《数值计算方法》试题集及答案

1、数值计算方法试题集及答案数值计算方法复习试题一、填空题:答案:-10-14-10-14-1/40-115/4-4/15 10-156/152、已知川）=10,"2）=12八3）=13,则用辛普生（辛卜生）公式计算求得，用三点式求得:左答案：2.367,0.253、/=-1，/（2）=2,3）=1,则过这三点的二次插值多项式中/的系数为拉格朗日插值多项式为O4、近似值xx=0.231关于真值工=0.229有（2）位有效数字；5、设/“）可微，求方程x=/。）的牛顿迭代格式是（）;4一/(4)6、对/*）=/+x+1,差商/0,1,2,3=（1）,0,123,4=（o）;7、计算方法主要

2、研究（截断）误差和（舍入）误差；8、用二分法求非线性方程/（x）=0在区间俗为）内的根时，二分次后的误差限为9、求解一阶常微分方程初值问题'=/（xw）,y（xo）=yo的改进的欧拉公式为10、已知/(1)=2,/(2)=3,/(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);“、两点式高斯型求积公式。&小小心咤"磊""磊"),代数精度为(5);12、解线性方程组Ax=h的高斯顺序消元法满足的充要条件为(4的各阶顺序主子式均不为零)。J=10H+-13、为了使计算工一】(、一1厂。一1)的乘除法次数尽量地少，应将该表达

3、式改写为=10 + (3 + (4 - 6。山=1二T_,为了减少舍入误差，应将表达式2V200f-J1999改写为J2001+J199914、用二分法求方程/(口二，+工一1二°在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为0.5,1.进行两步后根的所在区间为05075o15、计算积分1；"1k，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为04268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的代数精度为，辛卜生公式的代数精度为3。f3修+5.叼=1卜尸)=(l-5x产)/316、求解方程组1°2牛+40=°的高斯塞德尔迭代格式为_*7=-x尸

4、)/20该迭1代格式的迭代矩阵的谱半径。()=丘_。17、设/(°)=0J。)=16,/。)=46，则/1(x)=_A(x)=一x(x-2)一/(x)的二次牛顿插值多项式为_N2(x)T6x+7x(x1)一/(x)dx=Z4/Cq)18、求积公式*=0'的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2+1)次代数精度。19、已知/(1)=1/(3)=5/(5)=3,用辛普生求积公式求T"“)"工(12)。12、设1)=1,/(2)=2,/(3)=0,用三点式求/"(2.5)。21、如果用二分法求方程在区间向内的根精确到三位小数，需对分（10）次。x

5、30<%<1S（x）=<1I22、已知上一。+依一D+。l是三次样条函数,则=（3），/?=（3）,C=（1）o23（幻/（戏4是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则>“)=(1),(X，),当«>2时之(X： +x； +3)4(x) =1-01+ 3) 0y=fy)24、解初值问题1）岱）。的改进欧拉法斓=y“+/?/（%£）<fj%+1=%+5"）+/（册+1,朋）是2阶方法。25、区间网上的三次样条插值函数s在,闻上具有直到2阶的连续导数。26、改变函数/。）=标-五（工。的形式，使计算结果较精确/W="

6、;bo27、若用二分法求方程小）=。在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分2次。«）2,己0<%<128、设一%3+ax+bx+c,1<x<2是3次样条函数，则a=3,b=-3,c=129、若用复化梯形公式计算*,要求误差不超过心,利用余项公式估计，至少用477个求积节点。.%,+1.6x2=130、写出求解方程组1-。4再+占=2的Gauss-Seidel迭代共产）=1.6岁公式/）=2+。.4吠，迭代矩阵为（0-1.6I。-。高，此迭代法是否收敛收敛一31、设A=（；：）厕1%=9。32一421的 A = LU ,则 U =33326

7、3;'2J O若 /(x) = 3x，+ 2x + l则差商 712,4,8,16,32 =34、数值积分公式小/（一“味川"的代数精度为 2。10135、线性方程组L2110a的最小二乘解为36、设矩阵”分解为a=lu21410T八2102.二、单项选择题:1、Jacobi迭代法解方程组Ar=的必要条件是（C）。A.A的各阶顺序主子式不为零B.P（A）1C.%WO，=1，2,口.KI-1-22-3-A=0512、设L00一7_|,则0（4）为（c）.A.2B.5C.7D.33、三点的高斯求积公式的代数精度为（B）。A.2B.5C.3D.44、求解线性方程组Ax=5的LU分解

8、法中，A须满足的条件是（B）。A.对称阵B,正定矩阵C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是（A）产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是n的有（B）位有效数字的近似值。A.6B.5C.4D.77、用1+x近似表示所产生的误差是（C）误差。A.模型B,观测C,截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是（A）oA.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算X)误差。9、用1+5近似表示井口所产生的误差是(DA.舍入B.观测C,模型D.截断10、-324.7500是舍

9、入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A.5B.6C.7D.8H、设/(-1)=10)=3/(2)=4,则抛物插值多项式中工2的系数为(A)oA.-0.5B.0.5C.2D.212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A. 3 B. 4 C. 513、(D)的3位有效数字是0.236X102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-214、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根, 是(B )oD. 2(C) 235.418 (D) 235.54X10-1把方程f(x)=0表示成x=(p(x),则f(x)=0的根(A) y=<p(x)与x轴交点的横坐标(

10、C) y=x与x轴的交点的横坐标(B) y=x与y=(p(x)交点的横坐标(D) y=x 与 y=<p(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组3再-x2 + 4x3 = 1_ X + 2x2 - 9x3 = 0-4演一3+邑=-1,第i次消元，选择主元为(A) 4(B)3(C)4(D)-916、拉格朗日插值多项式的余项是(B )，牛顿插值多项式的余项是(C ) o(A) f(x9x0,xl,x2v.9xn)(xxl)(x-x2).(xxn-l)(xxn)t(B)(。)=/(幻一勺(幻=(n +1)!(C)f(x,x0,xl,x2,xn)(xx0)(xxl)(xx2)(xxnl)(xx

11、n),& G) = 工)-”r(x)= (D)尸5 + D!17、等距二点求导公式r(xl)MA)。(a)Z22(c)km12X + A()18、用牛顿切线法解方程f(x)=O,选初始值xO满足(A)，则它的解数列xnn=0,l,2一一定收敛到方程f(x)=O的根。(A)f(x.)r(x)>0(B)/(x0)/7(x)>0(C)/(x0)/7x)<0(D)/(x)<019、为求方程x3-x2-l=0在区间L3,L6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。X2=一,迭代公式:5+=,1(A)-gX(B)= 1 + -L迭代

12、公式：厂xk(C)/ = 1 + /，迭代公式“人+】=(1 +寸)|"2X3 一1 =,迭代公式:=+、'(D)+4+120、求解初值问题y，= f(y)1'(%)=汽 欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是0；四阶龙格一库塔法的局部截断误差是(A )(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)21、解方程组A，i的简单迭代格式(D)O(h5)-8”+g收敛的充要条件是(1 )。 <1 ,)o(2)夕(8)<1,(3) 0(A) > 1 ,夕(8)>122、在牛顿柯特斯求积公式：门)？；”收)中,当系数C量是负值时，公式的

13、稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿柯特斯求积公式不使用。(1) 之8,(2) H>7,(3) n>io,(4)/>6,23、有下列数表X00.511.522.5f(x) -2-1.75 -10.254.25所确定的插值多项式的次数是(1)二次；(2)三次；(3)四次；五次24、若用二阶中点公式=%+叱+於+'(2»)o(4)求解初值问题y'=-2y,y(0)=l,试问为保证该公式绝对稳定，步长”的取值范围为()o(l)o</?<i9(2)o</2<i9(3)o</<i9(4)o</?<i25

14、、用1艮1.732计算x=(V3-l)4,下列方法中哪种最好？16(A)28-16>/J；(B)(4-2/)-；16(C) (4 + 2 后；(D)-r r S(X)=26、已知的值为(A)6,6；8o04x42是三次样条函数，则(C)8,6；(0)8,(V3+D4o(D)27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多11.522.533.5/(X,)-10.52.55.08.011.5项式的最高次数是()(B)4；(C)3;(A)5；2o28、形如"xa”3)+&/(*2)+mx3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()(A)9;(B)7;(D)3o29

15、、计算后的Newton迭代格式为(x.3x,3(A)24；(B)皿22项；(C)X. 2xk = V+ /n、2 ；(D)x.3x.=+3。Ko30、用二分法求方程，+4x-0=0在区间U,2内的实根,要求误差限为“入1°，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9O31、经典的四阶龙格一库塔公式的局部截断误差为()(A)。他4)；(D)。百)。为节点的Lagrange插值基9 函数，则占 (A”；(BM；(On(D)32、设是以=神=33、5个节点的牛顿柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3O(x-04x4234、已知)二加

16、一心心-2中20“是三次样条函数，则。力的值为()(A)6,6；(B)6,8；(C)8,6；(D)8,8o35、已知方程32x_5 = 0在x = 2附近有根，下列迭代格式中在。=2不收敛的是()(A)X”师仔.(B)与“=F；(C)W=-5.2匕+5x-(D).3K-2。36、由下列数据xrrX01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)l；(D)3o37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)llo三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打4否则打x)已知观察值("')('=

17、°-2,，?)，用最小二乘法求n次拟合多项式“a)时，乙“)的次数可以任意取。()二2、 用12近似表示cosx产生舍入误差。()“一/)(4-)3、 3一与)(修72)表示在节点xi的二次(拉格朗日)插值基函数。(7)4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。(q)'31r-2535、矩阵A=-2,具有严格对角占优。()四、计算题:量高，并求其代数精度；利用此公式求：沙（保留四位小数）。4X+2x2+x3=11F+4x2+2必=181、用高斯-塞德尔方法解方程组2巧+4+5%3=22,取工"=（0,00）7,迭代四次（要求按五位

18、有效数字计算）。答案：迭代格式琛钊（11_24）-球）4.以旬=；（18-靖训-2石幻）x>=l（22-2A-；fc+,）-x,）kxyX产一000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019f（x）dx六Af（-）+/（1）+/（-）2、求人8使求积公式"-2）2的代数精度尽答案：/（x）=Lx，V是精确成立，即2A+2B=2f7uxv=l/（-i）+/（i）+："（_:）+/（!）求积公式为J-i992221当/（%）=/时，公式显然精确成立；当x）

19、=/时，左=5,右=5。所以代数精度为3。2 15-3i =1,111dt+Tf+39-1+31+318 r1 + - Id9 -1/2 + 3 1/2 + 3I97,3、 已知0.692861401345/（X,）2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求/*）的三次插值多项式（幻，并求/（2）的近似值（保留四位小数）。=2(一4)(一)+6-425)答案:(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)5。一1)(工一3)(-5)卜1(x-1)(x-3)(x-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表为力一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-1

20、54-101/4r(x)=N3(x)=2+2(x-1)-(x-1)(x-3)+L(x-1)(x-3)(x4)42)”式2)=5.54、取步长力=0.2,用预估校正法解常微分方程初值问题y9=2x+3yy(0)=l(0<x<1)斓=%+02x(2%+3%)答案：解：9+1=%+。1X(2xn+3yn)+(2xn+1+3y署)%+i=052x+1.78y/r+0.04n012345Xn00.20.4060.81.0yn11.825.879610.713719.422435.02795、已知再-2-1012f8）42135求一（X）的二次拟合曲线2。），并求广（°）的近似值。答

21、案：解:1y.3/X：X；王»0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020S01510034341正规方程组为/、10311.（X）FXA厂-710145a（i+10。）=1510%=310询+34。）=4110311“。=亍M=历“二启，/、311P2（%）=历+铲3r（o）«p；（o）=-6、已知sinx区间0.4,0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8力0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近

22、似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使口3。)1尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.50.6,0.7最好，实际计算结果Sin0.638910,596274,且|sin0.63891-0.596274|<-L|(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)|3!<0.55032x1047、构造求解方程/+1。1-2=0的根的迭代格式4+1=。(/)，=°，1，2，一，讨论其收敛性，并将根求出来，区?+七1<1°7。答案：解：令rCv)=eA+10A-2,/(0)=-2<0,f(l)=1

23、0+e>0.JL/,(x)=ev+10>0对Vx£(s,+8),故x)=°在(0,1)内有唯一实根.将方程/(x)=°变形为x=(2-eA)10则当x£(0)时。*)十-5),6(x)Y吒<1故迭代格式1yx”+i=(2-er,)收敛。取%二°5,计算结果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足叼一%K0-00000095<10'.所以x*Q0.0905250

24、08内+2x2+3x3=1442xj+5x2+2x3=188.利用矩阵的LU分解法解方程组A = LU= 21答案：解：13 -1 231-41-243项+x2+5x3=20令u=力得y=（141072）r,Ux=y#=（1,2,3），.3X+2x2+10x3=151OXj_4x2_x3=59,对方程组12a-|+10x2-4x3=8（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2）取初值/“=（°，°，°）7,利用（1）中建立的迭代公式求解，要求|加+1）7（口|8<10-3。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优1Oxj4%2x?=5&#

25、39;2%|+10%24工？=83工1+2x2+10x3=15故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为.染+"=5（4x*+x，+5）.留）=5（-2疗）+4x+8）姗+D=_L（_3_+D_2彦+D+15）取”）=（0,0,0）r,经7步迭代可得：X邠工=(0.999991459,0.999950326,1.000010)r10、已知下列实验数据Xi1.361.952.16f（Xi）16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当Oovl时，"（x）=e则/（刈<。，且卜心有一住整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差2.同）（

26、7）归1%八打由厂，只要忸严二二410-411/2即可，解得/?>i-xlO2=67.308776所以=68,因此至少需将0,168等份。H、用列主元素消元法求解方程组解:-1-411 -43 -121 115-4-113 -121 -41 115-43-12o2不5 55n 131795555-43-12n 131 7955502 /5552r+r.13 -回代得-43-1213_£79T5T5_5_13-13_=-1,工2=6,X=312、取节点工。=°囚=05必=1,求函数f（x）=e'在区间0岗上的二次插值多项式马（X）,并估计误差。解:鸟埼需牛产黯1

27、3、用欧拉方法求+-Ix*_0)(_一05)6(1-0)(1-0.5)=2(x-0.5)(x一1)一4e"05x(x-1)+2/x(x一0.5)f(x)=e'/yx)=maxIfm(x)1=1又、A0.11r1IR2(x)1=1-P2(x)l<x(x一0.5)(x-l)l故截断误差3!y(x)=e，df在点x=。510,152.0处的近似值。解:心户卜-，d等价于J = e-y(o)= o(x>°)记/（北丁）=。-工，取/?=0.53o=°，占=°5，=1。巧=15,4=2.。则由欧拉公式%+i=%+好C%，%)Jo=°=

28、0,2,3可得y(0.5) % y = 0.5,y(i.0) = y2 40.88940 .y(1.5)«y3=1.07334,j(2.0)=y4TLi260414、给定方程，（x）=（xT）e'7=01）分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字;3）说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程d)e' 1=0改写为x-=ex(2)作函数力*)=xl,/2(x)=e-'的图形(略)知有唯一根2)将方程(2)改写为=1+构造迭代格式1%=L5(=0,1,2,-)计算结果列表如下：k123456789Xk1.223131.294311.274

29、091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)夕(x)=1+e，',(pf(x)=-e'v当xe1,2时，？。)£0(2)必1)01,2,且I(px)l<e"1<1所以迭代格式伏=°J2广)对任意见金1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求、6的近似值°取xo=L7,计算三次，保留五位小数。解：6是/*)=-3=0的正根，/G)=2x,牛顿迭代公式为24x 3会元2)解:L2(x) = 2x取xo=L7,列表如下:II1231.732351.732051.7320516、已知&quo

30、t;1)=2,八1)=3,2)=4,求拉格朗日插值多项式&W及/(I,5)的近似值,取五位小数。4x(-l)(I)(2+l)(21)kx年）11.6670.889-2.19522.3980.867-2.3833246103592526列表计算如下:/(1.5)比4(1.5)=七 0.0416717、=3,用复合梯形公式求I/"'的近似值（取四位小数），并求误差估计。£e'dv =13=呆e° + 2(e1/3 + e2/3) + el « 1.7342/(x) = e/Tv) = e OWxWl 时，"”")K

31、eIR 1=1 e' - T3 K = = 0.025 < 0.0512x3z108至少有两位有效数字。18、用Gaussfeidel迭代法求解线性方程组0一3-15-1一8取x（°）=（O,O,O）T,列表计算三次，保留三位小数。 解：GaussSeidel迭代格式为：7,+5)铲）（T产-淄-1）春川=；（_42）+4+D -8）系数矩阵0-3-1严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取"=(0,0,0产,y=x+y、用预估一校正法求解b'（°）=l（0女41）,/I=0o2,取两位小数。解：预估一校正公式为%+】=%+5的+

32、勺)占=，矿(为“)k2=hfg+h,yn+勺)=0,1220、（8分）用最小二乘法求形如），= +/的经验公式拟其中/«y)=x+y,%=1,刀=0.2,=°123,4,代入上式得:n12345xn0.20.40.60.81.0yn1.241.582.042.643.42合以下数据:C -7019- 25、解方程组1 13/382_A1 AC = ATyyT =19.0 32.3 49.0 73.3其中ata =433913391 3529603_173.6179980.7再1925303819.032.349.073.30.9255577C一解得："L0.05

33、01025j所以a=0.9255577,b=0.050102521、（15分）用=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算时，试用余项估计其误差。用=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。解:|/?7/|=<x-lx£>°=-=0.001302I"Jl12J1282768h7T(8)=R(a)+2Z/(s)+/S)=1+2x(0.8824969+0.7788008+0.60653066+0.5352614+0.47236655+0.41686207)+0.36787947=0.632943422、（15分）方程x-。

34、在工“5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）kg对应迭代格式户山:对应迭代格式对应迭代格式:判断迭代格式在X。=15的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。i-二解：加丁+D;(1.5)|=0.18<19故收敛;。'(幻=(2) 2”寸4,同(1.5)|=0.17<1,故收敛；(3) =3x29(p'(1.5)|=3xl,52>1故发散。选择(1)：%=1.5,再=1.3572,=1.3309,x3=1.3259fx4=1.3249,x5=1.324769x6=1.3247223、（8分）已知方程组ax=/,其中24f= 30一 2

35、443A=34-1-14（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法:Gauss-Seidel 迭代法: .° -% °B/=-zra+u）= -% o % .0 % °.铲 ="!_（24-34）4x£+d =；（30 3靖川+玲）殍7=；（_24 +以川）攵=0,1,2,3,P（B,） =离（或邛）=0.79056924、1、（15分）取步长的=。1,空一+1 dx求解初值问题I （0） = 1用X；*+1）=1（24-3x1）以川=（30_3

36、9;；幻+x£）x,+i）=5（_24+x,）k=0,123,改进的欧拉法求N。）的值；用经典的四阶龙格一库塔法求）的值。斓="+妙（/，）,“）=09%+01解:改进的欧拉法:K+1=+，"（再r，ylt）+f（X/i,嫖;）=0.905y+0.095乙所以y（0i）=M=i；经典的四阶龙格一库塔法:O 11 =VI =6 z(x 以 所 O= 4 女= 3 k= 2 k=A z A 3 2 4-2 - 2次 + 1 + +/ *i木以儿 + 3力-2 力-2/?. % / + + + 万一61=(A*(x + / / / % = = = = 2 3 4k k

37、k25、数值积分公式形如I*(x)公xS")=*(0)+的+CT(0)+"'试确定参数48c。使公式代数精度尽量高；(2)设/“阿，推导余项公式如)=1)iS(x),并估计误差。解：将/*分布代入公式得:A=.D=20203020“3(七)=/(匹)构造Hermite插值多项式也满足旧=八七)，其中%=0,为=1则有：£血公=5(外，=R(x)=£M/(x)-S(x)八=一(x-I)2dx。0.4!小需=既26、用二步法y+i=%+4+_+hGfxn,)+(1-0)f(xn_x,)/=/(%,)，)求解常微分方程的初值问题IyM=y0时，如何选择

38、参数 4,%,。使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的解：人2人3Rn、h=y(xn+l)-yn+l=)，*”)+hyx)+)，*“)+yo乙J.I213-"K)-%(y6)-2氏)+*-*产区)+),2f3-力区)+(Ie)(y'(x“)-外(z)+4r)严区)-vy区)+】=（1一%一4）y（x）+力（1-1+ax）yxn）+/（"*“）+/（:+?一二）产区,）+。优4）22oo21一%一=0a0=1<%=。=<%=0所以1卷+=°r=l主项：$35该方法是二阶的。27、(10分)已知数值积分公式为:J)2“叫试确定

39、积分公式中的参数人使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：/句显然精确成立；ehh1h)/(x)=x时，J。22;x)=i时，=g=如+宿+研。-2川4-2"="f(x)=x3时,I；x"=%夕0+，】+#0-3的;x)=x"时，c"=.%+/4+/0-4的4；所以，其代数精确度为3。28、(8分)已知求石3>。)的迭代公式为:x«+i=（x女t）.Vo>0k=0,1,22丫卜证明：对一切攵=12.W之及，且序列是单调递减的,从而迭代过程收敛。=ya k = 0,1,2 - 41 zci1证明:Z+l=-(+)

40、-x2xX2 %2故对一切攵=12,心面。又尊=如学4n所以即序列kJ是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、（9分）数值求积公式(/(x)67x|/(1) + /(2)是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为小）在基点1、2处的插值多项式为P（X）=7IX/+x/（2）1221f>=f/（l）+/（2）o其代数精度为1。30、（6分）写出求方程4x=3（x）+I在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。（6分）%=皿）=前+。既），n=0,l,2,奴斗小4"A对任意的初值vi。,迭代公式都收敛。31、（12分）以100,121,144为插值节点,

41、用插值法计算斥的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表:100100.0476190-0.000094113612114411120.0434783阿M10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555(115-100X115-121X115-14413-二«一二1002xl5x6x290.001636832>(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为0.5x10-5 oS?=1/（。）+*）+2/（；）+”（；）+刖卜0.94608693，-卬部卜。.393x

42、10-5八邑=。.94608693/sin（x）x2x4x6x8或利用余项：二/万一无十疏4=19+电。（调因=端尸（小募而，出巾，"22,卢33、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:*+4%2+2x3=24、3为+x2+5x3=342xt+6x2+x3=273.00001.00005.00000.00003.66670.333334. 000012. 66674. 33333. 00001. 0000 5. 0000 34. 00000. 0000 5. 3333 -2. 33334. 33330. 00000 1. 93759. 6875x =(2.0000,3.0000

43、,5.0000)?34、（8分）求方程组(一 1.33331 x =2.0000 (3 6丫工/8(ATAx = ATb 9、6 14人J (20,若用Householder变换，则:'-1.73205 -3.46410 4.61880 ,(A/)-0-0.36603-1.52073、0-1.36603-2.52073,'-1.73205 -3.46410 - 4.61880、701.414212.82843、000.81650,最小二乘解:(-1.33333, 2. 00000)0.00005.3333-2.333335、（8分）已知常微分方程的初值问题：dy/dx=xy,1

44、<<1.2川）=2用改进的Euler方法计算、。2）的近似值，取步长h=0.2o卜=f（%,J，。）=0.5,k2=几,+/?匕）=1.1/（2+0.2x0.5）=0.5238095川=汽+g化+3）=2+S1x（0.5+0.5238095）=2.107142936、（6一分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：段及（扑aJ取f（x）=l,X,令公式准确成立，得:人411441t14+2A,+A=3a、，a：f（x）=x?时，公式左右=1/4;f（x）=x3时，公式左=1/5,公式右二5/24：公式的代数精度=24 =37、（15分）已知方程组心=或其中2 -2

45、1 12 112 Al,（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛,说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi迭代法的分量形式，产)=1-2*，+2*丁x，d=2-xT=x，)；攵=0,1,2,x”=3_2x，-2x，Gauss-Seidel迭代法的分量形式'X产=l-2x广+2x-4川=2-邸川7，)；A=0,l,2,x"=3_2x"_2x”(2) Jacobi迭代法的迭代矩阵为-0-22-B=D-L+U)=-10-1-2-20.，4=%=4=。，p(b)=o<1Jac

46、obi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为0-22'G=(0-L)-iU=02-3002.4=0,4=4=2,p(B)=2>1,Gauss-Seidel迭代法发散也皿7dx38、（10分）对于一阶微分方程初值问题Ij（o）=i,取步长=。.2,分别用Euler预报一校正法和经典的四阶龙格一库塔法求虫。2）的近似值。解：Euler预报一校正法蠕=北+°2(2%-J)=0.4xn+0.8jj»+i=Jn+0.1(2xn-Jn+2xn+1-j；1)=0.16x+0.2xn+1+0.82jny(0.2)ay=0.2x0.2+0.82x1=0.86经典的

47、四阶龙格一库塔法0.2人=?+小匕+2k2+2A3+k4)o<=2Xn-K,占=2(%+0.1)一("+8%)k3=2(xn+0.1)-(jh+O.lZr,)Zr4=2(x+0.2)-(jB+0.23)j(0.2)-y=0.8562(k1=1.5041;勺=1.5537;A；=1.5487;3=1.5943)39、(10分)用二步法"二”4臼"北)+"区3”求解yf=f(x,y)一阶常微分方程初值问题,1义0)=%,问：如何选择参数尸的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为&i=y(x“+J_y(x“)-；a/(x“,y(x“)+A/(x,i，y(x“T)2>3»=y(xn)+g'(乙)+yH(xn)+Jw(xw)+O(h4)-y(xn)-ayf(xn)+pyxnJ=y(x“)+hyf(xnH*3"(4)+g9"x")+0(/)-y(/)一怖。，'(乙)/D乙1.2-7例火4)一切”(/)+与，()+