重庆大学现代控制工程线性系统的状态空间描述

1、第二章 线性系统的状态空间描述§ 2-1状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况 .(如: 一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度)2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量.(如果用最少的n个变量Xi(t), X2(t), ,xt)就能完全描述系统的状态，那么这n个变量就是一组状态变量.)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3、状态向量：设一个系统有n个状态变量，即Xi(t) , X2(t) , ,xn(t)，用这n个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量.记为聞創沟燴鐺險爱氇谴净。X(t)珂Xi(t),X2(t),X

2、n(t)T.从结构的角度讲, u(t)为系统控制量4、状态空间：由n个状态变量作为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间. 引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了 一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示.其中X(t)表征系统的状态变量, (即输入量)，y(t)为系统的输出变量.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。图2-1动力学系统结构示意图与输入一输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程.例

3、：设单输入线性定常系统(LTI-L in ear Time In varia nt)的状态变量为X1(t), x2(t), ,xn(t),x；(t)二印必 a12(t)X2(t)am(t)Xn(t)du(t)X2(t)=a21X1(t)a22(t)X2(t)a2n(t)Xn(t)b2U(t)aXn(t) = an1X1(t)an2(t)X2(t)ann (t)Xn(t)bnU(t)输入为U(t),则一般形式的状态方程为：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。上式可写成向量一矩阵形式：x (t) = Ax(t) bu(t) 或 x = Ax bux29rx =_Xnxnai1ai2"a21a22A =

4、a n1 a n2aina2nann'bib2 b =-p其中:6输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统 的输出方程例：单输出线性定常系统y(t)二 C1X1 (t)C2X2©CnXn(t)du(t)其向量一矩阵形式为：y(t)二cx(t) du(t)7、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程.它是对系统的一种完全的描述.謀养抟箧飆鐸怼类蒋薔。例：SISO系统状态空间表达式:*= Ax + bu y = cx+ duMIMO系统状态空间表达式:'x"= Ax+ Buy = Cx

5、 Du注意：由于A、B、C、D矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个确定的系统简称为系统(A,B,C,D).系统矩阵A:表示系统内部各状态变量之间的关联情况. 输入矩阵（或控制矩阵）B:表示输入对每个状态变量的作用情况. 输出矩阵C:表示输出与每个状态变量之间的组成关系.前馈矩阵D:表示输入对输出的直接传递关系.一般控制系统中，通常情况 D=0.8、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法.*x" = Ax + Bu状态空间表达式：的结构图如下:y =Cx + Du图2 2系统动态方程的方块图结构= Ax + Bu= Cx

6、 + Du：x(k+1)=Gx(k) + Hu(k)Y(k) = Cx(k) + Du(k)离散系统：用差分方程来描述§ 2-2线性系统状态空间表达式的建立线性系统状态空间表达式的一般形式：连续系统：用线性微分方程来描述一、状态空间表达式的模拟结构图在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示各状态变量之间的信息传递关系，这对 于建立系统的状态空间表达式很有帮助.状态空间表达式的模拟结构图有三种基本符号：厦礴恳蹒骈時盡继 價骚。(1)积分器(2)加法器x1(3)比例器或x或 xX2x3 二 x：-x2kx或上+x【例】已知系统动态方程如下，试画出系统结构图Xi = X?X2 =

7、 X3x3 = -6x - 3x2 - 2x3 u'x" = Ax + bu解：写成向量一矩阵形式ly = cx010其中：A = 001_6_3_21 ol系统结构图(或状态变量图)如下:_2-3-6系统结构图(用基本单元来模拟动态方程)态冇忏，二、状态空间表达式的的建立1由控制系统结构图建 立2、由实际系统通过物理定律建立 四种方法3、由微分方程建立冷、由传递函数建立1、由控制系统的结构图求系统动态方程系统结构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用要将系统结构图模型转化为状态空间表达式，一般可以

8、由下列三个步骤组成：茕桢广鳓鯡选块网羈泪。第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器 (1/s )、比例器(k)及加法器组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制 系统.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器(1/s )的输出作为一个独立的状态变量 Xi, 积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dXi/dt. 籟丛妈羥为贍债蛏练淨。第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写 出系统的状态方程.根据需要指定输出变量，即可以从结构图写出系统的输出方程.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴

9、。【例】某控制系统的结构图如图2-3 (a)所示，试求出其动态方程(a)图2-3控制系统结构图解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统图2-3 (a)所示结构图经等效变换后如图 2-3 (b)所示.我们取每个积分器的输出端信号为状态变量Xi和X2，积分器的输入端即Xi和X2 .从图可得系统状态方程：渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。取y为系统输出，输出方程为：* =讥 写成矢量形式，我们得到系统动态方程：y = 1 o【例223】求如图所示系统的动态方程(a) 系统方块图S+1141灾)S+2£+3宀邮+

10、154(b) 第一次等效变换(c) 由标准积分器组成的等效方块图解：图（a）第一个环节 乞可以分解为（1 -丄），即分解为两个通道，如图（b）左侧点划线所框s + 2s + 2部分.第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图（b）右侧双点划线所框部分.进一步，我们可以得到图（c）所示的由标准积分器组成的等效结构图.依次取各个积分器的输出端信号为系统 状态变量Xi,X2,X3,X4，由图（C）可得系统状态方程：铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。X； = _8x + x2x2 = -64x； x3I x3 = 3x3 x4 x； + u = x； 3x3 x4 + u.X； = _2x4 _ x； +

11、 u = -x； _ 2x4 + u由图可知，系统输出y = x；写成矢量形式,得到系统动态方程:T_ 8100 1011 1=卜64100X +0uT丨-；10-3H 11-；00_2 一iy二；00ok2、根据物理定律建立实际系统的动态方程一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等.要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程（组）、传递函数、动态方程等）.根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的 物理量作为系统的状态变量和输出变量， 并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、 能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷

12、。©【例】RLC电路如图所示.系统的控制输入量为u（t），系统输出为uc （t）.建立系统的动态方程解:该RLC电路有两个独立的储能元件 L和C,设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和 R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：坛搏乡囂忏蒌鍥铃氈淚。L畔 2 i(t)dt Ri(t)二 u(t)dt C1uc(t)i(t)dt(1)我们可以取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压Uc(t)作为系统的两个状态变量，分别记作L 咚 X2 RX1 二u dtdx21整理有dt C” R 11X1X1x2uL L L1CX2Xi写成向量矩阵形式为:(2)设状态变量x1 = i，

13、x2二 idtL咚X2+Rx1=u dt Cdx2整理有jX；X2Rx1x2uL LC L-X1uLLJ丄01X2-C一LLuR1X；1y =uc =CX2写成向量矩阵形式为:LC 0(3)设状态变量X1 二1 idt Ri，X2 +C idt十,晋 Cw Rem），wC整理有：x111 11 1x2i(% x2)x1 -x2CC RRC 1 RC 2di111=x2 Rx-ix2 R (uRi)dt RCRCL11 R 、，1 R 1 Rx1x2(uxj=()x1x2uRC 1 RC 2 LRC L RC 2 Ly 7写成向量矩阵形式为:注意：选取不同的状态变量，便会有不同的状态 空间表达式

14、，并且各状态空间表达式之间存在着 某种线性关系3、由系统的微分方程建立状态空间表达式从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发建立与之等效的状态空间表达式 的问题，称为“实现问题” 关于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论 蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。注意：实现是非唯一的.（1）输入量中不含导数项SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为：+勺id t + 0护+吋二帥（或严）+1）+ +仃二阳-适用于编程）第一步：选择状态变量（选择 n个状态变量x1,x2, , xn），令:Xn(n 4)第二步：化高阶微分方程为XX2,，人的一阶微分方程组捲=x2X2 二 X3I irIXn

15、XnXn =aoX1 - aX2 - -anXnoU第三步：将方程组表示为向量一矩阵形式:x" = Ax + buy = ex-o；10 0 10：01 0其中：A =:i -i99I 0 I_i_00 1_a0a-a2 _an J. _00b =0cd 0 0011, 最后一行的元素可以任意取，而其余的元素均为零.買鯛鴯譖昙膚遙闫撷凄。系统结构图注 意：矩阵A为友矩阵友矩阵的特点：主对角线上方元素为【例225】已知y6厂 41y 7y = 6u，试列写动态方程.解：选状态变量x1 = y， x2二y '， x3二yxf = X2状态方程：=X3、x3 =刁 Xi -41x2

16、 -6x3 +6u输出方程：y =为'x* = Ax +bu状态空间表达式为：丿bU=cxo o 6_-rl士、7-Hr-【例226】已知系统结构图如下，试求闭环状态空间表达式2十 1)解:十厂2s2 s 2故微分方程为:y y 2y = 2u选状态变量， X2 = y状态方程：严7X； =2x! x2 +2u输出方程：y =为”x" = Ax + bu状态空间表达式为：'二CX其中：A=°1，b=°,c=1ol1-2 -12-1 -2（2）输入量中含导数项SISO线性定常连续系统的一般形式：y（n）an _iy（n 一1）yy a°y

17、=垢占）bn _1心）fu b°uX厂 y - h°uXj = Xj-hiu(i =2,3,n)x 二 Ax bu y = ex du-0：10 0 10 101 0其中：A =:1 .1a-30!00 1-_ a°1一 a-a2 _and. _状态空间表达式为:h2 b =-a'hne = 1 0 00 1, d =h0 二 bnh!这里0山2,hn可用待定系数法确定，即:h0 = bnhi=b n-a.h2=bn- anh1 -an _2hoh3二 bn"- an血-an _2h1 - an J3h0h4二 5/一冇血-an Rh2- an

18、3 0 - a n/h°注意：这种方法不适用.可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式.4、由传递函数建立状态空间表达式SIS O系统传递函数为：G(s) u(s)nns anas a0Y(s) _ bnsnbn_iSnbs g应用综合除法有:"S0 二N(s)+ais+a0n D(s)上式中的bh就是y = cx du中的d，即d = bn.SISO系统结构图（1） NSs!直接实现的情况D（s）?心）1Z（5）N&)W)rr其中：D(s) = sn + 务 _i 加'+ + 旳用+ 口 °D(s)将N（s）分解为两部分串联

19、，z为中间变量，z, y应满足:十知_° 十十。1了' + Qp Z U选取状态变量： = Z , x2 = z , X3 =z“ , ,xn =Z(n4X2 =X3Xi 二 X2(n 1) _ _Xn 二 _a°z - az _an=z uan -A Xn=Q V Q V 0 八11 2输出方程为：厂n-iz(n-1)1-QX1 'n -2X n-1x 二 Ax bu向量一矩阵形式的状态空间表达式为:其中：010001:I: I-0001. a。丨-ai-a200a1_ an J00b =c - l-o ：1：2：n1上述状态空间表达式称为可控标准型 .当

20、 G(s)=bnN(S)时，A,b 不变，唯 y 二 cxbnU 变化. D(s)N(s)串联分解的状态变量图D(s)(可控标准型)另外,N(s)D(s)°nn 1s anas还可以选另一组状态变量.设X = yXi = X 1 aiy - iU经整理有如下状态方程：Xn = Xn= - an/Xn UXn：二 Xni -a-2XnnJX3X2X1X2 一 an/Xn 2U% - axn: 1u aoXn0U输出方程为：y = Xnx" = Ax + bu向量一矩阵性为= ex + du-0-亠0a。110|0-a1A =aai11 :1001 c1 0- an_2 |00

21、1- an_J _e = 0 0011上述状态空间表达式称为可观测标准型.可观测标准型和可控标准型动态方程的各矩阵存在如下关系:Ac = A，be = e0，Cc = b0N (s)串联分解对偶的状态变量图(可观测标准型)D(s)【例】已知系统传递函数为G(s)二2s 8s 1532s 7s 14s 8试求状态空间表达式解：采用传递函数直接实现法:啥)1Z(5)N%)器8整理有：厂Z%US=rF 整理有：r 714z8u令:xz，xz，X；二 x2X2 =X3X3 = 8 x； - 14x2 - 7X3 ' uy = 15x； 8x2 x3x" = Ax + bu状态空间表达

22、式为：y = cXTU-010 101A =001，b = 0 ，-8-14-7一式中:c = 15 8 11, d =0可控标准型状态变量图根据对偶原理，也可写出可观测标准型:X = Aobouy =c°x+d°u式中：Ao =10-14，bo =8i017 _1 一0 0-815co »00 11，do =0x； = -8X315u* x； = x； 14x3 十 8u_/3 = x2 _7x3 +u厂X3可观测标准型状态变量图2【例228】已知系统传递函数为G凤忌，试求状态空间表达式解:G(s) =12s 5s2 4s 3(1)可控标准型状态空间表达式为:x

23、 = Acx bcu厂护dcU其中:Cc 二 5 21，(2)可观测标准型状态空间表达式为:x 二 Aox bou y 二 c°x doU其中:-31-4,b。二 cC2, cu 1'(2)并联实现1)Ds)只含单实极点的情况设D(s)可分解为nD(s) =(S - 1)(S -2) (s- n) = - -(S - i)I m式中-(I =1,2,，n)为n阶系统的单实极点，则可化为对角标准型那么传递函数可展成:y(s) _ N(s) _ n Ci = G C2. . Cnu(s)D(s) yS-'js-'2s_，n式中：D(sj( i) su(s) , i

24、 =1,2,n1取状态变量：xi (s)一s 丸i整理后有：Xj -打xi u ,即状态方程为:XiX2= 必 u=2x2uXn*Xn 7js)n又有：y(s)=、'i壬s 旳ny八Cj Xj即输出方程为:i &y =CXc2x2十+CnXn向量一矩阵形式为:C2Cn X对角形动态方程的状态变量图为: 由于对角形动态方程的状态变量图2【例229】已知系统传递函数为G(s)二3 S 28s 15，试求状态空间表达式s +7s +14s+8解:G(s)2s 8s 15C132s 7s 14s 8 s 1其中：C1= G(s) (s 1 Ci二G(s) (s 2) s.Ci二G(s)

25、 (s 4) s.动态方程为:°-21 u，-4L12)鵲含重实极点的情况当鵲中含重实极点时,不仅可以化为可控、可观测标准型，还可以化为约当形动态方程例如:D(s) =(s- 1)3(s- 4)(s- -n)y(s)二 N(S)二 5.G2.03.、Ciory-u(s) D(s) (s；1) (s-'；1)(s-)iis-，i-/_11111為1 :0扎1x =011/-4+11'-ny =C11C|2缶!C4Cnx +A'O'0I11【例】已知系统传递函数为G(S)二22s 5s 1(s-2)3，试求约当型状态空间表达式.解:G(s)二2(s-2)C

26、11C12 G3_19323(s-2)(s-2)(s-2) (s-2)其中：5 =G(s) (s-2)3s =19%G(s) (SV3 =13 dsC13 二丄d2!2ds 23s=2 =2y = 19 132k动态方程为:_200 01 x+ 0 u，2门x-i = 2x1k2X2 =2x2 X3X3 =2x3 uy = 19x113x2 2x31322【例】已知系统传递函数为G(s)二4S 210s 5 ，试求约当型状态空间表达式s +5s +8s+4解:4s210s 5(s 2)2(s 1)c11(s 2)2(s 2) (s 1)其中：5 =G(s) (s+2)2sj =1C12 二 d

27、 G(s) (s 2)1- =5 ds一C <G(s) 1动态方程为：_-2 1 0 1x=0 -2 0x+1u，y=15-1X.00 -仃山"x = Ax 十 Bu特别注意：状态空间表达式丿U可按如下公式导出传递函数y = Cx + DuG(s) =C(sl A)，B +D§ 2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型一、状态空间表达式的线性变换回顾前面几节有关系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统结构图出 发，还是从系统微分方程或传递函数出发， 在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的随意性，因此

28、会得出不同的系统动态方程实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程； 系统结构图在取状态变量之前需要进行 等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异， 这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题， 更是会导致迥然不同的系 统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程 所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同 式的动态万.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。1、非奇异线性变换对于状态向量X二xx2,，xn T，我们总可以找到某个非奇异矩阵P，将原状态向量x作线性变换，得到另一个新的状态向量 x ,令 X二px变换

29、前系统动态方程为：lx = Ax +bu-y =cx变换后系统动态方程为:式中：x = Ax + buy = CX驅踬贯特别提示饴憂有些教材中，做如下线性变换:变换前系统动态方程为:'x = Ax + bu y = ex变换后系统动态方程为:式中：x = Ax +b uy =cxA = PAPcP，与上面线性变换相比，两者只是形式不同.为在讲授过程中方便讲解，我们将一直采用X二Px这种线性变换.2、非奇异线性变换的不变特性线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方程、传递函数不变、系统特征值和特征向量（预备知识）定义： 设A是一个n n的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量,使A

30、-二、则称'为A的特征值，任何满足A ，的非零向量称为A的对应于特征值'的特征向量.1、特征值的计算【例】求下列矩阵的特征值-01T 1A =_6-116-_6-115-11解：det® A) = 6 九十116611 k_5解出特征值 = -1，二 36 211 6 = (1)( 2)( 3) = 02、特征向量的计算【例】求下列矩阵A的特征向量.0 1 -1A= 6-116-6-115解：(1) A的特征值在上例中已求出1 - -1，2 - -2，- -3(2)计算对应于特征值 1 = -1的特征向量-1，有A 1设 1 = k11V12V13 T，即有01-口“

31、*11-6-11612=11V126-115 一M 一I i% 一计算整理后有：V11 V12 V13 =0*6V11 _1OV12 +6V13 =0 解出： =v13， v126v1 11v2 + 6v3 = 0令：v11 =1，则 5=1 0 1 f（3）同理可算出1=-2的特征向量2 4T 1 - -3的特征向量-3 = 1 6 9三、动态方程的几种标准型1、动态方程的对角标准型x对于线性系统丿=Ax buy =cx若A的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵x = Px使原状态空间表达式变换为对角标准型.广 _ x =Ax + bu:畀=cx式中:A = P 4AP， b = P *b

32、，C =cP其中，i(i =1,2,n)是矩阵A的特征值.变换矩阵P由A的特征向量P，P2,Pn构造，即P=PlP2PnPl ,P2,，Pn分别为对应于特征值 1, '2,，'n的特征向量.【例233】试将下列动态方程变换为对角标准型_01-n01x = 6-116x+0u，y = 10 0X一6-115 一1 11解：(1)A的特征值和特征向量已在前面两例中算出:.：，1 = -1 ， .；2 = -2， 丿'3 = -3U一11Fp1 =0， p2 -2，P3 =61ii41i9(2) 用Pi, P2, P3构造变换矩阵P,并求P.二 P1P2P3=1【6_ P=P

33、3-35 2-43 2-100 1-21A = P，AP =020，b = P=3003一_-1j(3)计算A，bc，c = cP 二于是变换后的动态方程为:-100-21x =0-20 x +3 u-00-3'-1y = 111 X猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。注意:如果原状态空间表达式中的A阵为友矩阵，且有 n个互异实数特征值么使A变换为对角形矩阵的变换阵-1P是一个范德蒙(Vandermonde)矩阵:1 1n -1101 0 Inx =00 1x +0u-6-11 -61 i0 一y = 1 10x系统特征多项式为detpj - A)=0解出特征值为【例234】试将下列动态方程变换为对

34、角标准型.解:；1 = -1 ，: 2 -2 ,= -3由于A为友矩阵，并且有互异实特征值,111 132.50.5-1-2-3,则 P '=-3-4-1J49 一11.50.5一故而变换矩阵可直接写为如下形式:P-1001-30-20 1,b = P b =-3_00一3-1,c = cP =1A P AP 二0 -1-2于是变换后的动态方程为：0 0-2 0-10°3-3, y = 0 -1 -2X0 -3J J例 235 】-10 X +2试将下列动态方程变换为对角标准型20'0o oX解：米用另一种方法:(1)系统特征多项式为det(l -A)二0，解出特征值

35、为 2 ,(2)可由A二p4ap= ap，二p'a，进而求出p =令:P4P11p21_p31p12p2232p13p23P33 _并带入AP =P4A ,20卫0厂卩10p1p2131p12p2232P13_P1p23p331p21_p31p12p22p132p230p33 i.o1 1- 121-1-n10 11解出P=010，则P =01 0-011 一0-1 1(3)计算b , c41b = P= 2 , c = cP = 1 0 1 】22、动态方程的约当标准型如果A阵具有重实特征根，又可分为两种情况： A阵虽有重特征值，但矩阵 A仍然有n个独立的特征向量.这种情况同特征值互

36、异时一样，仍 可以把A划分为对角标准型 .锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 另一种情况是矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量的个数也低于 n.对于这种情况, A阵虽不能变换为对角标准型，但可以变换为约当标准型.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。(1)约当块和约当阵形如114一21 0-21的矩阵，称为约当块.0-2由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为 约当矩阵如4100004'000b0卜21000|0-21'00 0 -2一(2)设A阵具有m重实特征值1，且只有一个独立实特征向量5与之对应，则只能使 A化为约当阵J.P2人11t 111 01'-m 十0 ! =111Pm Pm+Pn

37、 JJ式中P2， P3，Pm是'1的广义实特征向量，满足:P1 P2pm=AP1P2pm而Pm 1，Pn是互异特征值对应的实特征向量0-01 x +【例】试将下列动态方程变换为约当标准型00 I0JJ0'2oX解:(1)系统特征多项式为det(-1 - A) = 3-2 = i 1)2- 2) =0 ,解出特征值为''1 - '_ -1 ， '3=2(2)对应于特征值= -1的特征向量p.|，有Ap p1，即(- A) pi =0-10Pn -1-1p12-31-P13 -=0-10-221 P22 P23 I，根据P2 严1 1_0 -100&

38、#39;2P1 P2 I_1 1解出：山=-1一1 一由于r a n冲I -A) =2，故对应特征值人=-1的独立特征向量只有一个(因为 n -r akl - A) =3-2 =1)，另一个为广义特征向量，设为 p '-p_1p21- ,0101p21_1p22T1 1001-1p22p23I。T-230 一Jp23P21 二 p22解出此方程组* -1 - P22 = P231 一卩23 = 2P21 *3P22=P2110L-d最后确定3 = 2的特征向量p3('31 - A) p3 = 020-10 P31-1p32一2-3233 _|I2 P31 - P32解出：2p3

39、2 P332P31 3P32 +2P33 =°P3 =- I J_ 12 4-(3)构造变换阵P:_1】=1-1P2P3-12 丄1P 7一1-52【-31(4)计算A, b,-1_9 1b = P，b = -1/3 ，J/9 J(3) 设A为友矩阵，具有m重实特征值1，且只有一个独立实特征向量 与之对应，则使A化为约 当阵J的变换阵P为：輒峄陽檉簖疖網儂號泶。m： ；1'n：卩1m_jm_1Pnn _1 '1【例】试将下列动态方程变换为约当标准型.解:(1)(2)因此01-0oX系统特征多项式为解出特征值为1构造变换阵P由于A为友矩阵,"O0 1P3 二3

40、'2 det( I - A)3 -3 -2C 1)2C2) =0，3=2故 R = 1 站？；T=11 1】-2T2 4T1P =右P2 P3-124_8-11-31(3)计算 A, b, c :(i =1, 2, /，L)(iI -A)P" -Piimi 1|1 1 0A = PAP= 010 0 0 2_一/96 = P 卞=1/3 ,.19 jC = cP = 1 0 1 丨(4) 设A具有重实特征值，即det( l A) = ( -J® ('一 匕严( - l)"1且满足g m2 - mL二n,那么则使A化为约当阵的变换阵P为:PTRi P

41、2p 1 F2i % 隔1 丨 Ri R2Rm式中各分量可由如下公式确定："(丸j A) Rj =0仏il A)Pi2 = P1矩阵A的特征值i对应的约当块数可表示为：:n = nrank( i I _ A)对应'i的2阶约当块的块数，可表示为：2:i2 = rank( i I - A) _ rank( iI - A)同理，'i的3阶约当块的块数，可表示为：:i3 = rank( i I - A)2 - rank( jl - A)3以后依此类推【例】试将已知的A阵变换为约当型.1 1 2A= 013'0 0 2解:(1)系统特征多项式为 det(.| A) =( 1)2C 2) =0 ,(2)对应解出特征值为构造变换阵P 1= 1 2 1 ， 3 二 2P11 P12-1-2 10-30-1 -P11二0_P11P2 = bP2】 1 =1，有'I I A由( 1I - A)Pn = 0可由下式求出:1再根据(丸1I a)P200'0oT而对应于3=2的特征向量F2，由(3I -A)P2 =0=故而1TP - P11P12P210】00-51-30 1矩阵A对应1 =1的约当块的块数：；11 = n - rank (11