高中数学求解函数的定义域和值域的基本方法(附例题)

1、求解函数定义域和值域的基本方法(附例题)一、求解函数的定义域函数定义域，即函数自变量的取值范围。在具体题目中，有求解具体函数和抽象函数的定义域两类。针对不同类型的题目，解题方法也不相同。1、求解具体函数的定义域在给定函数的定义域求解过程中，要善丁挖掘题目中的隐含条件，并以此求解得出正确答案。一般隐含条件有以下几点：(1) 整式函数的定义域为:R(全体实数)(2) 分式函数中，分母不等丁0(3) 含偶次根式的函数中，被开方数大丁或等丁零(4) 指数函数的定义域：R(5) 对数函数的定义域：(0,+8)(6) 籍函数中，当指数为-1、0时，底数不得为零示例一：求函数f(x)Jlog2x1的定义域解

2、：要使f(x)有意义，log2x10H蒙；*M域为2,解题步骤： 列出使函数有意义的不等式(组) 解不等式(组) 若为不等式组，在取交集时借助数轴，表明是否取端点值 汇总，写成集合形式(注意区间的开闭)练习一：,一11求函数f(x)的定乂域logi(2x)2x32、抽象函数的定义域一直以来，抽象函数是高考热点。抽象函数中，内层函数的值域是外层函数的定义域，在计算抽象函数的定义域时，一定要多留意。示例二：若函数f(x)的定义域为2,9,求f(2x3)的定义域解：由题意可知：22x39解得：1x32综上所述,f(x)的定义域为,3解题步骤：1、若已知y=f(x)的定义域a,b,则复合函数y=fg(

3、x)的定义域由a<g(x)<b解得2、若已知复合函数y=fg(x)的定义域为a,b，则y=f(x)的定义域为函数g(x)在a,b上的值域练习二：已知函数f(x)的定义域为0,2，求g(x)M次的定义域x13、求自变量取值范围在一定条件下，求自变量取值范围，是基丁定义域上的一类考题。在此,单独拿出来讨论。11x2'则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围示例三：设函数f(x)ln(1x)解:由题意可知：f(x)的定义域为Rf(x),得f(x)为偶函数时,ln(1x)单调递增，一单调递减1x2时，f(x)单调递增；乂f(x)当x0,故x0,故要使f(x)f(2x1)成立，则

4、f(x)f(2x1),也即可化为：x2解得：1x132x12x1综上所述，x的取值范围为3,1解题步骤: 率先求解函数的定义域 在定义域范围内，根据题目要求，求出使得题目成立的条件。在此过程中，在不改变自变量取值范围的前提下，灵活运用解题技巧练习三：1x01已知f(x)，求使f(f(x)1成*x3,x0,1的x的取值范围二、求函数的值域在函数中，因变量的取值范围，即为值域。在求解函数值域时，常用的方法有：分离常数法、配方法、换元法、反函数法、单调性法、数形结合法、基本不等式法等。此外，借助导数来求出函数单调性，进而求解值域的导数法，将在导数的应用部分详细说明。数形结合的思想在高中数学解题中尤为

5、重要，结合函数图像，在此对几个基本初等函数的值域作简单汇总，如下： 一次函数的值域：R 形如f(x)ax2bxc(a0)，的二次函数，当a>0时,函数的4acb24ac子值戈为4a；当a<0时，函数的值域为4a 反比例函数的值域：,00,指数函数的值域:0, 对数函数的值域：R示例四：求解函数f(x)2x，,的值域2x1f(x)的定义域为R12x111,解：由题意可知，j、2x11f(x)x2x12x0,土0,12110,12x1综上所述，f(x)的值域为0,12x练习四：求函数f(x)当的值域2、配方法配方法适用丁一元二次函数或可转化为一元二次形式的函数，将其配方成顶点式，求解函

6、数的值域。示例五：求函数f(x)x4x21的值域解：由题意可知：f(x)的定义域为R令tx2,则t0,，函数可化为:g(t)t2t1,t0,2x13123g(t)t2tt4424t0,g(t)1,综上所述，函数f(x)的值域为1,练习五：求函数f(x)2x26x9的值域3、反函数法反函数法只能用来求解反函数存在的函数的值域，反函数的定义域即为原函数的值域。示例六：求函数y-的值域1x解：由题意可知，定义域为0,1xy1、xy(1"x)1、x气xJ01y可知1y0(1y)(1y)0解得，1y1综上所述，函数的值域为1,1练习六：求函数yN的值域x24、数形结合法必要时，需先等数形结合法

7、建立在对基本初等函数图像掌握熟练的基础上,效转化为分段函数，根据图像，得出函数值域。示例七：求函数f(x)log0.2x24x5的值域解:由对数函数性质可知，要使函数成立，需x24x50g(x)x24x5(x2)211满足条件，且g(x)图像关于x2轴对称故，方程定义域为：R00.21f(x)图像在2,单调递减f(x)图像在，2单调递增f(x)在x2时取得最大值，f(2)0综上所述，f(x)的值域为,05、基本不等式法利用不等式法求函数最值对函数本身有要求，在运用过程中，有“一正二定三相等”的应变策略，以下是详细解释：、针对求解形如yax的函数值域时常用此法x2、此方法基本原理：ab20a2b22ab当a0、b。时，可演化为：ab'ab3、此方法基本要求要求：一正二定三相等以ab2届为例一正：a、b必须都为正数二定:当ab为定值时，可推知VOb(或ab)的最大值当ab为定值时，可推知a2b2(或ab)的最小值三相等：当且仅当ab时，等式成立，即当ab时，ab2寸ab当ab时，ab2/ab示例八：求函数yx22x3n2x3,(x1)的值域(x1)24(x1)61-411,6由题意知:xx故x10,0,x1故原式2,x1642、64>x1当且仅当x1一堂时，x1即x1、6时，等式成立综上所