学业分层测评15直接证明

1、学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1. 命题“函数f(x)=x-xlnx在区间(0,1上是增函数”的证明过程“对函数f(x)=xxlnx求导得f'(x)=Inx,当x(0,1)时，f'(x)=Inx>0,故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了的证明方法.【答案】综合法2. 已知a,b是不相等的正数，x=悖，y=，则x,y的大小关系是xy.【解析】要比较x,y的大小.-x>0,y>0,只需比较x2,y2的大小，即"b二2与a+b的大小.a,b为不相等的正数,/ab<a+b,a+b+2ab72<a+b,则x

2、2<y2,x<y.【答案】<3. 已知sin辞cosA1且2德芳贝Ucos2M.【解析】由sinHcosA£得1+2sin0cos0=&则2sin0cosA24,525252/_3jc.v德4,.sinO0,cos«0.sin0cosM12sin0cos=7.-sin55，.cos20=1-2sin20=1-2X25=25.254. 已知函数f(x)=exax在区间(0,i)上有极值，贝U实数a的取值范围是【解析】函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值，就是导函数f'(x)=ex一a在区间(0,1)上有零点.即方程ex-a=0在区

3、间(0,1)上有解.所以a=exqi,e).【答案】(1,e)a2x+125. 已知f(x)=a(22x+12是奇函数,那么实数a的值等丁.2a2【解析】函数的定义域为R,函数为奇函数，当x=0时f(0)=0,即二一=0,.a=1.【答案】1解23a-a1.a即ai(ai+8d)=(ai+2d)2,ai+a3+a9a2+a4+ai06. 已知等差数歹Uan的公差d0,且ai,a3,a9成等比数歹0,4d(aid)=0,du0,ai=d,ai+a3+a9i3aii3Jk八八.a2+a4+aioi6aii613167.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m24)x+m是偶函数，函数g(x)=x3+

4、2x2+mx+5在(一00,+oo)内单调递减，则实数m=【解析】因为f(x)=(m2)x2+(m24)x+m是偶函数，所以m24=0,m=堤.由题意知g'(x)=3x2+4x+m<0包成立,24贝U=44X(3)xmV0,解彳寸mV3,1!m=2.【答案】一2如图2-2-1,四棱柱ABCD-AiBiCiDi的侧棱垂直丁底面，满足时,BD±AiC(写上一个条件即可).图2-2-i【解析】要证BDJAiC,只需证BDL平面AAiC.因为AAiJBD,只要再添加条件ACJBD，即可证明BDL平面AAiC，从而有BD!AiC.【答案】AC±BD(或底面为菱形)二、解

5、答题8. 已知三角形的三边长为a,b,c,其面积为S,求证：a2+b2+c2>3S.【证明】要证a2+b2+c2>40S,只要证a2+b2+(a2+b22abcosC)>2/3absinC,即证a2+b2>2absin(C+30)，因为2absin(C+30°)<2ab,只需证a2+b2>2ab,显然上式成立.所以a2+b2+c2>40S.9. 已知FBC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求证：ABC为正三角形.【证明】.2cos2B-8cosB+5=0,.2.4cosB8

6、cosB+3=0,-i3,人，、-cosB=2或cosB=只舍去),.B=600.a,b,c成等差数歹0,.2b=a+c,cosB=a2+c2b2=2ac2ac2'a=c.乂.B=60°,.ABC为正二角形.能力提升1. 如果a山+by/6>ay/b+g/a,则实数a,b应满足的条件是.【解析】a>/a+by/b>ayjb+b*?a眼a/b>b山b仍？a("一b)>b(,a.b)?(ab)(ab)>0?(山+仍)演一的2>0,故只需a冬b且a,b都不小丁零即可.【答案】a>0,b>0且ab22XV已知AABC的两

7、顶点A、B是双曲线916=1的左右两个焦点，顶点C在双曲线的右支上，则sinCsinAsinB【解析】A、B是双曲线W一土=1的左右两个焦点,C在双曲线的右支916上,.AB|=2寸9+16=10,|CA|CB|=6,sinC|AB|5由正弦JE理，得=一Q.sinA-sinB|BC|-AC|35【答案】-言2. 使不等式<3+2仍>1+丘成立的正整数p的最大值是【解析】由V3+2寸2>1+VP,得Vpv<3+221,即pv（0+2收-1）2,所以pv12+4*4也一2寸3,由丁12+W6-4也一2寸312.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.【答案】12,一一.、.a+bb+c4.已知a,b,c是不全相等的正数，且0<x<1,求证：logx厂+logx厂+a+clogx-<logxa+logxb+logxc.、a+bb+ca+c【证明】要证明logx-+logx-+logx-<logxa+logxb+logxc,只需要证明logx<logx(abc),<222Ja+bb+ca+c而已知0<x<1，故只需证明-22>abc.a,b,c是不全相等的正数，a+bb+cF»Vab>0,2->