平面向量中的三角形四心问题

1、i平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中， 可以体现数学的对称性与推论的 相互关系。一、重心(baryce nter)三角形重心是三角形三边中线的交点。 重心到顶点的距离与 重心到对边中点的距离之比为2：1。在重心确定上，有著名的 帕普斯定理。结论1:若G为/ABC所在平面内一点，则GA GB GC = 6二G是三角形的重心证明：设BC中点为D，则2GD二GB GCGA GB GC = 6二-GA = GB GC-GA = 2GD,这表明，G在中线AD上同理可得G在中线B

2、E,CF上故G为厶ABC的重心B2结论2:1一 若P为ABC所在平面内一点，贝U PG (PA PB PC)3=G是厶ABC的重心一i -一证明：PG=彳併人PB PC)u-* -* -* =GA GB GC = 0 =G是厶ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。结论3:若H为厶ABC所在平面内一点，则HA HB二HB HC二HC HA=H是厶ABC的垂心证明：HAHB二HB HC= HB (HA-HC) = 0二HBAC = 0= HB AC同理，有HA CB,HC一AB故H为三角形垂心(PG - PA) (PG - PB) (PG - PC)

3、 = 03结论4:2 2 - 2 2 2 - 2若H为丄ABC所在平面内一点，贝UHA BC = HB AC = HC AB=H是厶ABC的垂心2 2 -2 2 2 2证明：由HA BC = HB CA得,HA (HB- HC)2二HB (HC - HA)2=HB HC二HC HA同理可证得，HA HB二HB HC二HC HA由结论3可知命题成立三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。结论5:若0是ABC所在平面内一点，贝V|0A二|0B|二OCu 是厶ABC的外心 证明：由外心定义可知 命题成立结论6: 若是上ABC

4、所在平面内一点，则(OA OB) BA二(OB OC) CB二(OC OA) AC =O是二ABC的外心24_F_F_ 2二（OB + OC）CB = OB四、内心（incenter）三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。结论7:若P为厶ABC所在平面内一点，则AB + ACBA * BC（、CA丄CB鬧同=OB +入2屈岡=OC +、-3JCAOP =OA 1（九 0）二P是ABC的内心证明：（OA OB）BA =（OA OB）（OA- OB）- O_ 2OC992故O为厶ABC的外心526证明：记AB,AC方向上的单位向量分别 为e1,e2AB ACOP =0Ai厂AP

5、二i（ee2）1|AB| |ACL由平行四边形法则知，（ee2）在AB, AC边夹角平分线上即P在.A平分线上同理可得，P在.B,C的平分线上故P为厶ABC的内心结论8:若P是厶ABC所在平面内一点，则aPA bPB cPC = 0二P是厶ABC的内心证明：不妨设= PCaPA bPB cPC = 0= a(PD DA) b(PD DB) cPC = 0二(a b c)PC (aDA bDB)二0由于PC与DA,DB不共线，则-V- 1- a b c = 0,aDA bDB = 0DB a由角平分线定理，CD是ACB的 同理可得其他的两条也 是平分线 故P是上ABC的内心即DA如果我是山，就要站成一种尊严，让山花灿