)上为增函

8、数上为增函数; ; a a 0, 0,在在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数. .幂函数的图象都通过点幂函数的图象都通过点(1,1)(1,1)为奇数时为奇数时, ,幂函数为奇函数幂函数为奇函数, ,为偶数时为偶数时, ,幂函数为偶函数幂函数为偶函数. .幂函数在幂函数在(0,+)(0,+)都有定义都有定义归纳性质012301232xy 3xy 0123012321xy 31xy 21xy2xy1xy01230123当当 ， 的图像都在的图像都在 下方，形状下凹下方，形状下凹; 1(0,1),xyxyx第一象限的图像特征第一象限的图像特征当当 ， 的图像都在的图像都在 上方，形状上凸上方，

9、形状上凸;01(0,1),xyxyx当当 ，则幂函数在区间，则幂函数在区间 上是减函数上是减函数. .0(0,)21xy 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数数取值的不同而不同取值的不同而不同. .y= x3定义域定义域值值 域域单调性单调性公共点公共点y = xRRR0，+）R0，+）R0，+）奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶非奇非偶函数函数奇函数奇函数在在R R上上是增函是增函数数在（在（,0上是减函上是减函数，在数，在(0, +）上是）上是增函数增函数在在R上上是增函是增函数数在在(0，+)上是增函数上是增函数在在( ,0)，

10、(0, +）上是）上是减函数减函数（1，1）奇偶性奇偶性y = x21 xy0， （0，+ ）0， （0，+ ）归纳：幂函数归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图像特征在第一象限的图像特征指数大于指数大于1,1,在第一象限为抛物线（凹）；在第一象限为抛物线（凹）；指数等于指数等于1,1,在第一象限为上升的射线；在第一象限为上升的射线；指数大于指数大于0 0小于小于1,1,在第一象限为抛物线（凸）；在第一象限为抛物线（凸）；指数等于指数等于0,0,在第一象限为水平的射线；在第一象限为水平的射线；指数小于指数小于0,0,在第一象限为双曲线型；在第一象限为双曲线型；oxy11图象经过点图象经过点(1

11、,1)后，在直线后，在直线x=1右侧，自下而上指数右侧，自下而上指数n由小变大。由小变大。在直线在直线x=1左侧相反左侧相反.)( 为常数为常数nxyn 1 n1 n10 n0 n)0(0 xxy例：求下列幂函数的定义域：例：求下列幂函数的定义域： 学点一学点一 幂函数的定义域幂函数的定义域.,233325334xyxyxyxyxy.,233325334xyxyxyxyxy像例：作出下列函数的图xyo34xy ox53xy oxy32 xyoxy3 xyxyo23xy 学点二学点二 幂函数的图像幂函数的图像 幂函数的图像幂函数的图像先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。指数大于1,在

12、第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1,在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0,在第一象限为水平的射线；指数小于0,在第一象限为双曲线型；学点三学点三 单调性、奇偶性、值域（最值）单调性、奇偶性、值域（最值）例：证明函数例：证明函数 在在 上是增函数上是增函数( ) f xx0,)注意掌握证明函数单调性的方法和基本模式注意掌握证明函数单调性的方法和基本模式性、单调性、值域：例：求下列函数的奇偶.,233325334xyxyxyxyxy学点四学点四 利用幂函数比较大小利用幂函数比较大小5 . 14 . 153523234323231315,3)4(;)8

13、. 1(,9 . 3,8 . 3)3(;1 . 1,710,22)2(; 1,7 . 1,5 . 1 ) 1 (大小：例：比较下列各组数的方法：1、选择(指数函数、幂函数、对数函数)，利用函数单调性2、化或3、善于利用进行比较，常用1和0，或构造一个适用的中间量 324343325与练习：利用单调性判断下列各值的大小。练习：利用单调性判断下列各值的大小。1）0.51.30.51.525.125.092）3）141.79141.814）223(2)a232(1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调若能化为同指数，则用幂函数的单调 性；性；(2) 若能化为同底数，则用指数函数的单若能化为同底数，则用

14、指数函数的单 调性；调性；(3)当不能直接进行比较时，可在两个数当不能直接进行比较时，可在两个数 中间插入一个中间数，间接比较上述中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小两个数的大小. 利用幂函数的增减性比较两个数的大小利用幂函数的增减性比较两个数的大小. .,)1()12()3(;,)23()1()2(;,)21()2()1(2323223131的的取取值值范范围围求求实实数数已已知知的的取取值值范范围围求求实实数数已已知知的的取取值值范范围围求求实实数数已已知知例例：aaaaaaaaa 0 xy(1)0 xy(2)011323xxy xy(3)学点五学点五 解不等式问题（数形结合，利

15、用图象与性质）解不等式问题（数形结合，利用图象与性质） 1.30.7233521.0.71.32.,3.24.( 2,2)( )12,( )4(1) ( )( );(2) ( )( );(3) ( )( ).mmxmxxxRxf xg xxf xg xf xg xf xg x 练练习习已已知知，求求 的的取取值值范范围围已已知知求求 的的取取值值范范围围在在内内解解不不等等式式点点在在幂幂函函数数的的图图像像上上，点点在在幂幂函函数数的的图图像像上上，问问当当 为为何何值值时时，有有学点六学点六 图象性质的运用图象性质的运用21234221.(0,1)_.2.12,2,_.3.(33)_.pn

16、mmxyxyxpyxnC CC Cnymmxm 设设时时，函函数数的的图图像像在在直直线线的的上上方方，则则 的的取取值值范范围围是是已已知知幂幂函函数数在在第第一一象象限限内内的的图图象象，已已知知 取取四四个个值值，则则相相应应于于曲曲线线的的 依依次次为为如如果果幂幂函函数数的的图图像像不不过过原原点点，则则 的的取取值值范范围围是是4.,*( ). ,0.0.0.0pqyxp qNpA p qqpB qpqpC qpqpD qpq 已已知知幂幂函函数数（）的的图图像像如如图图，则则均均为为奇奇数数，且且为为偶偶数数， 为为奇奇数数，且且为为奇奇数数， 为为偶偶数数，且且为为奇奇数数，

17、为为偶偶数数，且且形如形如 的幂函数的奇偶性的幂函数的奇偶性 （1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称； （2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称； （3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数， 图象只在第一象限内.( ) =(,)nnmN+f xxmZ Z其其中中._)()(. 5322kZkxxfkk的图像如图所示，则函数101-11xy.)(. 6322数图像的值，并画出相应的函轴对称，求且其图像关于公共点，的图像与两坐标轴都无已知函数nyZnxynn01xy01-11xy)0(0 xxy4 xy1、幂函数的定义：形如、幂函数的定义：形如

18、 y=x的函数叫幂函数。的函数叫幂函数。以自变量以自变量x为底数；指数为常数；自变量为底数；指数为常数；自变量x前的系数为前的系数为1；只有一项。；只有一项。2、与指数函数的区别：、与指数函数的区别：看未知数看未知数x是是指数指数还是还是底数底数 若若x是是指数指数，则它是，则它是指数函数指数函数，如，如y= 2x 若若x是是底数底数，则它是，则它是幂函数幂函数，如，如y=x23 3、幂函数定义的应用、幂函数定义的应用 判断哪些函数是幂函数判断哪些函数是幂函数 根据幂函数的定义求参数的值根据幂函数的定义求参数的值 用待定系数法求幂函数的解析式用待定系数法求幂函数的解析式小小结结4、幂函数图像、幂函数图像(在第一象限）在第一象限）oxy1111oy对比xay xy ),(10aa且且)(R o1a10 a1o111 1 10 0 0