近世代数经典题与答案

1、精选文档1设 为整数加群, ,求 解     在 Z中的陪集有:, , , , 所以, .2、找出的全部子群。解：S3明显有以下子群：本身；（1）=（1）；（12）=（12），（1）；（13）=（13），（1）；（23）=（23），（1）；（123）=（123），（132），（1） 若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。这个子群也必定是S3。 用

2、完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必定是S3。7试求高斯整环 的单位。解 设 () 为 的单位, 则存在 , 使得 , 于是由于 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有明显它们都是 的单位. 所以 恰有四个单位: 5 在 中, 解下列线性方程组:解: 即 , .12. 试求 的全部抱负.解 设 为 的任意抱负, 则 为 的子环， 则 ,  ,  且 .    对任意的 , , 有 ,    从而由抱负的定义知, 为 的抱负.

3、由此知, 的全部抱负为且 .13、数域上的多项式环的抱负是怎样的一个主抱负。解 由于，所以，于是得。14、在 中, 求 的全部根. 解 共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为 的根.20.设R为偶数环.证明： 问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主抱负？解： ： 故另外 故总之有另方面，由于且而且实际上N是偶数环中由8生成的主抱负，即，但是因此，.实际上是22、设,求关于的全部左陪集以及右陪集.解 , 的全部左陪集为:;的全部右陪集为:;.1在群 中, 对任意 , 方程 与 都有唯一解. 证明 令 , 那么 , 故 为方程 的解。 又如 为 的任一

4、解, 即 ,则 .这就证明白唯一性. 同理可证另一方程也有唯一解.5 设 是全部 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是全部行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 是 的子群.证明 首先, 单位矩阵 的行列式为 1, 所以 非空. 又对任一 阶方阵 , 假如 , 则 , 所以  可逆, 故 是 的子集. 又对任意的 , 有 , 所以 .这说明 . 从而由定理知, 是 的子群.7 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.证明 设 , 分别表示 在 中的左、右陪集所组成的集合. 令     

5、60;                      ,  .则 是 到 的双射.    事实上    (1) 假如 , 那么 , 故 , 所以, . 于是, 为 到 的映射.     (2) 任给 , 有 , 因此, 为满射.   

6、  (3) 假如 , 那么 , 因此 , 从而得 为双射.即在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.3群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群.证明 设 与 为 的两个正规子群, , 则 为 的子群. 又任给 , , 则由于 与 都是 的正规子群, 所以 所以, . 故 .24、设群G的每个元素x都适合方程x2= e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。证明：任意x、yG，由x2= e，y2= e有x-1= x，y-1= y。又由(xy)2= e有(xy)-1= xy。从而yx= y-1 x-1= (xy)-1= xy即G是交换群39、证明：是主抱负环。证明 令是的任意一个抱负，是中确定值最小的一个非零元素，下证。任取，明显令选取分别最接近的整数，即 （1）令并由（1）得 （2） 现在令明显于是由（2）得 但是中确定值最小的非零元，故从而，因