函数奇偶性的六类经典题型

1、奇偶性类型一：判断奇偶性例1判断下列函数奇偶性(1) (且)(2)(3)(4)(5)解：(1)且.奇函数(2) ,关于原点对称.奇函数(3) ,关于原点对称既奇又偶(4) 考虑特殊情况验证：;无意义；-非奇非偶(5) 且，关于原点对称为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1. 函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)=、/X+1,则当x<0时，f(x)=解析：f(x)为奇函数，x>0时，f(x)=qx+1,.当x<0时，一x>0,f(x)=-f(x)=-(V+1),即x<0时，f(x)=0x+1)=yjx1.答案：一寸二一12. 求函数的解析式(1) 为

2、R上奇函数，时，解：时，(2) 为R上偶函数，时，解：时，类型三：根据奇偶性求参数1. 若函数f(x)=xln(x+)为偶函数，贝Ua=【解题指南】f(x)=xln(x+)为偶函数，即是奇函数，利用f(x)f(x)0确定a的值.【解析】由题知是奇函数，所以=，解得=1.答案：1.x+1x+a2. 函数f(x)=3为奇函数，贝Ua=.x解析：由题意知，g(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，a=1.答案：一123. 已知f(x)=3ax+bx5a+b是偶函数，且其te义域为6a-1,a,贝Ua+b=()B.1C.1D.7,.,_._,1解析：选A因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a-1+a=

3、0，所以a=-.又f(x)1 为偶函数，所以3a(x)bx5a+b=3ax+bx5a+b,解碍b=0,所以a+b=.4. 若函数f(x)=x2|x+a|为偶函数，贝U实数a=.(特殊值法)解析：由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，贝Uf(1)=f(1),.1一|1+a|=1一|一1+a|,.a=0.答案：0x2+x,x<0,5. 已知函数f(x)=衣+以x>o为奇函数，则a+b=.(待定系数法)解析：当x>0时，一x<0,由题意彳导f(x)=f(x),所以x2x=ax2bx,从而a=-1,b=1,a+b=0.答案：06. (1),为何值时，为奇函数；(2)

4、为何值时，为偶函数。答案：(1)(恒等定理).时，奇函数(2)(恒等定理)f(x)7.已知定义域为R的函数求a，b的值；(特殊值法)若对任意的tR,不等式2xb2a是奇函数。()解析：(I)因为f(x)是奇f(t22t)f(2t2k)0恒成立,k的取值范围;f解|取特殊值法函数，所以f(0)=0,12xa2xb1nu0b即a21f(x)2.又由f(1)=-f(-1)知()由(i)知为减函数又因f(x)是奇函数,等价于f(t22t)因f(x)为减函数，t22tk2t22x11f(x)x22x从而不等式:f(2t2k)由上式推得:即对一切tR有:3t22tk1 12 2x1易知f(x)在()上-2

5、_f(t2t)f(k2t2)-一2一f(2tk)00,从而判别式412k0类型四：范围问题1. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当xAO时，f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A.(8,1)U(2,+8)B.(1,2)C.(2,1)D.(8,2)U(1,+8)解析：选Cf(x)是奇函数，.当xv0时，f(x)=x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2a2)>f(a)，得2a2>a,解得2vav1.12. 定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+8)上递增，且f2=0,则满足f(x

6、)>0的x的集合为.1解析：由奇函数y=f(x)在(0,+8)上递增，且f-=0,碍函数y=f(x)在(一00,10)上递增，且f=0,1,、1-f(x)>0时，x或一2<x<0.即满足f(x)>0的x的集合为x-kx<0或x>!2 211答案：x2<x<0或x>23. 已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=ln(1x),函数f(x)=x3,x<0,c若f(2x2)>f(x)，贝U实数x的取值范围是()gx,x>0,A.(8,1)U(2,+8)B.(8,-2)U(1,+8)C.(1,2)D.(

7、2,1)解析：选D设x>0,则一x<0.x<0时，g(x)=ln(1x),g(x)=ln(1+x).又,:g(x)是奇函数，.g(x)=ln(1+x)(x>0),x3,xv0,f(x)=其图象如图所示.由图象知，函数f(x)在R上是增函ln1+x,x>0.数.f(2x2)>f(x),2x2>x，即一2<x<1.所以实数x的取值范围是(一2,1).4. 定义在R上的奇函数f(x)，当xC(0,+°°)时，f(x)=log2x，则不等式f(x)v1的解集是.一1x0<x<2，或x<2解析：当xv0时，一x&

8、gt;0,-f(x)=f(x)=log2(x),log2x,x>0,f(x)=0,x=0,log2(x),x<0.x>0,.f(x)v1log2x<1x=0,x<0,1或O或I()0vxv2或xv2.5. 已知f(x)是奇函数，且当xv0时，f(x)=x2+3x+2.若当x1,3时，n<f(x)<m恒成立，贝Unvn的最小值为()B.21D4解析：选A.设x>0,则一xv0,所以f(x)=f(x)=(x)2+3(x)+2=x2+3x2.3 一，11一所以在1,3上，当x=分时，f(x)max=日；当x=3时，f(x)min=2.所以HP5打且n&

9、lt;92.故nvnA-.46. 已知f(x)是定义在-2,2上的奇函数，且当x(0,2时，f(x)=2x-1,又已知函数g(x)=x22x+m如果对于任意的乂代2,2,都存在x2C2,2,使得g(x2)=f(x1),那么实数m的取值范围是.解析由题意知，当x2,2时，f(x)的值域为3,3.因为对任意的xB2,2,都存在x22,2,使得g(x2)=f(x1)，所以此时g(x2)的值域要包含3,3.又因为g(x)max=g(2),g(x)min=g(1)，所以g(1)<-3且g(2)>3,解得一5<m2.类型五：奇偶性+周期性(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+2)=f(

10、x)，当x£(0,1)时，f(x)=2x2,则f(log16)的值等于().2解析：f(log16)2=-f(-log16)=-f(log26)2=f(log26-2)6-26-=(2log2-2)=4-21=成，故选c.2.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xcR,都有f(x+8)=f(x)+f(4)，且xC0,4时,f(x)=4-x,贝Uf(2011)的值为.解析：f(4)=0,.f(x+8)=f(x),T=8,.f(2011)=f(3)=43=1.类型六：求值11. 已知函数f(x)是定义在(一2,2)上的奇函数，当x(0,2)时，f(x)=2x-1,贝Uflog2-3的值为

11、()A.-2B.-2C.2-13解析：当x(一2,0)时，一x(0,2)，又.当x(0,2)时，f(x)=2x1,.f(x)=2x一1,又因为函数f(x)是定义在(一2,2)上的奇函数，.-.f(x)=f(x)=2x1,xC(-2,0)时，f(x)=1.v-2vlog21<0,.f(log21)=1=2.故选A.2x33'答案：A2. 已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(2)=3,则f(2)=.解析：根据已知g(-2)=f(-2)+9,即3=f(2)+9,即f(2)=6.答案：63. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x+ex(e为自然对数的底数)，则f(ln6)的值为.由f(x)是奇函数得f(ln6)=f(ln6)=(-ln6)eln6=ln66.1答案：ln6-64. 已知函数存在最大值M和最小值N则啪N的值为.5. 设函数，若函数的最大值是M最小值是m则.分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对求导.事实上，理科学生，求导得，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因此，须从考察函数的性质下手，事实上，令，易求得，所以是奇函数，所以g(x)的最大值与最小值之和是0,从而f(x)