极坐标参数方程题型归纳--7种

1、极坐标与参数方程（高考真题）题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.（2015广东理，14）已知直线l的极坐标方程为 2psin"4'理，点A的极坐标为A2/2, 75，则点A 到直线l的距离为.立意与点拨本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题.解答本题先 进行极直互化，再求距离.二、参数方程与直角坐标方程的互化九 世P是椭限12/+3f = 12上的一个动点.则#十2）的最大位足 .最小值为 x2 V2c x1=6。冶门【解析】椭圆方程为：土+L=1 ,因为sin2x+cos2x=1 ,令x 、6sin ，则有64y = 2 cosaX+2y=

2、 J6sinc（ +4 cosct =,；6T6sin 9 +中）,最大值 222 ,最小值-a 22三、根据条件求直线和圆的极坐标方程3. ia的参数方程为I吗*48?她参数）.用此圆的半程为 y = 4sin 8- 3cos&徜析:x = 3sin 曰十 4cus9由4+ 一 -用工,丫 = 4sin-3cos=25故半校为5四、求曲线的交点及交点距离4. （2015湖北高考）在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 'x=t的极坐标方程为 p（sin 0 -3cos 0） = 0,曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A,y=t+；

3、两点，则|AB=【解析】x数方程直线l的极坐标方程1 t'p（sin 03cos 0 ）=0化为直角坐标方程为3x-y=0,曲线C的参,1 ly=t+t两式经过平方相减,化为普通方程为y2-x2=4,联立3x y=0,y2 x2= 41 x=一解得x一 2 53,2 V= 2 .所以点A 乎，一呼），B好322 .所以|AB|=3 ,22x=1-J2-t,5 .在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程 广（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相02y=2+ 学 t,交于A、B两点，求线段 AB的长.x2 10x+ 9 = 0,xi = 1, x2= 9.解析解法1：将l的方程化为普

4、通方程得l: x+ y=3,y=x+3,代入抛物线方程y2 = 4x并整理得22 t)，. .交点 A(1,2), B(9, 6),故 |AB|= 82+ 82 = 82.解法2:将l的参数方程代入y2=4x中得，（2 +手。2=4（1 解之得 ti = 0, t2=8&,AB|=|ti 12|=8也.C ,1x=3+2t,6 .（2015陕西理，23）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 广（t为参数）.以原点为极点,Iy岑x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为 P= 2>/3sin Q（1）写出。C的直角坐标方程；（2）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最

5、小时，求 P的直角坐标.立意与点拨考查极坐标与参数方程、 转化与化归思想和函数思想；解答本题（1）需熟记极直互化公式;（2）用参数坐标将距离表达为 t的函数，转化为函数最值求解.x+ (y 3产=3.解析(1)由 p= 2"/3sin 0,得 p2= 2-3 psin 0,从而有 x2 + y2 = 2>/3y,所以(3+品+昌第2 =42+ 12 ,(2)设 P(3 + 2t, 米)，又 C(0, 瓜 则 |PC|=故当t=0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为（3,0）.五、利用参数方程求最值（转化与化归思想和函数思想）工+ 为蓼数，上求一点使它到宜我的,y 工

6、sin 0x = -+-tZ ”为零数）的跖离最小，并求出诊点坐标和垃小距忠.V = I - -/2立意与点拨（用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题，着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧）解上直栽C"化或外通万丹是设所求的点为P凡sin。）则C到真线G的距离小-|sin( G ) *24当"十时,即0=2时,d取最小值1 4248. （2015新课标n高考）在直角坐标系xOy中，曲线C1：X= tCOS a ,（t为参数，tW0）,其中0W o兀，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A, C

7、1与C3相交于点B,y= tsin aC2 ： p= 2sin 0 , C3 ：尸 23cos 0 .求|AB|的最大值.【解】（1）曲线C2的直角坐标方程为 x2+y22y= 0,曲线C3的直角坐标方程为x2 + y2- 23x= 0.x2+y2-2y=0,x=0,身尸-2樨”解得(=0，所以C2与C3交点的直角坐标为（0, 0）和ly=| 修,2)（2）曲线Ci的极坐标方程为0= MpC R, pw 0）,其中0W a兀.（此题Ci代表的是一条过原点的直线）因此A的极坐标为（2sin a , 0）, B的极坐标为（23cos a , a）.所以 |AB|= |2sin a - 2g3cos

8、 a |= 4 sin当a= 5/时，|AB|取得最大值，最大值为4.9. （2015商丘市二模）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线 l的极坐标方程为:肩 1. .，,，、一x=2+ 2cos a,©in£三尢曲线C的参数方程为：、6，2|y=2sin a.（1）写出直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.解析(1) ;岱in.延.八16 厂 2，P12 sin 9- 2cos2, .呼y5="2，即 l： x-V3y+ 1 = 0.（2）解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为 （2+2cos% 2sin

9、a）, 所以，曲线C上的点到直线l的距离|2+2cos a 2*sin1|4cos a+ -32. 所以最大距离为7.337x= 2 +1=1,直线l： *(t为参数).y=2-2t解法二：曲线C为以（2,0）为圆心，2为半径的圆.圆心到直线的距离为3,所以，最大距离为2+2 = 2.10.（文）（2014新课标I理，23）已知曲线C: xr+y; 49写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.x= 2cos 0,解析（1）曲线C的参数方程为1（。为参数）直线l的普通方程为：2x + y-6=0

10、.y= 3sin 0,(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos 0, 3sin。)到 l 的距离为 d = |4cos0+ 3sin 0- 6|.5则 1PA|= si2,5 一 45 |5sin（叶 力一6|,其中a为锐角，且tan“= 3.（将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力当sin（时”）= 1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin（”） = 1时，|PA|取得最小值，最小值为22 一 552.55 .六、直线参数方程中的参数的几何意义11.已知直线I绕过点汽l/h假斜角a二-61写出百仰的参数方杷设，与阴/ +,V2 =4相交叮两点求

11、点尸到*H两点的跆魏之机:1 .口,线的参数方科为过X = 1 + f cos 61.开V = 1+/SH1 6（2）把H线,6X = 1 +t2I1 + - F2(1 + /)2 + (1 + -/)2 = 4tZ: +(VI+ l)Z -2=0 .阜, 22剜点P刎A. B四点的距高之枳为2 .12.来|ri或工=1 十 二，5. 1为参数J被曲线0二JIcosW + 上）所截的强长.,34y = -J -t方法一:愀将方程._ 4a , =应+ 分别化为普通方程;143 c + 4 + 1 = 0 , X2 + y: - a + j = 0?圆心C （L -）,半径为立园心到五线的距离d

12、=-L弦长=24=*- 222102 100方法二：根据直线参数方程中t的几何意义，可知，弦长 =|ti-t2|.新方梆?二点cos(tf + ?)分别化为忤通力程：A; + /-A + >' = 0将 5 ”代入国方程 v = -1 t15224 f A f 3 ( 4 f 3、 一得：1+t l + -1t l 1+ t l+ -1t 1=0,方程化简，然后用韦达定理求1 5 . 5，、5 八 5 J弦长二|t-t2|= it 1 , t2-4y2 = 3 3 32213.(理)在直角坐标系xOy中，过点P(-2-, 2)作倾斜角为a的直线l与曲线C: x+y=1相父于不同的

13、两 点 M、N.11 ，(1)写出直线l的参数方程；(2)求丽+的的取值范围.，八、”一,一一 11小 E，、一(根据直线参数方程中t的几何意义，用参数t表本所求量 画十向，然后用t的二次方程的韦达定理， 转化成三角函数进而求范围，此题较难).3 3x= -2- + tcos %解析(1)(t为参数).、y= 2'+ tsin a,x= 2 + tcos %(2)将(t 为参数)代入 x2+y2=1 中，消去 x, y 得，t2+(V3cosa+ 3sino)t+2=0,、V=2 + tsin a由 A= (73cosa+ 3sin42 8=12sin2(a+8>0? sin(

14、“+ $>乎，工+ =- +二-=3cos好3.立质加(叶口)也 响|PM| |PN| -11 12t1t22s '6) (M2' V3， 七、求动点坐标、求变量的值c 1x=3 + 2t,14.(2015陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数).以原点y= 21为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为 尸2y3sin ft(1)写出。C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求 P的直角坐标.立意与点拨考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐

15、标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解.解析(1)由 p= 2V3sin 依得；=2击由in 也从而有 x2+y2=2j3y,所以 x2+ (y-V3)2 = 3.(2)设 P(3 + 2t,兴),又 C(0,5)，则 |PC|=4(3+2tf+(乎tV32=f?T2 ,故当 t = 0 时，|PC| 取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0).（此处用参数t来表示所求距离，然后当作变量为t的二次函数，求最值）一, ，一 一一 x= a cost,15.（2016 全国卷I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 1（t为参数,y =1 + asint,以坐标原点为极点， x轴正半轴

16、为极轴的极坐标系中，曲线 C2 ： P = 4 cosQ .a a 0).在（I）说明Ci是哪一种曲线，并将 Ci的方程化为极坐标方程;（n ）直线C3的极坐标方程为8=0（0,其中口0满足tana。=2,若曲线Ci与C2的公共点都在C3上,(1)x =a costy =1 asint2c11均为参数)，x +(y -1 ) = a 222 C1为以（0, 1 ）为圆心，a为半径的圆.万程为 x +v 2y+1a =0 : x2 +y -a2 =0a =1, （圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减，可得变量的方程）16.（文）（2015唐山市二模）在极坐标系中，曲线 C:2acos 0（a>0）, l: pcos 。3 j= 3, C与l有且仅有 一个公共点.求a；（2）0为极点，A, B为C上的两点，且/ AOB=£求|OA|+|OB|的最大值. 解析（1）曲线C是以（a,0）为圆心，以a为半径的圆；l的直角坐标方程为 x+ >/3y 3= 0.由直线l与圆C相切可得JaJ2J=a,解得a= 1.（求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程 ） , ,兀（2）不妨设A的极角为a B的极角为Q+-, 3 = P2 , y = Psin 6 -1 P2 -2 P