3.1数系的扩充

1、3.1 3.1 数系的扩充数系的扩充 请同学们回顾一下，到目前为请同学们回顾一下，到目前为止，我们学过了哪些数集？止，我们学过了哪些数集？温温 故故 社会生活社会生活自自然然数数无无理理数数分分数数负负数数度量单位正方度量单位正方形的对角线长形的对角线长测量、分配中测量、分配中的等分的等分为了刻画相反为了刻画相反意义意义 的量的量？为了计数的需要为了计数的需要？数学内部发展的需要数学内部发展的需要(1)(1)在自然数集内解方程在自然数集内解方程x+2=0 (2)(2)在整数集内解方程在整数集内解方程3x-2=0(3)(3)在有理数集内解方程在有理数集内解方程x2-2=0 方程方程 x2= -1

2、 的的解解探探 索索 无解无解 添加添加负整数负整数，在整数集内方程的根为，在整数集内方程的根为x= =- -2 2无解无解添加添加分数分数，在有理数集内方程的根为，在有理数集内方程的根为x= =_ 23无解无解添加添加无理数无理数，在，在实数集内实数集内方程的根为方程的根为x= =2方程方程 x2= -1 的的解解探探 索索 现在我们就引入这样现在我们就引入这样 （1 1）； （2 2） i 知新知新 动动 动动 手手 实数实数0与与单位单位 i 进行加、减、乘、除进行加、减、乘、除 运算可得到哪些数？运算可得到哪些数？ 实数实数2与与单位单位 i 进行加、减、乘、除进行加、减、乘、除 运算

3、可得到哪些数？运算可得到哪些数？ 实数实数2 2、 单位单位 i 进行加、减、进行加、减、 乘、除运算可得到哪些数？乘、除运算可得到哪些数？3abi动动 动动 手手23,23,2 32,3,23 ,322 ,3 ,(23)iiiiiii(3)(3)实数实数2 2、 单位单位 i 进行加、减、进行加、减、 乘、除运算，可得到哪些数？乘、除运算，可得到哪些数？3复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,bR)的数叫做的数叫做复数复数 biaz ),(RbRa 复数的代数形式复数的代数形式全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，通常用字通常用字母母z表示表示.一般用字母一般用字

4、母C表示表示. .知新知新 复数复数z= 能否表示实数？能否表示实数？讨讨 论论(0)b虚数虚数（纯虚数纯虚数（a=0且且b0）z= (0)b实数实数1、若、若a=0,则则z= 2、若、若z= ,则则a=0判判断断（假）（假）（真）（真）故故a=0是是z= 必要不充分必要不充分NZQRC 15451545年意大利有名的数学年意大利有名的数学 “怪杰怪杰” 卡丹卡丹 第一次开第一次开始始 讨论讨论负数开平方的问题负数开平方的问题，当时复数被他称作，当时复数被他称作“诡辩诡辩量量”. .几乎过了几乎过了100100年，年，笛卡尔笛卡尔才给这种才给这种“虚幻之数虚幻之数”取了一取了一个个名字名字虚数

5、但是又过了虚数但是又过了140140年，年，欧拉欧拉还是说这种数还是说这种数只是存在于只是存在于“幻想之中幻想之中”，并用，并用i i（imaginaryimaginary，即虚幻，即虚幻的的 缩写）来表示它的单位缩写）来表示它的单位. .后来德国数学家后来德国数学家高斯高斯给出了复给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来来1831837 7年，爱尔兰数学家年，爱尔兰数学家哈密顿哈密顿用有序实数对（用有序实数对（a,b)a,b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算

6、律实数的运算律. .这样历经这样历经300300年的努力，数系从实数系向年的努力，数系从实数系向阅读：复数系是怎样建立的？阅读：复数系是怎样建立的？复数系的扩充才得以大功告成复数系的扩充才得以大功告成. .复数集C实数集R虚数集虚数集纯纯虚虚数数集集思考思考 复数集与实数集、虚数集、纯虚数集复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？之间有什么关系？想一想想一想 如果两个复数相等，那么它们应满如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？足什么条件呢？(), , ,a b c dRdicbia acbd复数相等复数相等00ab思考思考知新知新 若若0()abia bR、2-3i06i实部实部

7、虚部虚部分类分类2i虚数虚数2134例例 1: 1: 完成下列表格（分类一栏填完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或实数、虚数或纯虚数纯虚数）i34212-3虚数虚数00实数实数06纯虚纯虚数数-10实数实数实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是（是（1 1）实数）实数 ？ （2 2）虚数）虚数 ？ （3 3）纯虚数）纯虚数 ? (4) 0 ? (4) 0 ?(1)(1)zm mmi例例 2:2: ()2(25) (3)x yxy ixx yi ,Ryx.yx 与与2523xyxxyxy23yx例例 3:3: 小结小结 N N Z Z Q Q R RC C负整数分数无理数负整数分数无理数虚数虚数1 1、数的发展历程数的发展历程2 2、虚数单位虚数单位 3 3、复数分类复数分类= = (0)b虚数虚数(0)b实数实数(a=0且b0时为纯虚数）4 4、复数相等复数相等(), , ,a b c dRdi