主成份分析——数学建模竞赛中的应用

1、概率统计模型决策模型 决策是人们在生活和工作中普遍存在的一种活动，是为解决当前或未来可能发生的问题，选择最佳方案的一种过程。比如，某人决定要到某地出差，而天气预报可能有寒流，考虑出差是否要带棉大衣，带上棉大衣无寒流是个累赘，若不带又可能遇上寒流而挨冻，到底带不带？这就要他作出决策;又如生产某种产品的工厂，若对此种产品的市场需求不是很了解，生产的数量太小，影响企业收入，生产的数量太大，又势必造成产品积压，影响资金周转，给企业造成损失，到底生产多少为宜？这就需 要有关人员通过市场调查后作出决策。所以， 小到个人生活，大至企业经营以及国家的政 治经济问题，都需要决策。 一、展销会选址问题： 某公司为

2、扩大市场，要举办一个产品展销 会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利 情况除了与会址有关外，还与天气有关， 天气分为晴、阴、多雨三种，据天气预报， 估计三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5，0.3，其收益情况见表42，现要通过分析，确定会址，使收益最大。 在决策问题中，把面临的几种自然情况称为自 然状态或客观条件，简称为状态或条件，如N1，N2，N3，这些是不可控因素，把A1，A2，A3称为行动方案或策略，这些是可控因素，至于选择哪个方案由决策者决定。表42中右下方的数字4，6，1，5，4，1.5，6，2，1.2称为益损值，根据这些数字的含义不同，有时也称为效益值或风险值，由它们构成的矩阵

3、称为决策的益损矩阵或风险矩阵，表42 中的P1，P2，P3是各状态出现的概率。2 . 1265 . 145164M 一般地，如果决策问题的可控因素，即行动方案用Ai（i=1m）表示，状态用Nj（j=1n）表示，在Nj状态下 采用Ai行动方案的益损值用aij表示，Nj状态下的概率用Pj（j=1n）表示，可得到决策矩阵（或称益损矩阵） 的一般结构，如表43所 示。 二、风险决策问题当n1，且各种自然状态出现的概率 可通过某种途径获得时的决策问题，就是风阶决策问题。如例4.1就是风险决策问题，对于这类问题，我们介绍两种决策准则和相应的解决方法。 1. 最大可能准则 由概率论知识，一个事件的概率就是该

4、事件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决策方法，这就是最大可 能准则。这个准则的实质是将风险型决策问 题转化为确定型决策问题的一种决策方法。 ), 2 , 1(nipi若对例4.1按最大可能准则进行决策，则因为自然状态 出现的概率 最大，因此就在这种自然状态下进行决策，通过比较可知，采取 行动方案获利最大。因此，采用 方案是最优决策。 应该指出，如果各自然状态的概率较接近时，一般不使用这种决策准则。 2.期望值准则（决策树法） 如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自然状

5、态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选 择最优行动方案。 2N50. 02p1A1A若对例4.1按期望值准则进行决策，则需要计算各行动方案的期望收益，事实上显然， 最大，所以采取行动方案 最佳，即选择甲地举办展销会效益最大。 值得提出的是，为了形象直观地反映决策问题未来发展的可能性和可能结果所作的预测而采用的决策树法就是按期望值准则进行决策的一种方案。以例4.1来说明其决策步骤。56. 23 . 02 . 15 . 022 . 06)(45. 33 . 05 . 15 . 042 . 05)(1 . 4

6、3 . 015 . 062 . 04)(321AEAEAE1AE1A例4.1的决策树如图41所示，其中： 表示决策点，从它引出的分枝叫方案分 枝，其数目就是方案数 表示机会节点，从它引出的分支叫概率分 支，每条概率分支代表一种自然状态，并标 有相应状态发生的概率。 称为末稍节点，右边数字表示各方案在不同 自然状态下的益损值。 计算各机会节的期望值，并将结果标在节点止方，再比较各机会节点上标值的大小，进行决策，在淘汰方案分枝上标“”号，余下方案即为最优方案，最优方案的期望值标在决策点的上方。本例上方标4.1为最大，因此选定方案 ，其收益数值的期望4.1。 4.1 丙 地 多 雨 P（ N3） =

7、0.1 +1.2 阴 P（ N2） =0.5 +2 晴 P（ N1） =0.2 +6 多 雨 P（ N3） =0.1 +1.5 阴 P（ N2） =0.5 +4 晴 P（ N1） =0.2 +5 多 雨 P（ N3） =0.1 +1 阴 P（ N2） =0.5 +6 晴 P（ N1） =0.2 +4 乙 地 甲 地 3.45 2.56 4.1 决策 A1 aA 111111aa A A 1 A2 aA 111111aa A A 1 A3 aA 111111aa A A 1 投资决策 问题的提出投资决策问题：为了生产某种产品，设计了两个基建方案，一是建大厂，二是建小厂，大厂需要投资300万元，小

8、厂需要投资160万元，两者的使用期都是10年。估计在此期间，产品销路好的可能性是0.7，销路差的可能性是0.3，若销路好，建大厂每年收益100万元，建小厂每年收益40万元；若销路差，建大厂每年损失20万元，建小厂每年收益10万元（详见表31），试问应建大厂还是建小厂？进一步的，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为0.7，而如果前 三年的销路好，则后七年销路好的概率为0.9， 如果前三年的销路差，则后七年的销路肯定差， 在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？ 自然状态益损值 概率方案 销路好 0.7 销路差 0.3建大厂 100 -20建小厂 40 10 图41

9、 决策树注意：决策问题的目标如果是效益（如利润、投资、回报等）应取期望值的最大值，如果决策目标是费用的支出或损失，则应取期望值的最小值。（2）多级决策问题下面以投资决策问题为例，说明决策方法。（a）画决策树（图42） （b）计算各点的益损期望值：点2：0.7100+0.3(-20)10(年)-300（大厂投资）=340万元点3：0.740+0.31010(年)-160（小厂投资）=150万元由此可见，建大厂的方案是合理的。 现在考虑一种情况：假定对投资决策问题分为前三年和后七年两期 考虑。根据市场预测，前三年销路好的概率为 0.7，而如果前三年销路好，则后七年销路好的概率为0.9，如果前三年销

10、路差，则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂那个方案好？（a）画出决策树如下（图43）图43 决策树 （b）计算各点的益损期望值点4：0.9100+0.1(20)7(年)=616万元点5：1.0(20)7(年)= 140万元点2：0.71003(年)+0.7616+0.3(20)3(年)+0.3(140) 300(大厂投资)=281.2点6：0.940+0.1107(年)=259点7：1.0107(年)=70点3：0.7403(年)+0.7259+0.3103(年)+0.370160(小厂投资)=135.3通过比较，建大厂仍然是合理方案。上例只包括一个决策点，称为单级决策问题。在有

11、此实际问题中将包括两个或两个以上的决策点，称为多级决策问题，可利用同样的思路进行决策。 例4.2 某工程采正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预报，15天后肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气，但这不会影响工程进度;有50%的可能遇到小风暴而使工期推迟15天;另有10%的可能遇到大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：（1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施 此方案需增加额外支付18 000元。（2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据 实际出现的天气状况再作对策： a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外 费用。 b）若遇小

12、风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费20 000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24 000元; 的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18 000元;有20%的可能减少 误工期3天支付延期损失费和应急费用 12 000元。3）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择： 一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费 50 000元;二是采取应急措施，实施此措施可能 有三种结果：有70%的可能减少误工期 2天，支付 延期损失费及应急费用54 000元;有20%可能减小 误工期3天，支付延期损失

13、费及应急费用46 000元;有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及应急费用38 000元。 试进行决策，选择最佳行动方案。 解 （1）据题意画出决策树，如图44。（2）计算第一级机会点E,F的损失费用期望值 将19 800和50 800标在相应的机会点上，然后在第一级决策点C,D外分别进行方案比较：首先考察C点，其应急措施支付额外费用的期望值较少，故它为最佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝，再在C上方标明最佳方案期望损失费用19 800元;再考虑D外的情况，应急措施比抽空施工支付的额外费用的期望值少，故划去应急措施分标，在D上方标上 50 000元。 50800380001 . 046

14、0002 . 0540007 . 0)(19800120002 . 0180003 . 0240005 . 0)(FEEE（3）计算第二级机会点B的损失费用期望值 将其标在B的上方，在第二级决策点A处进行比较，发现正常进度方案为最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将14 900标在A点上方。 因此，合理的决策应是开始以正常施工进度进行施工，15天后再根据具体情况作进一步决策，若出现阴雨天，则维持正常 速度;若出现小风暴可采用应急措施;若出现大风暴，则进行抽空施工. 0198005 . 004 . 0)(BE 三、不确定型决策 当风险决策问题的自然状态发生的概率既不知

15、道、也无法预先估计或利用历史资料得到时的决策问题就称为不确定型决策问题。仍用 ，表示决策问题中的自然状态，表示行动方案， 表示在自然状态 下采取第 种行动方的益损值。若 为效益值时取正值;若 为损失值时取负值。下面介绍几不确定型 的决策则。 1. 乐观准则 乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度，事事都合人意，即选最大效益的最大值 所对应的行动方案作为决策。 12,nN NNmAAA,21ijajNiijaijaijjiaxmaxma2. 悲观准则 悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好的行动方案。也就是在

16、每个状态下的最小效益值中选最大值 所对应的行动方案作为决策。 3. 等可能准则 等可能准则的思想就是既然不能断定哪种 自然状态出的可能性的大小，就认为各自然状 态出现的可能性相同，即 。然后按 风险决策的方法进行决策。njnNpj, 2 , 1,1)()min(maxijjia例4.3 某厂有一种新产品，其推销策略有 三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，而市场情况有三种： 需求量大， 需求量一般， 需求量低。市场情况的概率并不知道，其效益值见表43。 （1）用乐观法进行决策。 （2）用悲观法进行决策。 （3）用等可能法进行决策。 123,S

17、SS1N2N3N 表4-3 市场情况销售策略 S1 S2 S3 N1 N2 N3 50 10 -5 30 25 0 10 10 10解 （1）因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为所以最大效益的最大值为其最大值50对应的行动方案为 ，因此用乐观法的决策结果是执行策略 。 （2）因为每个行动方案在各种状态下的最小值为1010,10,10max300 ,25,30max505,10,50max321jjjjjjaxmaaxmaaxma5010,30,50maxijjjaxmaxmi1S1S1010,10,10min00 ,25,30min55,10,50min321jjjjjjanmianmi

18、anmi所以，最小效益值的最大值为其最大值10对应的行动方案为 。因此用悲观法决策的结果是应执行策略 。（3）取 计算出各行动方案的期望值为 1010, 0 , 5maxijjianmixma3S3S; 3 , 2 , 1,31)(jNpi10103110311031)(35503125313031)(355)5(3110315031)(321SESESE显然 都达到最大值，这时究竟选那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，可选 ，否则选 。 从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采用不同的决策准则所得到的结果并非无全一致。但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实际问题中采用哪个准则，依

19、决策者对各种自然状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率，然后进行决策。12()()E SE S1S2S 讨论题：抗灾决策 根据水情资料，某地汛期出现水平水情的概率为 0.7，出现高水水情的概率为0.2，出现洪水水情的 概率为0.1。位于江边的某工地对其大型施工设备拟 定三个处置方案： （1）运走需支付运费18万元； （2）修堤坝保护，须支付修坝费5万元； （3）不作任何防范，不需任何支出； 若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则紧当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失600万元的设备；若采用方（3），那么当出现平水水位时不遭

20、受损失，发生高水位时损 失部分设备100万元，发生洪水时损失设备 600万元。根据上述条件，选择最佳方案。 决策树 由此看来，运走是最佳方案ABC运走修坝不发生洪水 0.9发生洪水 0.1不 防平水位 0.7高水位 0.2发生洪水 0.1-18万元-5万元-605万元0-100万元-600万元-65-80-18 4.3 最佳预订票策略最佳预订票策略 问题的提出在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座，登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是

21、等价的。设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨， 公司不管以什么方式予以补救，也会导致受损和一定的经济损失，如客员减少，挤掉以后班机乘客，公司无偿供应食宿，付给一定的赔偿金等。这样，综合考虑公司经济利益，必然存在一个恰当订票数量和限额。 假设飞机容量为300，乘客准时到达机场而未乘上飞机赔偿费是机票价格的10%，飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知，比例系数为0.

22、6，乘客不按时前来登机的概率为0.03），请你: 1）建立一个数学模型，给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标，对上述预定票业务确定最佳的预定票数量。 2）考虑不同客源的不同需要，如商人喜 欢上述这种无约束的预定票业务，他们宁 愿接受较高的票价，而按时上下班的雇员或游客，会愿意以若不能按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。公司为降低风险，可以把后者作为基本客源。根据这种实际情况，制定更好的预订票策略。 4.4.2 模型的假设及符号说明（1）模型的假设假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。（2）

23、符号说明n：飞机的座位数，即飞机的容量；g：机票的价格；f：飞行的费用；b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费； m：售出的机票数；k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，即迟到的乘客数，它是一个随机变量；pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前来登机的概率；p：每位乘客迟到的概率；Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j人的概率，即社会声誉指标；S：公司的利润；ES：公司的平均利润。 问题的分析及数学模型（1）问题的分析通过上面引进的符号易知，赔偿费b=0.1g，飞行费用f=0.6ng，每位乘客迟到的概率p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个乘客不能按时前来登机，即迟到的

24、乘客数k服从二项分布B（m，p），此时，当m-kn时，说明m-k个乘客全部登机，此时利润S =（m - k）g - f当m-kn时，说明有n个乘客登机，有m-k-n个乘客没有登上飞机，即被挤掉了，此时利润S = ng f - (m k - n) b 根据以上的分析，利润S可表示为： 迟到的乘客数k=0,1,2,m-n-1时，说明有m-k-n个乘客被挤掉；迟到的乘客数k=m-n，m-n+1，m时，说明已来的m-k个乘客全部登机了。)()()()(nmknkmbnkmfngnmknkmfgkmS 于是平均利润 因为kmnmknmkkpfgkmpbnkmfngES)()(10101010010)()

25、()()()1)()()(nmkknmkknmkkmkknmkkmnmkkmnmkkkmnmkkpgkgEpfmgfmgkpkpgpfmgkpgpfmgpfgkmv所以v由于kB（n，p）， ，可知，随机变量k的数学期望E（k）=mp，此时，1010101010)()()()()()()()()()(nmkknmkknmkknmkknmkkpnkmgbfgkEmpgkfmgbnkmfngfgkEmkpgkgEpfmgfmgpbnkmfngESkmkkmnmkppCnkmgbfmgpES)1 ()()()1 (10kmkkmkppCp)1 (kmkkmkppCp)1 ( （2）数学模型通过以上对

26、问题的分析，可以在一定的社会声誉 指标Pj（m）范围内，寻求合适的m，根据f=0.6Ng的关系，使得目标函数ES/f达到最大，即 1)1 ()()1 ()1(6 . 01max10kmkkmnmkppCnkmgbmpNfES1)1 ()300(1 . 197. 0180110kmkkmnmkppCkmm 下面考虑社会声誉指标。由于m=n+k+j，所以k=m-n-j，即当被挤掉的乘 客数为j时，等价的说法是恰有m-n-j个迟到的乘客。 公司希望被挤掉的乘客人数不要太多，被挤掉的概率不要太大，可用至少挤掉j人的概率作为声誉指标，相应地k的取值范围为k=0,1,2,m-n-j，社会声誉指标 （2）k

27、mkkmjnmkjppCmP)1 ()(0 模型求解 为了对模型（1）进行求解，可以分别 给定m，比如m=305,306,350，计算ES/f，同时，给定j，比如取j=5，计算社会声誉指标Pj（m），从中选取使ES/f最大，且社会声誉指标Pj（m）小于等于某个（比如取=0.05）的最佳订票数m。 下面给出MATLAB计算程序。% 飞机最佳订票策略ch34% 文件名：ch34.m% m 表示售出的票数；Es 表示平均利润；p表示声誉指标； for m=305:325 sm=0; p=0; for k=0:m-305 pp=(prod(m-k+1:m)/prod(1:k)*0.03k*0.97(m-k); p=p+pp; sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k); end Es=(1/180)*0.97*m-1.1*sm-1; m Es p end m ES p 305 0.6436 9.2338e-005 306 0.6490 9.3723e-004 307 0.6543 0.0048 308 309 310 311 312 313 314 315 0.6596 0.6649 0.670