初中数学人教 版八年级下册 章前引言和勾股定理及其证明6

1、勾股定理教学设计 一、教材分析勾股定理是在学习了三角形有关性质的基础上提出来的,勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系,对前面的知识起到完善,延伸的作用。如,对直角三角形的判定定理“HL”,书中的拼接证明学生不易理解,但学过勾股定理后,可引导学生用“边边边”定理证明。也为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫,为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法,是培养学生具有良好思维品质的载体。它在数学的发展过程中起着重要的作用。它以其简洁优美的形式,丰富深刻的内涵刻画了自然界和谐统一关系,是数与形结合的优美典范。 二、学情分析 1.学生的知

2、识技能基础:学生已学过三角形的有关性质,以及三角形全等的判定方法;学生已学习了等腰三角形的性质,了解了直角三角形的基本特征。学过了轴对称、平移等变换知识,也有一定操作经验。2.学生心理特点:八年级学生具有好强、好胜、思维活跃的特点。在学习上有强烈的求知欲望,他们乐于探索及表现自我。3.学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验和数学思考,具备了一定的合作与交流的能力。但在数学说理和一些重要数学思想方法上尚不能熟练掌握,缺乏严谨的逻辑推理能力。（一）教材的地位和作用勾股定理是学生在已经掌握二次根式计算的基础上的拓展，而且勾股定理的推导是

3、初中数学中运用推理方法进行恒等变形的开端，是从一般到特殊的认知规律的典范。通过对公式的学习来进行直角三角形中边的计算，为以后的圆中计算、解直角三角形等内容奠定了基础。因此，勾股定理在初中阶段的学习中具有很重要的地位。（二）教学目标知识与技能目标:了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程。过程与方法目标：1.让学生经历“观察猜想归纳验证”的探索过程,并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。2.用数格子(或割、补、拼等)的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系,会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。情感与态度目标：在探索勾股定理的过程中,体验获得成功

4、的快乐;通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想,激励学生发奋学习。（三）教学重难点重点:探索和验证勾股定理。难点:勾股定理的证明。 三、教学过程设计 教学策略：合作探究,引导发现,归纳总结 教学活动（一）创设情境，引入课题教师利用多媒体展示图片。 问题1:2002年在北京召开了第24届国际数学家大会,它是最高水平的全球性数学科学学术会议,被誉为数学界的“奥运会”。这就是本届大会的会徽的图案。(1)你见过这个图案吗?(2)你听说过“勾股定理”吗?教师作补充说明:这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的,被称为“赵爽弦图”。问题2:探究1:等腰直角三角

5、形三边关系下图中,每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C的面积,看看能得出什么结论。 学生得出结论:以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积。【设计意图】鼓励学生从不同角度寻求解决正方形C面积的方法,并通过对方法的反思,获得解决问题的经验。让学生积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的意见,能从交流中获益。【点评】打开西沃软件，在教学模式下，利用交互式电子白板的批注功能，进行图形的分割，降低了求不规则图形面积的难度。此处，借助这个功能，便于观察面积之间的关系，从而更容易发现直角三角形三边之间的关系。传统的PPT教学，无法体现这个知识生成

6、的过程，只能呈现一个结果。多媒体教学环境下，学生求面积有困难，也无法体现图形分割的过程。交互式电子白板环境下更能突破本节课的难点，有利于学生学习。 探究2:直角三角形三边关系 等腰直角三角形有上述性质,其他的直角三角形也有这个性质吗? 学生:观察思考,割补计算求面积,同学合作交流讨论,归纳总结得出结论。 本次活动中,教师应重点关注:(1)给学生留出充分的时间思考和交流,鼓励学生大胆说出自己的看法;(2)学生能否准确挖掘出图形中的隐含条件,计算各个正方形的面积; (3)学生能否用不同方法得到大正方形的面积(先补全再分割),引导学生重点学习赵爽弦图的分割方法; (4)学生能否将三个正方形面积的关系

7、转化为直角三角形三条边之间的关系,并用自己的语言叙述出来; (5)学生能否主动参与探究活动,在讨论中发表自己的见解,倾听他人的意见,对不同的观点进行质疑,从中获益。【设计意图】进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程,也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高,让学生体会到结论更具一般性,体会特殊到一般的数学方法。【点评】打开西沃软件，在教学模式下，利用交互式电子白板的批注功能，进行图形的分割，能够准确挖掘出图形中的隐含条件，降低了求不规则图形面积的难度。此处，借助这个功能，学生可以充分在白板上进行图形的割和补，便于观察面积之间的关系，通过面积的关系，从而更容易发现直角三

8、角形三边之间的关系。传统的PPT教学，无法在PPT上进行图形的分割，更无法体现知识生成的过程，只能呈现一个结果。本节课图形分割求面积是难点，多媒体教学环境下无法突破这个难点，而在交互式电子白板环境下这个难点达到了突破。猜想:直角三角形的三边长a、b、c之间存在什么关系?学生得出命题。 命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2。【点评】打开西沃软件，在教学模式下，学生利用面积之间的关系SA+SB=Sc，进一步得到直角三角形三边之间的关系a2+b2=c2.此处，利用交互式电子白板突破了本节课的难点，有利于学生对勾股定理的理解。传统多媒体PPT教学环境下，学生对

9、勾股定理的理解不透彻，学生在应用上出错情况比较多。在交互式电子白板环境下，就避免了这些错误。 （三）动手操作，证明定理教师追问:是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢?这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明。 已知:如图,在ABC中,C=90°,A、B、C的对边为a、b、c。求证:a2+b2=c2.问题5:利用拼图来验证勾股定理1、拿出准备好的四个全等的直角三角形(设直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边c); 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗?拼一拼试试看? 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的为边长的正方形? 4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2?【师生互动

10、】:教师组织学生拼图验证结论,巡视参与并引导提示:所拼图形面积能用直角三角形的边长来表示;所拼图形的面积要用两种不同方法表示,并用等号连结,化简验证;发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。学生小组交流,动手拼图验证结论,小组代表展示验证结果;师生共同评价,概括归纳勾股定理。【设计意图】通过学生动手操作,分组展示,老师点拨,让学生更加深刻理解勾股定理的证明方法,渗透问题情境观察思考提出猜想验证猜想,渗透数形结合思想和特殊到一般的数学方法。【点评】为了让学生接触到第一手的勾股定理几何验证，学生4人一小组完成上面股定理几何验证，为了节省时间，在分小组讨论的基础上再进行班内展示，每小组演示勾股定

11、理几何拼图过程。在展示的过程中，教师与每一组发生交互，组员与组员发生交互，组与组之间发生交互。 老师板书并投影勾股定理的三种语言表述。 勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的变式:,。【设计意图】通过教师引导、点拨，学生动手操作,自己推导出勾股定理的三个变形表达式，让学生更加深刻理解勾股定理的证明。借助交互式电子白板，更能表达出公式的内涵。【点评】打开西沃软件，在教学模式下，教师在电子白板下，利用批注功能，将勾股定理的变形式引导学生表示出来，并书写在白板上。在讲述赵爽弦图时，利用平移，将每一部分平移

12、过去，再用箭头突显平移之后的对应关系。在交互式电子白板环境下讲授此知识点，显得直观，学生看的明白清楚，知道图形变化的来龙去脉。在PPT模式下无法展现图形变化的关系，导致个别学生不理解，听懂了题不会做的现象。这种现象在白班环境下手可就可以避免，同时能够很好的突破本节课的教学难点。 5.投影展示介绍数学史料:商高定理、毕达哥拉斯定理的来历。【设计意图】教师讲解勾股定理的有关历史背景,学生体会古代学者的聪明才智,培养学生爱国主义精神。 （四）实际应用，巩固新知 热身练习: 2、求出下列直角三角形中未知边的长度。挑战自我: 1、如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米,那么这个三角形的周长是多