平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

1、 课 题：241 平面向量数量积的物理背景及含义 教学目标 （一）知识目标 1、 了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2、 体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用 性质进行相关的运算和判断； 3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。 （二）能力目标 通过对平面向量数量积性质的探究,培养学生发现问题、 分析问题、 解决问题的能力,使学生的思维能力得到训练.继续培养学生的探究能力 和创新的精神。 （三）情感目标 通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索 的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培

2、养学生思考 问题认真严谨的学习态。 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。 教学难点：平面向量数量积的概念。 教学方法：启发探究式,讲练结合法。 教学准备：多媒体、彩色粉笔。 课型：新授课. 教学过程 （一）复习引入 教师引言： 前面我们学习了向量的相线性运算， 向量的加法、 减法和 数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍 然是一个向量。既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量 能否进行乘法运算？如果能，结果应该是什么呢？我们很清楚，向量概 念的引入与物理学的研究密切相关， 我们来看物理学中这样的一个例子: 物理学家很早就知道，如果一个物体在力 F

3、 作用下产生位移 S,那么 F 所 做的功为： （图 1） （图 1）中力所做的功 W= F S，（图 2）中力所做的功W = F S cos日，在 物理中功是一个标量，是由 F 和 S 这两个向量来确定的，如果我们把功 看成是由 F 和 S 这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平 面向量数量积的物理背景及其含义”. （二）合作探究 结合物理学中功大小的定义w二F Scosr和前面我们说的把功看 成是F和 S 两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把F和 S 这两个 向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义. 1 数量积的定义： 已知两个非零向量a和 b，把数量a b COST叫做

4、a与 b 数量积（或 内积），记作a b （注意：两个向量的运算符号是用“”表示的，且不 能省略），用数学符号表示即 a b = b co , （0。兰日兰180今. 规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即 0 = 0 a 为任意向量 2、接下来，请同学们思考一个问题： 根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时 候为负？ 我们前面已经提到两个向量的夹角在 0 ,180 根据余弦函数的知识 我们可以知道： 当八 0 ,90 时， os 二 0， a b 0 ； 当二 90 ,180 时， cos 二：0， a b : 0. 当 v -90 ,a _b,a b =0; 5 ”

5、b = b co 是由W =|F S cos日的引出来的，而W =| F S cos8是 Fi所做的功，Fi =|Fcos日是F在 S 方向上的分力， 那么在数量积中 acos，叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影”： a cos （ b cos叫做向量a在 b 方向上（b 在a方向上）的投影. 4、 根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何 意义： 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在a方向上的投影b cos的乘积 5、 功的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。 6、 探究数量积的性质 我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一

6、些特殊的夹 角： v - 90 ,a _ b,a b = 0; B=0: a 与 b 同向,a*b=|ab； J - 180， a 与 b反向，a b 二-a b . 我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的，那如果我们已知 两个向量的数量积及模长，怎样得出它们的夹角呢？ 根据定义 a 七=耳 b cos n cos。.由此我们就可以得出日 同 b|3、投影的定义 (-28) 的值.当 a b =0 时,cosv - 0- -90 . 总结 a _ b 二 a b = 0 . 特别地，a 曰=a 2或 a =Ja a,这里 a a 常记为 a2. 请判断a b 与 a b 的大小关系. 解：

7、因为 a b =|bco , co 列 1, 所以 a b =司 bcos 日| b . 这些就是数量积的性质。在课堂上以上性质以探究形式出现，让 同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。 （三）例题讲解，巩固知识 例 1 已知a =5, b=4 , a 与 b 的夹角日=120 度，求 a b . 解：根据数量积的定义： a b =耳 b cos 日 =54 cos120 （1、 =5 父 4 x I 2 丿 =-10. 练习：在厶 ABC 中 BC=8,CA=7, C = 60 求 BC *CA。 a b =a|b a 3=点18。/ = 2,5 与 b 的夹角 = 120 o 1、判断下列各命题是否正确，并说明理由 、若 a 工 0,则对任一非零向量 b,有 a b 工 0. 、若 a 工 0，a b = a c，贝 U b = c . 2、已知 ABC 中, AB=a, AC =b，当 a b 0 或 a b =0 时，试判断AABC 勺形状。 （五） 课堂小结 本节课你有什么收获？让学生各抒己见从不同方面加以总结。 （知识收获，学习方法，数学思想等） （六） 布置作业： 1、课本 P21习题 2.4A 组 1、2、6。 2、拓展与提高:例 2 已知a b = ， =2 b =8 解：匸 a